高中数学：2_3《直线、平面垂直的判定及其性质》同步测试及解析（新人教A版必修2） 9页

‎2. 3 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 ‎1、二面角指的是(    ) ‎ A.两个平面相交所组成的角 B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形 C.一条直线出发的两个半平面组成的图形 D.两个平面所夹的不大于90°的角 ‎2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则(    ) ‎ A.α∥β且γ∥ω B.α∥β或γ∥ω C.这四个平面中可能任意两个都不平行 D.这四个平面中至多有一对平面平行 ‎3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题： ‎ ‎①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.‎ 其中真命题的个数是(    )‎ A.0               B.1                  ‎ C.2                 D.3‎ ‎4、如图‎2-3-15‎,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(    ) ‎ 图‎2-3-15‎ A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两都垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD, ‎ ‎∴PA⊥BC.又 ‎∵BC⊥AB,PA∩AB=A,‎ ‎∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.‎ 由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.‎ ‎∵AD平面PAD,‎ ‎∴平面PAD⊥平面PAB.‎ ‎5、如图‎2-3-16‎,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A到BC的距离是……(    ) ‎ 图‎2-3-16‎ A.1           B.            ‎ C.            D.‎ 参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°, ‎ ‎∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离.‎ ‎∵AD=,DE=BC=,‎ ‎∴AE=.‎ 答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎6、下列命题正确的是(    ) ‎ A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所以A,B错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以D错. ‎ 答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(    ) ‎ A.垂直且相交            B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交           D.不垂直也不相交 参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE. ‎ ‎∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD.‎ ‎∴BD⊥平面AEC.‎ 又AC面AEC，∴BD⊥AC.‎ 答案：C 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（　　） ‎ A.30°      B.45°         C.60°        D.120°‎ 参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°. ‎ 答案：C 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ‎ ‎①若α∥β,,则l∥β;‎ ‎②若, ,M∥β,n∥β，则α∥β；‎ ‎③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;‎ ‎④若,,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A.①③④     B.①②③        C.①③           D.②④‎ 参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误;由线面垂直的判定定理知④错误. ‎ 答案：C 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎10、下列说法中正确的是(　　) ‎ ‎①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 ‎②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 ‎③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行 ‎④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 A.①②③              B.①②③④           ‎ C.②③           D.②③④‎ 参考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直. ‎ 答案：A 主要考察知识点:空间直线和平面 二、填空题 ‎1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：‎ ‎①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.‎ 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______. ‎ 参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C. ‎ ‎∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.‎ ‎∴l⊥AC，l⊥BC.‎ ‎∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.‎ 由m⊥n,显然PA⊥PB，‎ ‎∴∠ACB=90°,∴α⊥β.‎ 由①③④②成立.‎ 反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.‎ 答案：②③④①或①③④②.‎ 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论： ‎ ‎①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.‎ 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.‎ 参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C. ‎ ‎∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.‎ ‎∴l⊥AC，l⊥BC.‎ ‎∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.‎ 由m⊥n,显然PA⊥PB，‎ ‎∴∠ACB=90°,∴α⊥β.‎ 由①③④②成立.‎ 反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.‎ 答案：②③④①或①③④②.‎ 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎3、设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题： ‎ ‎①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；‎ ‎②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；‎ ‎③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；‎ ‎④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.‎ 请把正确命题的序号填在横线上:______________.‎ ‎ ‎ 参考答案与解析:解析：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心. ‎ ‎②∵PA⊥PB，PA⊥PC,‎ ‎∴PA⊥面PBC.‎ ‎∴PA⊥BC.‎ 又PH⊥面ABC，‎ ‎∴PH⊥BC.∴BC⊥面PAH.‎ ‎∴AH⊥BC.‎ 同理BH⊥AC，∴H为垂心.‎ ‎③∵H为AC中点，∠ABC=90°,‎ ‎∴AH=BH=‎CH.‎ 又PH⊥面ABC，‎ 由勾股定理知PA=PB=PC.‎ ‎④∵PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心.‎ 答案：①②③④‎ 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是___________. ‎ 参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO， ‎ 设PM=PN=a,‎ 又∠BPM=∠BPN=45°,‎ ‎∴△OPM≌△OPN.‎ ‎∴ON⊥AB.‎ ‎∴∠MON为所求二面角的平面角.‎ 连结MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a.‎ 又,‎ ‎∴MO2+NO2=MN2.‎ ‎∴∠MON=90°.‎ 答案：90° ‎ 主要考察知识点:空间直线和平面 三、解答题 ‎1、如图，在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.‎ 参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD1，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A1D，AC均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系. ‎ 证明：连结A‎1C1，由于AC∥A‎1C1，EF⊥AC， ‎ ‎∴EF⊥A‎1C1.‎ 又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1,‎ ‎∴EF⊥平面A‎1C1D.                                 ①‎ ‎∵BB1⊥平面A1B‎1C1D1，A‎1C1平面A1B‎1C1D1,‎ ‎∴BB1⊥A‎1C1.‎ 又A1B1C1D1为正方体,‎ ‎∴A‎1C1⊥B1D1.‎ ‎∵BB1∩B1D1＝B1,‎ ‎∴A‎1C1⊥平面BB1D1D.‎ 而BD1平面BB1D1D,∴BD1⊥A1C1.‎ 同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1,‎ ‎∴BD1⊥平面A‎1C1D.                                ②‎ 由①②可知EF∥BD1.‎ 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上开,这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？ ‎ 参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的角度看,可作如下解释. ‎ 图‎2-3-22‎ 如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD.‎ 现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力.‎ 在Rt△BAD中,sinα=.①‎ 在Rt△BCD中,sinβ=.②‎ 比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB,‎ 所以＞.‎ 又因为α、β都是锐角,所以α＞β.‎ 因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道理.‎ 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小. ‎ 参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE， ‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AE⊥BC.‎ 又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，‎ ‎∴DB=DC.‎ ‎∴DE⊥BC.‎ ‎∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角.‎ 又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形，‎ ‎∴.‎ 又△ABD≌△BDC，‎ ‎∴AD=BC=2.‎ 在Rt△DEB中，，BE=1，‎ ‎∴,‎ 同理.‎ 在△AED中，∵AE=DE=,AD=2,‎ ‎∴AD2=AE2+DE2.‎ ‎∴∠AED=90°.‎ ‎∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°. ‎ 主要考察知识点:空间直线和平面 ‎