2019-2020学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一上学期期中数学试题（解析版） 14页

‎2019-2020学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{4}，集合B＝{2}，则集合（∁UA）∪B＝（　　）‎ A．{0，2，3，4} B．{0，3，4} C．{0，1，2，3} D．∅‎ ‎【答案】C ‎【解析】进行并集和补集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{4}，B＝{2}，‎ ‎∴∁UA＝{0，1，2，3}，（∁UA）∪B＝{0，1，2，3}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了列举法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2．函数的定义域是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据偶次根式中被开方数大于等于0，分母不等于0及真数大于0建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，则，‎ 得得x＞2，‎ 即函数的定义域为（2，+∞），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．‎ ‎3．下列两个函数是相等函数的是（　　）‎ A． B．,‎ C．, D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．‎ ‎【详解】‎ A．g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数 B．f（x）＝1，函数的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝1，定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域相同，是相等函数 C．f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞），两个函数的定义域不相同，不是相等函数 D．f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域和对应法则不相同，不是相等函数 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相等函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键．‎ ‎4．已知则f（f（-1））=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】推导出f（﹣1）＝2﹣1，从而f（f（﹣1））＝f（），由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴f（-1）=2-1=，‎ f（f（-1））=f（）==．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5．当a＞0，且a≠1时，f（x）=loga（x+2）+3的图象恒过定点P，则点P坐标为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令真数等于1，求出x、y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 当a＞0，且a≠1时，对于函数f（x）＝loga（x+2）+3，‎ 令x+2＝1，求得x＝﹣1，y＝3，可得函数的图象经过定点（﹣1，3）．‎ 再根据它的的图象恒过定点P，则点P坐标为（﹣1，3），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．‎ ‎6．下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合奇函数的定义可知，y，为非奇非偶函数，可判断，B，D，结合幂函数的性质可知，y＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减，可判断A即可．‎ ‎【详解】‎ 结合奇函数的定义可知，y，为非奇非偶函数，故B，D错误；‎ 结合幂函数的性质可知，y＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减，故A错误；‎ 而y＝x3为奇函数且在（0，+∞）上单调递增，故C正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的定义及函数单调性的简单应用，属于基础试题．‎ ‎7．函数的零点所在的区间为（ ）.‎ A．(-1,0) B．(0,1) C．(1.2) D．(2,3)‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据零点存在定理判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，因此零点在区间内．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查零点存在定理，属于基础题型．‎ ‎8．如果函数在区间]上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为二次函数开口向上，对称轴为，所以其减区间为，又函数在上是减函数，故，所以，解得，故选A.‎ ‎9．函数f（x）=x2ln|x|的图象大致是( ).‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置判断即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝x2ln|x|是偶函数，排除选项B，D；‎ 当x＞1时，y＞0，x∈（0，1）时，y＜0，‎ 排除C，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置是解题常用方法．‎ ‎10．已知，那么a，b，c的大小关系是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的单调性容易得出log0.90.8＞1，0.50.6＜0.60.6＜0.60.5＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．‎ ‎【详解】‎ a =log0.90.8＞log0.90.9＝1，c =0.50.6＜0.60.6＜0.60.5 = b＜0.60＝1，‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数、指数函数和幂函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎11．已知f（x）是定义域为[-3，3]的奇函数，且在[-3，0]上是减函数，那么不等式f（x+1）＞f（3-2x）的解集是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且在[﹣3，0]上是减函数，‎ ‎∴f（x）在[0，3]上为减函数，‎ 由f（x+1）＞f（3﹣2x）‎ 可得，‎ 解可得，0，‎ 故不等式的解集为{x|0}，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．‎ ‎12．已知x0是函数f（x）=lnx-（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）则（　　）‎ A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎【答案】A ‎【解析】先确定f（x）的单调性，从而求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）＝lnx（x＞0），y= lnx与y=在x＞0上都是增函数，‎ ‎∴f（x）单调递增．‎ ‎∵已知x0是函数f（x）＝lnx（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），‎ ‎∴f（x1）＜0，f（x2）＞0．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了单调性的应用，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．已知幂函数y=f（x）的图象过（8，2），则f（x）=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出幂函数，利用幂函数经过的点，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设所求幂函数为：f（x）＝xα，‎ ‎∵幂函数f（x）的图象经过点（8，2），‎ ‎∴2＝8α，∴α，‎ ‎∴f（x）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的解析式的求法，属于基础题．‎ ‎14．设函数，则该函数的值域为 ．‎ ‎【答案】[2，6]‎ ‎【解析】【详解】‎ 因为是二次函数，定义域给定，对称轴为x=1,则在定义域上先减后增，‎ 则最小值在x=1处取得，最大值在x=3处取得，‎ 代入解析式求解得到分别为2,6.因此值域为[2,6]‎ ‎15．已知是R上的增函数，则的取值范围是__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数是R上的增函数，可知函数在各段上是增函数，且的最大值要不大于的最小值,列出满足条件即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为是R上的增函数，‎ 所以，解得，故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的增减性，一次函数，指数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎16．给出下列说法：‎ ‎①函数y=2x与函数y=log2x互为反函数；‎ ‎②若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；‎ ‎③若，则f（x）=x2-2；‎ ‎④函数y=log2（1-x）的单调减区间是（-∞，1）；‎ 其中所有正确的序号是______．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】①利用反函数的定义即可判断出正误；‎ ‎②若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，对k需要分类讨论，k≠0时，利用判别式△＝0即可得出；‎ ‎③没有给出函数f（x）的定义域．‎ ‎④利用复合函数的单调性即可判断出正误．‎ ‎【详解】‎ ‎①函数y＝2x与函数y＝log2x互为反函数，正确；‎ ‎②若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，k＝0时，方程化为4x+4＝0，解得x＝﹣1，满足条件；‎ k≠0时，可得△＝16﹣16k＝0，解得k＝1．综上可得：k＝0或1，因此不正确；‎ ‎③若，则f（x）＝x2﹣2，定义域为{x|x≥0}，因此不正确；‎ ‎④函数y＝log2（1﹣x）的单调减区间是（﹣∞，1），正确．‎ 其中所有正确的序号是①④．‎ 故答案为：①④．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域及其单调性、方程的解与判别式的关系、分类讨论方法、反函数、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．求下列答式的值:‎ ‎(1) ‎ ‎(2)‎ ‎【答案】（1）18；（2）．‎ ‎【解析】（1）利用幂的运算法则计算；‎ ‎（2）根据对数运算法则计算．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式＝．‎ ‎（2）原式＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分数指数幂的运算法则与对数运算法则，属于基础题型．‎ ‎18．已知集合，.‎ ‎（1）当时，求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），或；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入集合，利用并集、补集的定义可得出集合和；‎ ‎（2）由得出，可得出关于的不等式组，解不等式组即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，集合，‎ 因为集合，所以，‎ 因此，或；‎ ‎（2）因为集合，且，则，‎ 所以，解得，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合并集和补集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，在处理无限数集的运算时，可充分结合数轴来理解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-x2+4x．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）；‎ ‎（3）讨论直线y=m（m∈R）与y=f（x）的图象的交点个数．‎ ‎【答案】（1）f（x）=； （2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】本题第（1）题利用偶函数的性质公式f（x）＝f（﹣x）可得当x＜0时的函数表达式，则即可得到函数f（x）的解析式；第（2）题可将第（1）题中函数f（x）的解析式化为顶点式，即可画出f（x）的图象；第（3）题根据第（2）题中f（x）大致图象，对m分类讨论即可得到交点个数．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，‎ 当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）＝﹣x2﹣4x，‎ 又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，‎ ‎∴函数f（x）的解析式为：‎ f（x）．‎ ‎（2）由（1），知：‎ 当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4；当x≥0时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4．‎ ‎∴f（x），大致图象如下：‎ ‎（3）根据（2）中f（x）大致图象，可知 ‎①当m＜0时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有2个交点；‎ ‎②当m＝0时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有3个交点；‎ ‎③当0＜m＜4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有4个交点；‎ ‎④当m＝4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有2个交点；‎ ‎⑤当m＞4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有没有交点．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据偶函数的性质写出函数完整表达式，二次函数图象画法，数形结合思想，分类讨论思想的应用，本题属中档题．‎ ‎20．函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数．‎ ‎【答案】（1）f（x）=； （2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由奇函数的性质可得f（0）＝0，结合，代入可求a，b；‎ ‎（2）先设﹣1＜x1＜x2＜1，然后根据单调性的定义比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵是定义在（﹣1，1）上的奇函数，‎ ‎∴f（0）0，‎ ‎∴b＝0，f（x），‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解可得，a＝1，‎ ‎∴f（x）；‎ ‎（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，‎ 则f（x1）﹣f（x2），‎ ‎∵﹣1＜x1＜x2＜1，‎ ‎∴x1﹣x2＜0，2﹣x1x2＞0，（2）（2）＞0，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），‎ ‎∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用奇函数的性质及定义求解参数，及函数的单调性的定义在单调性的判断及证明中的应用．‎ ‎21．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为．‎ ‎（1）求p%的值；‎ ‎（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？‎ ‎【答案】（1）1； （2）5年.‎ ‎【解析】（1）得出砍伐n年后的森林剩余面积关于n的函数f（n），根据f（10）计算p%的值；‎ ‎（2）令f（n），根据指数运算性质计算n．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设砍伐n年后的森林面积为f（n），则f（n）＝a（1﹣P%）n．‎ 由题意可得f（10），即a（1﹣P%）10，‎ 解得：p%＝1．‎ ‎（2）由（1）可得f（n）＝a•（）n＝a•，‎ 令f（n）可得，，‎ ‎∴，即n＝5．‎ 故到今年为止，该森林已砍伐5年．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式求解，函数值计算，也可以用等比数列性质来计算，属于中档题．‎ ‎22．已知函数且 ‎(1)若方程的一个实数根为2，求的值;‎ ‎(2)当且时，求不等式的解集; ‎ ‎(3)若函数在区间上有零点，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）用代入方程，可求得；‎ ‎（2）由对数函数的性质解此不等式；‎ ‎（3）结合零点存在定理和二次方程根的分布知识求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）即有一个根是2，‎ 则，∴，．‎ ‎（2）不等式为，‎ ‎∵，∴，解得，‎ 即不等式的解集为．‎ ‎（3）由题意在上有解，‎ 解法一：‎ ‎(i)若，则，，，，满足题意；‎ ‎(ii)若，则，，，，满足题意；‎ ‎(iii)，或． ‎ ‎（iv），解得 综上所述，的取值范围是．‎ 解法二：，‎ ‎∵，∴，∴，∴，‎ ‎∴或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的图象与性质，考查函数零点的概念．函数零点问题特别是二次函数零点分布问题如果用根的分布知识求解有一定的难度，如题中解法一，但若用分离参数法转化为求函数的值域问题将会显得简单，如解法二，在解题中要注意体会．‎