数学理卷·2018届四川省遂宁市高三三诊考试（2018 15页

遂宁市高中2018届三诊考试 数学（理科）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。‎ ‎2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡收回。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）‎ ‎1．已知集合，，若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎4．在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎5．已知函数，那么下面说法正确的是 A．函数在上是增函数，且最小正周期为 ‎ B．函数在上是减函数，且最小正周期为 C．函数在上是减函数，且最小正周期为 D．函数在上是增函数，且最小正周期为 ‎6．若，则目标函数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎7． 如图，在中，，，，‎ 则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为 A．120 B．84 ‎ C．56 D．28‎ ‎9．已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则的值是 A． B．‎ C． D．不能确定 ‎10．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为2000元，则所需检测费的均值为 A．6400元 B．6800元 ‎ C．7000元 D．7200元 ‎11．已知，，，四点均在以点为球心的球面上 ，且 ‎，，.若球在球内且与平面相切，则球表面积的最大值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。‎ ‎2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，，若，则 ▲ ．‎ ‎14．已知在中，，则的面积为 ▲ ．‎ ‎15．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为 ▲ ．‎ ‎16．是上可导的奇函数，是的导函数.已知时，不等式的解集为，则在上的零点的个数为 ▲ .‎ 三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎ 设数列的前项和为.已知.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求的前项和.‎ ‎▲‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：‎ 年龄 ‎[5,15)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 支持“生 育二胎”‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：‎ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ 不支持 ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ 合计 ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎ ▲ ‎ ‎（2）若对年龄在的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的人不支持“生育二胎”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.‎ 参考数据：，，‎ ‎▲‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．‎ ‎（1）若，‎ 求证：平面；‎ ‎（2）若，二面角的余弦值为 ‎，求三棱锥的体积．‎ ‎▲‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，其右顶点在圆上. ‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线交椭圆于，两点.‎ ‎（i）若以弦为直径的圆过坐标原点，求实数的值；‎ ‎（ii）设点关于轴的对称点为（点与点不重合)，且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎▲‎ ‎21．(本小题满分12分) ‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若在处取得极值，求的值；‎ ‎（2）设，试讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，若存在实数满足，‎ 求证：．‎ ‎ ‎ ‎▲‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 点是曲线（）上的动点，，的中点为.‎ ‎（1）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）若上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围.‎ ‎▲‎ ‎23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，，且，‎ 求证：．‎ ‎▲‎ 遂宁市高中2018届三诊考试 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（12×5=60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A B D A D B A C D B 二、填空题（45=20分）‎ ‎13. 14. 15. 或 16. 2‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 解：（1）因为，所以 ，故 …………1分 当 时， 此时， 即 ‎ 所以， …………5分 ‎（2）因为 ，‎ 所以；当 时， ，‎ 所以 …………7分 当 时， ‎ 所以 两式相减，得 ‎ ‎ …………10分 所以 …………11分 经检验， 时也适合，‎ 综上可得： …………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）2乘2列联表 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 ‎32‎ 不支持 ‎18‎ 合 计 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎…………3分 ‎＜‎ 所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异 ‎…………5分 ‎（2）所有可能取值有0,1,2,3 …………6分 ‎ …………10分 所以的分布列是 ‎ ‎ 所以的期望值是 …………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：连接交于，因为，又平面，‎ 所以，所以四边形为正方形，‎ 所以，在中，，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，所以，所以，又，‎ 所以平面，‎ 所以，又因为从而平面 ………5分 ‎（2）如图建立直角坐标系，则 设平面的法向量为，由 ‎ ‎ 即解得 设平面的法向量为 …………8分 由得解得 ‎…………10分 由得，所以 ……11分 此时所以 ‎…………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为椭圆C的右顶点在圆O：上，所以，又离心率为，‎ 所以，所以，则有，‎ 所以椭圆C的方程为 …………4分 ‎（2）（i）设，.‎ 直线与椭圆方程联立，‎ 化简并整理得， …………5分 ‎∴， ‎ ‎∴，‎ ‎.‎ 因为以弦MN为直径的圆过坐标原点，‎ 所以，∴，即，‎ 代入，得，解得， 所以.…………8分 ‎（ii）由题意，，所以直线的方程为，‎ 令，得 所以点的坐标为 …………10分 的面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故的面积存在最大值，最大值为. …………12分 ‎21．(本小题满分12分) ‎ 解：（1）因为，所以，‎ ‎ 因为在处取得极值，‎ 所以，解得． ‎ 验证：当时，，‎ 易得在处取得极大值． …………3分 ‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎ ‎ …………4分 ‎①若，则当时，，‎ 所以函数在上单调递增；‎ 当时，，函数在上单调递减．………5分 ‎②若，，‎ 当时，易得函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减； ‎ 当时，恒成立，所以函数在上单调递增；‎ 当时，易得函数在和上单调递增，‎ 在上单调递减； …………8分 ‎ ‎（3）证明：当时，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以． ‎ 令，，‎ 则，‎ 当时，，所以函数在上单调递减；‎ 当时，，所以函数在上单调递增；‎ 所以函数在时，取得最小值，最小值为． …………10分 所以，‎ 即，所以 …………11分 当时，此时不存在满足等号成立条件，‎ 所以． …………12分 ‎22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（1）由，得设，，‎ 则，即，代入，‎ 得，∴； …………5分 ‎（2）轨迹是一个以为圆心，半径的半圆，如图所示，‎ 设，设点处切线的倾斜角为 由斜率范围，可得， …………7分 而，∴，∴，‎ 所以，点横坐标的取值范围是． …………10分 ‎23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 解：（1）‎ 当时，由，解得；当时，不成立；‎ 当时，由，解得；‎ 所以不等式的解集为 …………5分 ‎（2），即，即．‎ 因为，，所以，，又有，‎ 所以，‎ 所以，故所证不等式成立． …………10分