数学理卷·2018届辽宁省实验中学分校高三上学期期中考试（2017 9页

数学学科(理) 高三年级 一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1． 在复平面内对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 　 B． 第二象限 C．第三象限 D． 第四象限 ‎2．命题“”的否定是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 （ ）‎ A. B. C. 4 D. 13‎ ‎4．等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则 （ ）‎ A. 7 B. ‎8 ‎ C. 15 D. 16‎ ‎5．对任意的非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所 ‎ 示，且min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值，则 ‎ ‎2⊗min{1，log‎0.30.1‎，30.1}的值为 （　　） ‎ A．-1 B． C．1 D．2﹣30.1‎ ‎6．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1）， ‎ 则a6= （　　）‎ A．44+1 B．3×44+‎1 ‎ C．45 D．3×44 ‎ ‎7．函数的单调递增区间是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数的图象一部分如图 ，（），则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎10．已知定义在上的奇函数的图象如图所示，则， ， 的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11．在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎12．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，则方程f（x）﹣f′（x）=1的解所在区间是 （　　）‎ A．（2，3） B．（，1） C． （0，） D．（1，2）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则___________.‎ ‎14．已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣2y的最大值为 1‎ ‎15.已知， ，则__________．‎ ‎16．．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：‎ ‎①abc的取值范围是（0，4）；‎ ‎②a2+b2+c2为定值；‎ ‎③a+b+c=6‎ 其中正确结论的为 ‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求f（）的值．‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎18．已知数列{an}满足a1=3，且an+1﹣3an=3n，（n∈N*），数列{bn}满足bn=3﹣nan．‎ ‎（1）求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值．‎ ‎19．已知等差数列{an}中，a2=5，S5=40．等比数列{bn}中，b1=3，b4=81，‎ ‎（1）求{an}和{bn}的通项公式 ‎ ‎（2）令cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．在中， 分别是角的对边，且， ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎21．已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）.‎ ‎（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数， ，求的最小值.‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）‎ 在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）‎ 已知函数， ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、DCACC DCDDB AD 二、13.2 14. 1 15．7 16. ① ② ③‎ 三、‎ ‎17解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）‎ ‎（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，‎ ‎（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，‎ 即f（x）的最小正周期为π，‎ 由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：‎ x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，‎ 故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．‎ ‎18.（1）证明：由bn=3﹣nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1．‎ 代入an+1﹣3an=3n中，得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，‎ 即得．‎ 所以数列{bn}是等差数列．‎ ‎（2）解：因为数列{bn}是首项为b1=3﹣‎1a1=1，公差为等差数列，‎ 则，则an=3nbn=（n+2）×3n﹣1．‎ 从而有，‎ 故．‎ 则，‎ 由，得．‎ 即3＜3n＜127，得1＜n≤4．‎ 故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4．‎ ‎19.（1）设公差为d，则由a2=5，S5=40，得：，解得，则an=3n﹣1…‎ ‎∵∴q=3…‎ ‎（2）①‎ ‎∴②‎ ‎①﹣②：‎ ‎∴…‎ ‎20：（1）由得出： ， ‎ 由及正弦定理可得出： ，所以， ‎ 再由知，所以为锐角， ， ‎ 所以 ‎ ‎（2）由及可得出，‎ 所以.‎ ‎21（1）因为 所以，‎ 由对任意的恒成立，即，‎ 由， ‎ ‎（i）当时， ， 的单调递增区间为，‎ 所以时， ，‎ 所以不满足题意.‎ ‎(ii)当时，由，得 时， ， 时， ，‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以的最小值为 . ‎ 设，所以，① ‎ 因为 令得，‎ 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以，②‎ 由①②得，则. ‎ ‎（2）由（1）知，即，‎ 令（， ）则，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 所以，‎ 所以 ‎，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以的最小值为. ‎ ‎22.（1）圆的普通方程为，又，‎ 所以圆的极坐标方程为 ‎（2）设，则由解得，‎ 设，则由解得，‎ 所以 ‎23.（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，‎ 即有f（x）=，‎ 不等式f（x）≤4即为或或，‎ 即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，‎ 则为0≤x≤4，‎ 则解集为[0，4]；‎ ‎（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，‎ ‎∴2≤f（x）min；‎ 由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，‎ 即f（x）min=|1﹣a|，‎ ‎∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，‎ 解得a≥3或a≤﹣1．‎ ‎∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．‎