专题2-4+函数、不等式中恒成立问题（练）-2018年高考数学（文）二轮复习讲练测 14页

2018 高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版文科数学】 1. 练高考 1.【2014 山东高考】已知实数 yx, 满足 )10(  aaa yx ，则下面关系是恒成立的是（ ） A. 1 1 1 1 22  yx B. )1ln()1(ln 22  yx C. yx sinsin  D. 33 yx  【答案】 D 【解析】由 (0 1)x ya a a   及指数函数的性质得， ,x y 所以， 3 3x y ，选 D . 2.【2015 高考新课标 1】设函数 ( )f x = (2 1)xe x ax a   ,其中 a 1，若存在唯一的整数 0x ，使得 0( )f x 0， 则 a 的取值范围是（ ） (A)[- 3 2e ，1） (B)[- 3 2e ， 3 4 ） (C)[ 3 2e ， 3 4 ） (D)[ 3 2e ，1） 【答案】D 3.【2017 天津，文理】已知函数 2 3, 1, ( ) 2 , 1. x x x f x x xx        设 a  R ，若关于 x 的不等式 ( ) | |2 xf x a  在 R 上恒 成立，则 a 的取值范围是（ ） （A） 47[ ,2]16  （B） 47 39[ , ]16 16  （C）[ 2 3,2] （D） 39[ 2 3, ]16  【答案】 A 4.【2017 天津，文 19】设 ,a bR ，| | 1a  .已知函数 3 2( ) 6 3 ( 4)f x x x a a x b     ， ( ) e ( )xg x f x . （Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）已知函数 ( )y g x 和 exy  的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证： ( )f x 在 0x x 处的导数等于 0； （ii）若关于 x 的不等式 ( ) exg x  在区间 0 0[ 1, 1]x x  上恒成立，求 b 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）递增区间为 ( , )a ，(4 , )a  ，递减区间为 ( ),4a a .（2）（ⅰ） ( )f x 在 0x x 处的导 数等于 0.（ⅱ）b 的取值范围是[ 7 ],1 . 【解析】 所以 0 00 0 0 0 0 ( )e e e ( ( ) ( )) ex x x x f f f x 'x x     ，解得 0 0 ( ) 1 ( ) 0 f ' x xf    . 所以， ( )f x 在 0x x 处的导数等于 0. （ii）因为 ( ) exg x  ， 0 0[ 1 1],x x x   ，由 e 0x  ，可得 ( ) 1f x  . 又因为 0( ) 1f x  ， 0( ) 0f ' x  ，故 0x 为 ( )f x 的极大值点，由（I）知 0x a . 另一方面，由于| | 1a  ，故 1 4a a   ， 由（I）知 ( )f x 在 ( , )1a a 内单调递增，在 ( ), 1a a  内单调递减， 5.【2016 高考江苏卷】已知函数 ( ) ( 0, 0, 1, 1)x xf x a b a b a b      .设 12, 2a b  . （1）求方程 ( ) 2f x  的根; （2）若对任意 x R ,不等式 (2 ) f( ) 6f x m x  恒成立，求实数 m 的最大值； （3）若 0 1, 1a b  ＞ ，函数     2g x f x  有且只有 1 个零点，求 ab 的值。 【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】 （1）因为 12, 2a b  ，所以 ( ) 2 2x xf x   . ①方程 ( ) 2f x  ，即 2 2 2x x  ，亦即 2(2 ) 2 2 1 0x x    ， 所以 2(2 1) 0x   ，于是 2 1x  ，解得 0x  . ②由条件知 2 2 2 2(2 ) 2 2 (2 2 ) 2 ( ( )) 2x x x xf x f x        . 因为 (2 ) ( ) 6f x mf x  对于 x R 恒成立，且 ( ) 0f x  ， 所以 2( ( )) 4 ( ) f xm f x  对于 x R 恒成立. 而 2( ( )) 4 4 4( ) 2 ( ) 4( ) ( ) ( ) f x f x f xf x f x f x       ，且 2( (0)) 4 4(0) f f   ， 所以 4m  ，故实数 m 的最大值为 4. （2）因为函数 ( ) ( ) 2g x f x  只有 1 个零点，而 0 0(0) (0) 2 2 0g f a b      ， 所以 0 是函数 ( )g x 的唯一零点. 若 0 0x  ，同理可得，在 0 2 x 和 log 2a 之间存在 ( )g x 的非 0 的零点，矛盾. 因此， 0 0x  . 于是 ln 1ln a b   ，故 ln ln 0a b  ，所以 1ab  . 2.练模拟 1. 已知函数   2 2lnf x ax bx x   （ 0a  ， Rb ），若对任意的 0x  ，都有    2f x f 成立，则 （ ） A. ln 1a b   B. ln 1a b   C. ln 1a b   D. ln 1a b   【答案】C 2. 设函数   2 2 2f x ax x   ，对于满足1 4x  的一切 x 值都有   0f x  ，则实数 a 的取值范围为（ ） A. 1a  B. 1 12 a  C. 1 2a  D. 1 2a  【答案】D 【解析】满足1 4x  的一切 x 值，都有   2 2 2 0f x ax x    恒成立，可知   2 2 2 1 1 1 10, 2 4 2 xa a x x               ，满足1 4x  的一切 x 值恒成立， 1 1 14 x   ， 21 1 1 12 0,4 2 2x                  ，实数 a 的取值范围是 1 ,2     ，实数 a 的取值范围为 1 2a  ，故选 D. 3.【2018 届河南省南阳市第一中学高三第六次考】已知函数   3 3 1f x ax x   对  0,1x 总有   0f x  成立，则实数 a 的取值范围是__________． 【答案】[4，＋∞) 【解析】当 x∈(0,1]时不等式 ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥ 3 3 1x x  ，设 g(x)＝ 3 3 1x x  ，x∈(0,1]，g′(x)＝  3 2 6 4 163 3 1 3 2xx x x x x        ，因此 g(x)的最大值为 4，则实数 a 的取值范围是[4，＋∞)． 故答案为[4，＋∞) 4.【2018 届高考数学训练】在 R 上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1 对任意的 x 恒成 立，则实数 a 的取值范围是________． 【答案】 1 3,2 2     【解析】由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1 对任意的 x 恒成立，即 x2－x －a2＋a＋1≥0 恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)≤0，解得－ 1 2 ≤a≤ 3 2 . 5.【2018 届北京市海淀区高三第一学期期末】对任意实数 k ，定义集合   2 0 , |{ 2 0 , 0 k x y D x y x y x y R kx y                . ①若集合 kD 表示的平面区域是一个三角形，则实数 k 的取值范围是______； ②当 0k  时，若对任意的  , kx y D ，有  3 1y a x   恒成立，且存在 , kx y D ，使得 x y a  成 立，则实数 a 的取值范围为_______. 【答案】  1,1 12, 5     平移目标函数 y x a  ， 当直线和 2y x  重合时，此时 x y 最小，最小值为 2 ， 则 2a   ，综上所述 a 的取值范围是 12, 5     . 6.【2018 届北京市通州区高三上学期期末】已知函数   ,ln x af x x  a R . （Ⅰ）当 0a  时，求函数  f x 的单调区间； （Ⅱ）对任意的  1,x  ，  f x x 恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间是 ,e  ，单调递减区间是 0,1 和 1,e . （Ⅱ） 1.a  3.练原创 1. 三个同学对问题“关于 x 的不等式 2 3 225 5x x x ax    在 1,12 上恒成立，求实数 a 的取值范围”提出 各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求 a 的取值范围. 【答案】 10a  【解析】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映. 设    2 3 225 5 ,f x x x x g x ax     . 甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数， 设    2 3 225 5 ,f x x x x g x ax     其解法相当于解下面的问题： 2. （1）若关于 x 的不等式 02  aaxx 的解集为 ),(  ，求实数 a 的取值范围；（2）若关于 x 的不 等式 32  aaxx 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 【答案】（1） 04  a （2） 6a   或 2a  . 【解析】（1）设   aaxxxf  2 .则关于 x 的不等式 02  aaxx 的解集为 ),(    0 xf 在   , 上恒成立   0min  xf , 即   ,04 4 2 min  aaxf 解得 04  a （2）设   aaxxxf  2 .则关于 x 的不等式 32  aaxx 的解集不是空集   3 xf 在   , 上能成立   3min  xf , 即   ,34 4 2 min  aaxf 解得 6a   或 2a  . 3. 若函数 2 6 8y mx mx m    在 R 上恒成立，求 m 的取值范围。 【答案】 0 1m  【解析】要使 2 6 8y mx mx m    在 R 上恒成立，即 2 6 8 0mx mx m    在 R 上 恒成立。 1 0m  时，8 0 0m  成立 2 0m  时，    2 0 36 4 8 32 1 0 m m m m m        ， 0 1m   由1 ， 2 可知， 0 1m  4. 当 (1,2)x 时，不等式 2( 1) logax x  恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】1 2a  【解析】 2 1 2: ( ) ( 1) , : ( ) log aT f x x T g x x   = 2( 1)x  ，则 1T 的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 (1,2)x ， ( )f x < ( )g x 恒成立即 1T 的图象一定要在 2T 的图象所的下方，显然 1a  ，并且必须也只需 (2) (2)g f ，故 log 2 1, 1, 1 2a a a     . 5. 设函数是定义在 ( , )  上的增函数，如果不等式 2(1 ) (2 )f ax x f a    对于任意 [0,1]x  恒成立， 求实数 a 的取值范围. 【答案】 1a 