2019届二轮复习（理）立体几何综合学案（全国通用） 34页

【母题原题 1】【2018 新课标 1，理 18】如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折 痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 . （1）证明：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值. 由（1）可得，DE⊥PE.又 DP=2，DE=1，所以 PE= .又 PF=1，EF=2，故 PE⊥PF. 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解， 属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以 要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法 向量来完成，注意相对应的等量关系即可. 【母题原题 2】【2017 新课标 1，理 18】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 【解析】(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得 AB⊥AP,CD⊥PD. 由于 AB∥CD,故 AB⊥PD,从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. (2) 在平面 PAD 内作 PF⊥AD,垂足为 F. 由(1)可知,AB⊥平面 PAD,故 AB⊥PF,可得 PF⊥平面 ABCD. 以 F 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 F-xy . 由(1)及已知可得 A ,P ,B ,C . 【母题原题 3】【2016 新课标 1，理 18】 如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 D-AF-E 与二面 角 C-BE-F 都是 60°. (Ⅰ)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC; (Ⅱ)求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE, 所以 AF⊥平面 EFDC. 又 AF⊂平面 ABEF　,故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (Ⅱ)过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G,由(Ⅰ)知 DG⊥平面 ABEF. 以 G 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xy . 由(Ⅰ)知∠DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角　, 故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|= ,] 可得 A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, ). 设 n=(x,y, )是平面 BCE 的法向量　, 则 所以可取 n=(3,0,- ). 设 m 是平面 ABCD 的法向量　,则 同理可取 m=(0, ,4), 则 cos= =- . 故二面角 E-BC-A 的余弦值为- . 【命题热点】从近几年的高考试题来看,线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与 性质、二面角等是高考的热点,题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高,客观题主 要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质,考查二面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上 内容,同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直 线与平面平行的判定,以及平面与平面平行的判定高考大题连续三年都没涉及,而在小题中考 查,从高考试题来看,利用空间向量证明平行与垂直,以及求空间角是高考的热点,题型主要为 解答题,难度属于中等,主要考查向量的坐标运算,以及向量的平行与垂直的充要条件,如何用 向量法解决空间角问题等,同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．高考考查的热点可 能以锥体或斜棱柱为几何背景,第一问以线面平行,面面平行为主要考查点,第二问可能是求二 面角或探索性命题,突出考查空间想象能力和逻辑推理能力,以及分析问题、解决问题的能力, 也有可能求线面角． 【应试经验】 1．在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误． 2．可以考虑向量的工具性作用,能用向量解决的尽可能应用向量解决,可使问题简化． 3．在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义,判定定理和性质定理的联合交替使用, 即注意线线垂直和线面垂直的互相转化． 4．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的 一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可． 5．用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行,只需要证明平面外的 一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证直线 a∥b,只需证明它们的方向向 量满足 (λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面 外． 6．利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 【基础知识理顺】 1. 线线平行与垂直的证明 证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向 量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直 角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理； （6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递 性,垂直关系的多样性. 2.线面平行与垂直的证明方法 线面平行与垂直位置关系的确定,也是高考考查的热点,在小题中考查关系的确定,在解答题考查证明细节. 线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理； （4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这 个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行 线面平行 面面平行. 线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理； （4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行. 线面垂直的证明思考途径：线线垂直 线面垂直 面面垂直. 3.面面平行与垂直的证明 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ a bλ=  （1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行,则它们必相交,在导出矛盾；②面面平行的判断 定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两 个平面的法向量平行. （2）面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直. 解题时要由已知相性质,由求证想判定,即分析法和综合法相结合寻找证明思路,关键在于对题目中的条件的 思考和分析,掌握做此类题的一般技巧和方法,以及如何巧妙进行垂直之间的转化. 4.探索性问题 探求某些点的具体位置,使得线面满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先 假设存在,再去推理,下结论；二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件 给出证明或计算. 5. 如何求线面角 （1）利用面面垂直性质定理,巧定垂足：由面面垂直的性质定理,可以得到线面垂直,这就为线面角中的垂足 的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积,省去垂足 在构成线面角的直角三角形中,其中垂线段尤为关键.确定垂足,是常规方法.可是如果垂足位置不好确定,此时 可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置,照样可以求出线面角.因为垂线段的长度 实际就是点面距 h！利用三棱锥的等体积,只需求出 h,然后利用 进行求解. （3）妙用公式,直接得到线面角 课本习题出现过这个公式： ,如图所示： .其中 为直线 AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时,可直接应用.但是一定要注意三个角 的位置,不能张冠李戴. （4）万能方法,空间向量求解不用找角 设 AB 是平面 的斜线,BO 是平面 的垂线,AB 与平面 所成的角 ,向量 与 的夹角 ,则 . 6.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平 斜线段长 h=θsin 21 coscoscos θθθ = 21,, θθθ =∠=∠=∠ OBCABOABC 1θ α α α BAO θ∠ = AB n ABO ψ∠ = sin cos AB n AB n θ ψ ⋅ = = ⋅   面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是 确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的 逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角； （2）射影面积法.利用射影面积公式 ＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角 问题还有一条途径是设法作出它的棱,作法有“平移法”“延伸平面法”等. 法二：设 , 是二面角 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧（同等异 补）, 则二面角 的平面角 7.如何建立适当的坐标系 根据几何体本身的几何性质,恰当建立空间直角坐标系最为关键,如果坐标系引入的恰当,合理,即能够容易确 定点的坐标,需要总结一些建系方法.常见建系方法： （1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴,如正方体,长方体等规则几何体,一般选择三条线为三个坐标轴, 如图 1、2； （2）借助面面垂直的性质定理建系,若题目中出现侧面和底面垂线的条件,一般利用此条件添加辅助线,确定 轴,如图 3； （3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥,利用定点在底面的射影为底面的中心,可确定 轴,然后在底面确定 互相垂直的直线分别为 x,y 轴.如图 4. cosθ S S ′ 1n 2n lα β− − lα β− − α 1 2 1 2 arccos | || | n n n n =     8.如何确定平面的法向量 （1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量,若有可直接确定,若不存在,转化为待定系数法； （2）待定系数法：由于法向量没有规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,于是可把法向量的某个坐标 设为 1,再求另两个坐标.由于平面法向量是垂直于平面的向量,所以取平面的两条相交向量,设 由 解方程组求得. 9. 向量为谋求解立体几何的探索性问题 空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算 进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,所以使 问题的解集更加简单、有效,应善于运用这一方法解题. 1．【山东、湖北部分重点中学 2018 年高考冲刺模拟试卷（二）】如图，五边形 中，四边形 为长 方形，三角形 为边长为 2 的正三角形，将三角形 沿 折起，使得点 在平面 上的射影恰好在 上. （Ⅰ）当 时，证明：平面 平面 ； （Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成二面角的余弦值的绝对值. 【解析】试题分析： ( , , ),n x y z= 0 0 n a n b  ⋅ = ⋅ =     ，又四边形 为长方形， . 取 中点为 ，得 ∥ ，连结 ， 其中 ， ， 由以上证明可知 互相垂直，不妨以 为 轴建立空间直角坐标系. ， ， 设 是平面 的法向量， 则有 即 ， 令 得 设 是平面 的法向量， 则有 即 令 得 . 则 所以平面 与平面 所成二面角的余弦值的绝对值为 . 2．【山东省肥城市 2018 届高三适应性训练】如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为梯 形， ， ，且 ， . （1）求二面角 的大小； （2）在线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由. （2）假设存在点 ，设 ， 所以 ， 所以 ,解得 , 所以存在点 ,且 . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第 二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用 公式关”. 3．【福建省三明市第一中学 2018 届高三下学期适应性练习（一）】如图，已知多面体 的底面 是边长为 2 的菱形， 底面 ， ，且 . （1）证明：平面 平面 ； （2）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值. ] ， ， ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 . 令 ，则 .所以 . 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 .令 ，则 .所以 . ， 设二面角 的大小为 ，由于 为钝角， 所以 ，即二面角 的余弦值为 . 点睛：（1）证明面面垂直，转化为线面垂直，证明线面垂直转化为线线垂直，用分析法思考，用综合法书 写。 （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值，是立体几何中求角度问题的常见解法。 4．【浙江省台州中学 2018 届高三模拟考试】如图，四棱锥 的底面 是边长为 的菱形， ，点 是棱 的中点， 平面 . （1）证明： 平面 ； （2）当 长度为多少时，直线 与平面 所成角的正弦值为 . （2）过 做 垂直于 交 于点 ，连接 ， ， ， ， 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，有关线面角的求解问题， 在解题的过程中，需要铭记线面平行的判定定理的内容，找到平行线，即可证得结果，关于线面角的问题 关键是找到对应的平面角. 学 . 5．【浙江省杭州市第二中学 2018 届高三仿真考】如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD ＝2AD＝2，DE⊥平面 ABCD，EF//BD，且 BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面 ADE⊥平面 BDEF； （Ⅱ）若二面角 C BF D 的大小为 60°，求 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值． ，DE⊥平面 ABCD，则 平面 . 过 G 做 于点 I，则 BF 平面 ，即角 为 二面角 C BF D 的平面角，则 60°. ， . 设平面 BCF 的法向量为 m＝(x，y， )， 则 所以 取 x= ，所以 m＝( ，-1，－ )， 取平面 BDEF 的法向量为 n＝(1，0，0)， 由 ，解得 ，则 ， 又 ,则 ，设 CF 与平面 ABCD 所成角为 ， 则 sin = . 故直线 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解 的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时 候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法. 6．【四川省南充高级中学 2018 届高三考前模拟考试】如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 的菱形，且 ， 与 交于点 ， 底面 ， . （1）求证：无论 为何值，在棱 上总存在一点 ，使得 平面 ； （2）当二面角 为直二面角时，求 的值． 于是 . ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 解得： ] 设平面 的法向量为 ，则 ，即 解得： 因为二面角 为直二面角， 所以 ，即 ，得 . 点睛：运用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建系：根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系； (2)定坐标：确定点的坐标进而求出有关向量的坐标； (3)向量运算：进行相关的空间向量的运算； (4)翻译：将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的求解． 7 ．【 山 东 省 实 验 中 学 2015 级 第 二 次 模 拟 考 试 】 已 知 三 棱 柱 的 侧 面 是 菱 形 ， . （1） 求证： ； （ 2 ） 若 ， ， ，求 的值，使得 二面角 的余弦值的为 . 点睛：本题主要考查线面垂直的判断定理及其应用，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 8．【河北省石家庄二中 2018 届高三三模】在等腰直角 中， ， 分别为 ， 的中点， ，将 沿 折起，使得二面角 为 . （1）作出平面 和平面 的交线，并说明理由； （2）二面角 的余弦值. 所以二面角 的余弦值为 . 点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤： 右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标 设两平面的法向量 ， 两法向量夹角为 ，求法向量及两向量夹角的余弦 ； 当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角 ；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面 角为 . 9．【河南省 2017-2018 学年 高三最后一次模拟考试】如图,在三棱柱 中,四边形 是矩形, ,平面 平面 . (1)证明: ； (2)若 , ，求二面角 的余弦值. 点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 10．【安徽省淮南市 2018 届高三第二次模拟考试】在多面体 中， ，四边形 为矩形， 四边形 为直角梯形， ， ， . (1)求证:平面 平面 ； (2)求二面角 的余弦值. 点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空 间想象能力转化能力.(2) 二面角常见的求法有两种，方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线法、垂面 法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式 （其中 分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角 的大小选择“ ”号） 11．【宁夏回族自治区银川一中 2018 届高三考前适应性训练】如图，斜三棱柱 中， 为锐 角，底面 是以 为斜边的等腰直角三角形， ． ] （1）证明：平面 平面 ； （2）若直线 与底面 成角为 ， ，求二面角 的余弦值． 点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握 水平和空间想象能力转化能力.(2) 二面角常见的求法有两种，方法一：（几何法）找 作（定义法、三垂线 法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再 代入公式 （其中 分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观 察二面角的大小选择“ ”号） 12．【河北省衡水中学 2018 届高三数学（理 ）三轮复习系列七】如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， 是棱 中点且 . （1）求证： 平面 ； （2）设点 是线段 上一动点，且 ，当直线 与平面 所成的角最大时，求 的值. （2）因为 为 的中点，设 ， 在 中， ，设 ，则 ， 所以 ， . ， 所以当 时，即 时， 取得最大值. 所以 与平面 所称的角最大时 . 点睛：空间向量的引入为空间角的求法提供了简捷的方法，只需借助于向量的运算便可得到所求的角．但 解题时也需注意向量的夹角与空间角的关系，以及空间角的取值范围，这是在解题中比较容易忽视的问题， 因此在求得向量的夹角后还得要根据题意再转化成所求的角． 13．【山东省日照市 2018 届高三校际联考】已知三棱锥 （如图 ）的平面展开图（如图 ）中，四边 形 为边长为 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中： （1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. （2）解：由 平面 ， ，如图建立空间直角坐标系，则 点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写 出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列 出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 14．【陕西省咸阳市 2018 年高考 5 月信息专递】已知在梯形 中， ， 分别为底 上的点， 且 ， ， ，沿 将平面 折起至平面 平面 ． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若二面角 的余弦值为 ，求 的长度． 【解析】分析：（Ⅰ）根据题设中的面面垂直可以得到 平面 ，从而 ，注意到 是等腰 （Ⅱ）以 为坐标原点，以 为 轴， 为 轴，以 为轴建立空间直角坐标系 ． 设 ，则 ，则 ， 显然平面 的一个法向量为 ，设平面 的一个法向量为 ， 则 ， ， ， 取 ，即 ， ， 依题意 ，解得 ，即 ． 点睛：面面垂直的证明，关键在于一个面中找到另一个面的垂线，面的垂线来自于线线垂直，它可以平面 图形的垂直关系（可以用解三角形等方法证明），也可以是空间直线垂直关系的转化（如 ）．二面角的计算可建立空间直角坐标系，然后计算法向量之间的夹角从而得到二面角的余 弦值的大小． 15．【江西师范大学附属中学 2018 届高三年级测试（三模）】如图， 是边长为 6 的正方形，已知 ，且 并与对角线 交于 ，现以 为折痕将正方形折起，且 重合，记 重合后记为 ， 重合后记为 . （1）求证：面 面 ； （2）求面 与面 所成二面角的余弦值. （2）以与 垂直的直线为 轴， 为 轴， 为轴建立坐标系，则, , 设面 的法向量 ,由 ， 得： ，取 ，得 ， 所以面 的法向量 .