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- 2021-06-21 发布
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2017—2018 学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有
且只有一项符合题目要求.
1.圆 2 2 4 0x y x 的圆心坐标和半径分别是
A. 0,2 ,2 B. 2,0 ,4 C. 2,0 ,2
D. 2,0 ,2
2.设 ,a b 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列
命题中正确的是
A. 若 // , ,a b ,则 //a b
B.若 // , ,a b ,则 //a b
C.若 , // , //a b a b ,则
D.若 , ,a b a b ,则
3.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
A. 2 2 3 B. 4 2 3
C. 2 32 3
D. 2 34 3
4.直线 2 1 3 0x my m ,当 m 变化时,所有直线都过定点
A. 1 ,32
B. 1 ,32
C. 1 , 32
D. 1 , 32
5.若直线 : 3l y kx 与直线 2 3 6 0x y 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的
取值范围是
A. ,6 3
B. ,6 2
C. ,3 2
D. ,6 2
6.正四面体 ABCD 中,M 是棱 AD 的中点,O 是点 A 在底面 BCD 内的射影,则异面直线
BM 与 AO 所成角的余弦值是
A. 2
6
B. 2
3
C. 2
4
D. 2
5
7.直线 3 2 0x y 截圆 2 2 4x y 所得的弦长为
A. 1 B. 2 3 C. 2 2 D.2
8.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, P 为棱 1AA 上一动点, Q 为底
面 ABCD 上一动点,M 是 PQ 的中点,若点 ,P Q 都运动时,点 M 构成的点集是一个空间
几何体,则这个几何体是
A. 棱柱 B. 棱台 C.棱锥 D. 球的一部分
9.已知点 ,P x y 在直线 1 0x y 上运动,则 2 22 2x y 的最小值是
A. 1
2
B. 2
2
C. 2
2
D. 3 2
2
10.三棱锥的三组相对棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等,且长分
别为 2, ,m n ,其中 2 2 6m n ,则该三棱锥体积的最大值为
A. 1
2
B. 8 3
27
C. 3
3
D. 2
3
11.若直 线 2 2 0 , 0ax by a b 始终 平分圆 2 2 4 2 8 0x y x y 的周 长,则
1 2
a b
的最小值为
A. 1 B. 5 C. 4 2 D.3 2 2
12.在菱形 ABCD 中, 2 3, 60AB A ,将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置,若二面
角 P BD C 的大小为120 ,三棱锥 P BCD 的外接球球心为 O , BD 的中点为 E ,则
OE
A. 1 B. 2 C. 7 D. 2 7
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知两条直线 0x ky k 与 1y k x 平行,则 k 的值为 .
14.在三棱锥中 P ABC , 6, 3,PB AC G 为 PAC 的中心,过点G 作三棱锥的一个截
面,使截面平行于直线 PB 和 AC ,则截面的周长为 .
15.从原点 O 向圆 2 2 12 27 0x y x 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度
为 .
16.已知圆 2 2: 4O x y ,直线 :l x y m ,若圆 O 上恰有 3 个点到直线l 的距离为 1,
则实数 m .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(本题满分 10 分)
如图 1,在 Rt ABC 中, 90 , ,C D E 分别为 ,AC AB A 的中点,点 F 为线段 CD 上
的一点,将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置,使 1A F CD ,如图 2.
(1)求证: //DE 平面 1ACB ;
(2)求证: 1A F BE .
18.(本题满分 12 分)已知点 1,A a ,圆 2 2 4.x y
(1)过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程;
(2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为 2 3 ,求 a 的值.
19.(本题满分 12 分)在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 190 , 2, 1BAC AB AC AA ,
点 ,M N 分别为 1 1,A B B C 的中点.
(1)求证: //MN 平面 1 1A ACC ;
(2)求三棱锥 1A MNC 的体积(锥体的体积公式 1
3V Sh ,其中 S 为底面面积,h 为
高)
20.(本题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线上 4y x ,且与直线 1 0x y 相切于点
3, 2 .P
(1)求圆 C 的方程;
(2)是否存在过点 1,0N 的直线l 与圆 C 交于 ,E F 两点,且 OEF 的面积为 2 2(O
为坐标原点),若存在,求出直线l 的方程,若不存在,请说明理由.
21.(本题满分 12 分)
已 知 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 中 , 1 2AB AC AA 侧 面
1 1ABB A 底 面 ,ABC D 是 BC 的 中 点 ,
1 160 , .B BA B D AB
(1)求证: AC 平面 1 1ABB A ;
(2)求直线 1AC 与平面 ABC 所成角的正弦值.
22.(本题满分 12 分)
已知圆 C 经过点 2,0 , 2,0A B ,且圆心C 在直线 y x 上,又直线 : 1l y kx 与圆 C
交于 P,Q 两点.
(1)求圆 C 的方程;
(2)(文科)若 2OP OQ ,求实数 k 的值;
(2)(理科)过点 0,1 作直线 1l l ,且 1l 交圆 C 于 M,N 两点,求四边形 PMQN 的面积
的最大值.
23.(仅实验班做)(本题满分 20 分)
已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线3 4 4 0x y 与圆 C 相切.
(1)求圆 C 的方程;
( 2 ) 过 点 0, 3Q 的 直 线 l 与 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 1 1 2 2, , ,A x y B x y , 且 当
1 2 1 2 3x x y y 时,求 AOB 的面积.
2017~2018 学年度第一学期期中试卷
高二数学答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。)
1 、D 2 、C 3 、C 4 、D 5、B 6、B 7、 B 8、A 9、A 10、D
11 、A 12、B
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13 -1 14、8 15、2 16、
三、解答题
17. (10 分)
(1)∵D,E 分别为 AC,AB 的中点,
∴DE∥BC,
又 DE?平面 A 1 CB,
∴DE∥平面 A 1 CB。 ------------------------------- 5 分
(2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,
∴DE⊥AC,
∴DE⊥A 1 D,
又 DE⊥CD,
∴DE⊥平面 A 1 DC,而 A 1 F?平面 A 1 DC,
∴DE⊥A 1 F,又 A 1 F⊥CD,
∴A 1 F⊥平面 BCDE,
∴A 1 F⊥BE。 ------------------------------10 分
18.(12 分)
解:(1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上,故 12+a2=4,∴a=±.
当 a=时,A(1,),切线方程为 x+y-4=0;
当 a=-时,A(1,-),切线方程为 x-y-4=0,
∴a=时,切线方程为 x+y-4=0,
a=-时,切线方程为 x-y-4=0. -----------------------------------6 分
(2)设直线方程为 x+y=b,
由于直线过点 A,∴1+a=b,a=b-1.
又圆心到直线的距离 d=
|b|
2 ,
∴(
|b|
2 )2+(
3
2)2=4.
∴b=±.∴a=±-1. ----------------------------------12 分
19.(12 分)
(Ⅰ)
连接 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱,
所以 M 为 AB′的中点,又因为 N 为 B′C′中点,所以 MN∥AC′,
又 MN⊄平面 A′ACC′,AC′⊂平面 A′ACC′,所以 MN∥平面 A′ACC′;------6 分
(Ⅱ)连接 BN,则 V A′-MNC=V N-A′MC=12V N-A′BC=12V A′-NBC=16.解法二,V A′-MNC=V
A′-NBC-V M-NBC=12V
A′-NBC=1/6.-------------------------------------------------------------------------------------12 分
20.(12 分)
(1)设圆心坐标为 ,则圆的方程为: ,又与 相
切 , 则 有 , 解 得 : , , 所 以 圆 的 方 程 为 :
; ----------------------------- 5 分
(2)由题意得:当 存在时,设直线 ,设圆心到直线的距离为 ,
则有 ,进而可得:
化简得: ,无解; --------------------------------- 9 分
当 不 存 在 时 , , 则 圆 心 到 直 线 的 距 离 , 那 么 ,
,满足题意,所以直线 的方程为: . --------12 分
21.(12 分)
(Ⅰ)取 中点 ,连接 ,
中, ,故 是等边三角形,∴ ,又
,而 与 相交于 ,∴ 面 ,
故 ,又 ,所以 ,
又∵侧面 底面 于 , 在底面 内,∴ 面 .
--------------------------------- 6 分
(Ⅱ)过 作 平面 ,垂足为 ,连接 , 即为直线 与平面
所成的角,
由(Ⅰ)知 ,侧面 底面 ,所以 平面 ,由等边
知 ,
又∵ 平面 ,
∴ ,
由(Ⅰ)知 面 ,所以 ,
∴四边形 是正方形,
∵ ,∴ ,
∴在 中, ,
所以直线 与平面 所成线面角的正弦值为 . --------- 12 分
22、(12 分)
解:(I)设圆心 C(a,a),半径为 r.
因为圆经过点 A(﹣2,0),B(0,2),所以|AC|=|BC|=r,
所以
解得 a=0,r=2,
所以圆 C 的方程是 x 2 +y 2 =4. --------------------------------------5 分
(II)(文科)因为 ,
所以 ,∠POQ=120°,
所以圆心到直线 l:kx﹣y+1=0 的距离 d=1,
又 ,所以 k=0。 ------------------------------------12 分
(II)(理科)设圆心 O 到直线 l,l 1 的距离分别为 d,d 1 ,四边形 PMQN 的面积为 S.
因为直线 l,l 1 都经过点(0,1),且 l⊥l 1 ,根据勾股定理,有 ,
又根据垂径定理和勾股定理得到, ,
------------------------------------9 分
而 ,即
当且仅当 d 1 =d 时,等号成立,所以 S 的最大值为 7.-------------------------------12 分
23.(实验班)解:(1)半径已知,所以只需确定圆心即可,设圆心 ,因为
直 线 与 圆 相 切 , 利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 列 式 求 ;( 2 ) 从
可以看出,这是韦达定理的特征,故把直线方程设为 ,与(1)所
求圆的方程联立,得关于 的一元二次方程,用含有 的代数式表示出 ,进而利
用 列方程,求 ,然后用弦长公式求 ,用点到直线的距离公式求高,面
积可求.
试题解析:(I)设圆心为 ,则圆 C 的方程为
因为圆 C 与 相切 所以 解得: (舍)
所以圆 C 的方程为: 4 分
(II)依题意:设直线 l 的方程为:
由 得
∵l 与圆 C 相交于不同两点
∴
又∵ ∴
整理得: 解得 (舍)
∴直线 l 的方程为: 8 分
圆心 C 到 l 的距离 在△ABC 中,|AB|=
原点 O 到直线 l 的距离,即△AOB 底边 AB 边上的高
∴ 12 分