江西省宜春市上高县上高二中2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试题 25页

‎2021届高二年级第三次月考数学（文科）试卷 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1. 在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )‎ A. 关于x轴对称 B. 关于xOy平面对称 C. 关于坐标原点对称 D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x坐标相同，而y、z坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．‎ 考点：空间两点间的距离.‎ ‎2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面、面面位置关系对各选项中的命题的真假进行判断.‎ ‎【详解】对于A选项，若，，，则与平行、异面、垂直或斜交，A选项错误；‎ 对于B选项，若，，，则直线与没有公共点，那么与平行或异面，B选项错误；‎ 对于C选项，若，，，则与垂直、斜交或或，C选项错误；‎ 对于D选项，，过直线作平面，使得，则，又，，‎ ‎，，，，D选项正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系命题真假的判断，可通过相关的判定定理或者模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎3.如图，的斜二测直观图为等腰，其中，则原的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出直观图等腰的面积，乘以可得出原的面积.‎ ‎【详解】由图形可知，直观图等腰的腰长为，直观图的面积为，‎ 因此，原的面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查由直观图的面积计算原图形的面积，解题时要熟悉多边形直观图与原图形面积的倍数关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.椭圆左、右顶点为、，是椭圆上一点，最小值为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，设点在轴上方，由取最小值，知取最大值，求得直线、的斜率之积为，然后利用两角差的正切公式、基本不等式求出的最大值，可求出的值，即可得出双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】如下图所示，‎ 设点在轴上方，则，得，且有.‎ 点、，，，‎ ‎，‎ 为钝角，由取最小值，则取最大值，‎ 直线、的斜率之积为，‎ 由两角差的正切公式得 ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，整理得，，解得，‎ 因此，双曲线的渐近线方程为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的计算，同时也考查了椭圆方程的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎5.如果数据、、、的平均值为，方差为，则数据：、、、的平均值和方差分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出数据、、、的平均值和方差的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据、、、的平均值和方差.‎ ‎【详解】设数据、、、的平均值为，方差为，‎ 由题意，得，‎ 由方差公式得，.‎ 所以，数据、、、的平均值为 ‎，‎ 方差为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6.已知变量负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据得到的线性回归方程可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用变量与负相关，排除选项，，再利用回归直线方程过样本中心点，代入验证即可 详解：根据变量与负相关，排除选项，，‎ 再根据回归直线方程过样本中心代入，‎ 满足，‎ 故选 点睛：本题求线性回归方程，根据题意中的两个变量为负相关及数据代入即可求出结果，较为基础．‎ ‎7.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解.‎ ‎【详解】解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，‎ 化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知 即解得＜k＜－1.‎ 答案：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.‎ ‎8.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 13‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得,解得;‎ ‎,解得．．故D正确．‎ 考点：平均数,中位数．‎ ‎9.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，侧视图是边长为的正方形，则此四面体的四个面中面积最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出四面体的实物图，计算出四面体四个面的面积，由此可得出四个面中面积的最大值.‎ ‎【详解】四面体实物图如下图所示：‎ 可知该几何体是边长为正方体的内接三棱锥，‎ 如上图所示，是边长为的等边三角形，其面积为；‎ 是直角三角形，且直角边为，，其面积为；‎ 是直角三角形，且直角边为，其面积为；‎ 是直角三角形，且直角边为，，其面积为.‎ 因此，此四面体的四个面中面积最大值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查四面体四个面的面积最大值的计算，解题的关键就是作出四面体的实物图，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎10.在正方体中，动点在侧面上运动，若点到直线的距离等于点到平面的距离，则点轨迹类型是（ ）‎ A. 直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 椭圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，由题意可知点到直线的距离等于，结合抛物线的定义知点的轨迹类型.‎ ‎【详解】如下图所示，过点在平面内作，连接，‎ 在正方体中，平面，平面，，‎ 平面，平面，，‎ 又，，平面，由题意可知，，‎ 则点到点的距离和它到直线的距离相等，‎ 因此，动点轨迹为抛物线.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查动点轨迹类型的判断，同时也考查了抛物线定义的理解，涉及了线线垂直与线面垂直的判定，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎11.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线,,切点为,使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在满足条件的点P，则只需，即，，解得，，即，又，即椭圆的离心率的取值范围是；‎ 考点：椭圆方程及性质 ‎12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.‎ ‎【详解】由得,,,‎ 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.‎ 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.‎ 如图所示,易知,‎ 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查曲线与方程､曲线几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.抛物线的焦点坐标为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标.‎ ‎【详解】抛物线的标准方程为，因此，该抛物线的焦点坐标为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.设是双曲线上一点，、分别是两圆和上的点，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的左、右焦点分别为、，当点位于该双曲线的左支时，由圆的几何性质得，，然后利用不等式的性质和双曲线的定义可得出的最大值.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 设双曲线的左、右焦点分别为、，则点为圆的圆心，点为圆的圆心，‎ 当取最大值时，点在该双曲线的左支上，由双曲线的定义可得.‎ 由圆的几何性质得，，‎ 所以，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线段长度差最大值的求解，涉及双曲线的定义与以及圆外一点到圆上一点距离的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎15.正三棱柱的棱长都为，、分别是、的中点，则异面直线与所成角余弦值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接、，设，证明出四边形为平行四边形，可知异面直线与所成角为或其补角，计算出的余弦值和正弦值，然后利用诱导公式与两角和的余弦公式可计算出，即可计算出异面直线与所成角余弦值.‎ ‎【详解】如下图所示，取的中点，连接、，设，‎ ‎、分别为、的中点，，，‎ 在正三棱柱中，，为的中点，且，‎ ‎，四边形为平行四边形，，‎ ‎，则异面直线与所成角为或其补角，‎ 在中，，，，，‎ ‎，，‎ 又，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般利用平行四边形对边平移法或者中位线平移法，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎16.如图，多面体，两两垂直，，，，则经过的外接球的表面积是_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 根据两两垂直构造如图所示的长方体，则经过 的外接球即为长方体的外接球，故球的直径为长方体的体对角线的长．‎ 设,‎ 由题意得，解得．‎ 所以球半径为，球的表面积为 ．‎ 答案： ‎ 点睛：‎ 与圆有关的组合体的有关计算是高考的重要考点，解答此类问题时要注意组合体的形式，并根据组合体的特点确定出球心的位置，从而求出球半径的大小．对于球的外接问题，若在条件中出现了过同一点的三条两两垂直的线段，可由此构造出一个长方体，则该长方体的体对角线即为外接球的直径．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知、，动点满足.‎ ‎（1）求点轨迹方程；‎ ‎（2）在直线上求一点，使过点能作轨迹的两条互相垂直的切线.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点的坐标为，利用两点间的距离公式结合等式，可求出点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的坐标为，并设切线与圆相切于、两点，可知四边形为正方形，可得出，然后利用两点间的距离公式求出的值，即可得出点的坐标.‎ ‎【详解】（1）设点，由，得，‎ 化简得，因此，点轨迹方程为；‎ ‎（2）设点的坐标为，如下图所示：‎ 设切线与圆相切于、两点，连接、，‎ 则四边形为正方形，且，.‎ 则，解得，因此，点的坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解，同时也考查了过圆外一点引圆的切线问题，解题的关键就是将问题转化为该点与圆心的距离问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎18.如图，在正三棱柱中，为线段的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点 ‎，使，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，再连接，可得知点为的中点，利用中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出直线平面；‎ ‎（2）过点在平面内作，推导出，从而可证明出平面，进而得出，由此能得出存在点，使得.‎ ‎【详解】（1）如下图所示，连接交于点，连接，则点为的中点，‎ ‎、分别为、的中点，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）过点在平面内作，垂足点，‎ 在正三棱柱中，平面，平面，.‎ 是等边三角形，且点为中点，，‎ ‎，平面，平面，，‎ ‎，，平面，‎ 平面，.‎ 因此，存在点，使得.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了线线垂直中的动点问题，一般转化为线面垂直来处理，考查推理论证能力，属于中等题.‎ ‎19.双曲线的左、右焦点为、，点在双曲线右支上，的内切圆的圆心为.‎ ‎（1）求点横坐标；‎ ‎（2）、、的面积满足，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆分别切、、三边分别为、、三点，然后利用双曲线的定义和切线长定理可求出点的横坐标；‎ ‎（2）设圆的半径为，利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可求出实数的值.‎ ‎【详解】（1）如下图所示，设圆分别切、、三边分别为、、三点，‎ 由切线长定理得，，，‎ 由双曲线的定义得，‎ 设点的横坐标为，则点，则，解得，‎ 因此，点的横坐标为；‎ ‎（2）设圆的半径为，由，得，‎ ‎，即，解得.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线焦点三角形内切圆圆心横坐标的计算以及焦点三角形面积中参数的计算，涉及到双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.年月，电影《毒液》在中国上映，为了了解江西观众的满意度，某影院随机调查了本市观看影片的观众，现从调查人群中随机抽取部分观众.并用如图所示的表格记录了他们的满意度分数（分制），若分数不低于分，则称该观众为“满意观众”，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示），解决下列问题.‎ 组别 分组 频数 频率 第组 第组 第组 第组 第组 合计 ‎（1）写出、的值；‎ ‎（2）画出频率分布直方图，估算中位数；‎ ‎（3）在选取的样本中，从满意观众中随机抽取名观众领取奖品，求所抽取的名观众中至少有名观众来自第组的概率.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出样本总容量的值，并计算出第组的频数，可求出的值，根据第组的频数和样本总容量可计算出的值；‎ ‎（2）根据频率分布表作出频率分布直方图，利用中位线左、右两边矩形面积和均为计算出中位数的值；‎ ‎（3）设第组的人记为、、、，第组的人记为、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定出事件“所抽取的名观众中至少有名观众来自第组”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】（1）设样本总容量为，由，解得，，‎ 设第组的频数为，则，；‎ ‎（2）频率分布直方图如下图所示：‎ 设中位数为，前两组的频率之和为，‎ 前三组的频率之和为，则，解得，‎ 所以，中位数为；‎ ‎（3）设第组的人记为、、、，第组的人记为、，‎ 则抽取人的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共种，‎ 事件“所抽取的名观众中至少有名观众来自第组”包含的基本事件为：、、、、、、、、，共个，‎ 因此，所抽取的名观众中至少有名观众来自第组的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布表中数据的计算以及频率分布直方图的画法，同时也考查了古典概型概率的计算，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21.如图，四边形中，是的中点，，，，，将（图）沿直线折起，使（如图）.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，由已知得，利用勾股定理证明出，由中位线的性质得出，由此得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，由此可证明出；‎ ‎（2）证明出平面，并计算出的面积，可计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，再利用等体积法计算出点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）取中点为，连接、，‎ 在图中，，为的中点，则，‎ ‎，，，，，‎ ‎、分别为、的中点，，，‎ ‎，平面，平面，；‎ ‎（2），，则，是等腰直角三角形，‎ 为的中点，，‎ ‎、分别为、的中点，，‎ 又，，，‎ 又，，平面.‎ 的面积为，‎ 则三棱锥的体积为.‎ 平面，平面，，‎ 为的中点，，又，，‎ ‎，则，‎ 的面积为.‎ 设点到平面的距离为，则，‎ ‎，因此，点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直，同时也考查了点到平面距离的计算，在计算点到平面距离的计算时，一般利用等体积法来进行计算，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎22.已知抛物线上两点、，焦点满足，线段的垂直平分线过.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点作直线，使得抛物线上恰有三个点到直线的距离都为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，结合抛物线的定义得出，再由中垂线的性质得出，利用两点间的距离公式得出，可求出实数的值，由此可得出抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，将直线平移且使得平移后的直线与直线之间的距离等于，可得出直线，，可知直线或 与抛物线相切，并与抛物线的方程联立，利用求出实数的值，即可得出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）由抛物线的定义可得，①‎ 由于线段的垂直平分线过，则，‎ 即，即，‎ ‎，，‎ ‎，，②‎ 由①②得，因此，抛物线的方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，将直线平移且使得平移后的直线与直线之间的距离等于，设平移后的直线方程为，由平行线间的距离公式可得，‎ 得，得直线，，‎ 可知直线或与抛物线相切，‎ 若直线与抛物线相切，则，得，‎ ‎，此方程无解；‎ 若直线与抛物线相切，则，得，‎ ‎，得，解得，‎ 因此，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线上的点到直线的距离问题，可以利用平移直线法转化为直线与抛物线相切，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎