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  • 2021-06-21 发布

数学卷·2019届山西省大同一中高二上学期期中考试(2017-11)

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2017—2018 学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求. 1.圆 2 2 4 0x y x   的圆心坐标和半径分别是 A.  0,2 ,2 B.  2,0 ,4 C.  2,0 ,2 D. 2,0 ,2 2.设 ,a b 是两条不同的直线, ,  是两个不同的平面,则下列 命题中正确的是 A. 若 // , ,a b     ,则 //a b B.若 // , ,a b     ,则 //a b C.若 , // , //a b a b  ,则   D.若 , ,a b a b    ,则   3.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A. 2 2 3  B. 4 2 3  C. 2 32 3   D. 2 34 3   4.直线 2 1 3 0x my m    ,当 m 变化时,所有直线都过定点 A. 1 ,32     B. 1 ,32      C. 1 , 32     D. 1 , 32      5.若直线 : 3l y kx  与直线 2 3 6 0x y   的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的 取值范围是 A. ,6 3      B. ,6 2       C. ,3 2       D. ,6 2       6.正四面体 ABCD 中,M 是棱 AD 的中点,O 是点 A 在底面 BCD 内的射影,则异面直线 BM 与 AO 所成角的余弦值是 A. 2 6 B. 2 3 C. 2 4 D. 2 5 7.直线 3 2 0x y   截圆 2 2 4x y  所得的弦长为 A. 1 B. 2 3 C. 2 2 D.2 8.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, P 为棱 1AA 上一动点, Q 为底 面 ABCD 上一动点,M 是 PQ 的中点,若点 ,P Q 都运动时,点 M 构成的点集是一个空间 几何体,则这个几何体是 A. 棱柱 B. 棱台 C.棱锥 D. 球的一部分 9.已知点  ,P x y 在直线 1 0x y   上运动,则   2 22 2x y    的最小值是 A. 1 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 3 2 2 10.三棱锥的三组相对棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等,且长分 别为 2, ,m n ,其中 2 2 6m n  ,则该三棱锥体积的最大值为 A. 1 2 B. 8 3 27 C. 3 3 D. 2 3 11.若直 线  2 2 0 , 0ax by a b    始终 平分圆 2 2 4 2 8 0x y x y     的周 长,则 1 2 a b  的最小值为 A. 1 B. 5 C. 4 2 D.3 2 2 12.在菱形 ABCD 中, 2 3, 60AB A   ,将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置,若二面 角 P BD C  的大小为120 ,三棱锥 P BCD 的外接球球心为 O , BD 的中点为 E ,则 OE  A. 1 B. 2 C. 7 D. 2 7 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知两条直线 0x ky k   与  1y k x  平行,则 k 的值为 . 14.在三棱锥中 P ABC , 6, 3,PB AC G  为 PAC 的中心,过点G 作三棱锥的一个截 面,使截面平行于直线 PB 和 AC ,则截面的周长为 . 15.从原点 O 向圆 2 2 12 27 0x y x    作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度 为 . 16.已知圆 2 2: 4O x y  ,直线 :l x y m  ,若圆 O 上恰有 3 个点到直线l 的距离为 1, 则实数 m  . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分 10 分) 如图 1,在 Rt ABC 中, 90 , ,C D E   分别为 ,AC AB A 的中点,点 F 为线段 CD 上 的一点,将 ADE 沿 DE 折起到 1A DE 的位置,使 1A F CD ,如图 2. (1)求证: //DE 平面 1ACB ; (2)求证: 1A F BE . 18.(本题满分 12 分)已知点  1,A a ,圆 2 2 4.x y  (1)过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为 2 3 ,求 a 的值. 19.(本题满分 12 分)在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 190 , 2, 1BAC AB AC AA     , 点 ,M N 分别为 1 1,A B B C 的中点. (1)求证: //MN 平面 1 1A ACC ; (2)求三棱锥 1A MNC 的体积(锥体的体积公式 1 3V Sh ,其中 S 为底面面积,h 为 高) 20.(本题满分 12 分)已知圆 C 的圆心在直线上 4y x  ,且与直线 1 0x y   相切于点  3, 2 .P  (1)求圆 C 的方程; (2)是否存在过点  1,0N 的直线l 与圆 C 交于 ,E F 两点,且 OEF 的面积为 2 2(O 为坐标原点),若存在,求出直线l 的方程,若不存在,请说明理由. 21.(本题满分 12 分) 已 知 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 中 , 1 2AB AC AA   侧 面 1 1ABB A  底 面 ,ABC D 是 BC 的 中 点 , 1 160 , .B BA B D AB   (1)求证: AC  平面 1 1ABB A ; (2)求直线 1AC 与平面 ABC 所成角的正弦值. 22.(本题满分 12 分) 已知圆 C 经过点    2,0 , 2,0A B ,且圆心C 在直线 y x 上,又直线 : 1l y kx  与圆 C 交于 P,Q 两点. (1)求圆 C 的方程; (2)(文科)若 2OP OQ    ,求实数 k 的值; (2)(理科)过点  0,1 作直线 1l l ,且 1l 交圆 C 于 M,N 两点,求四边形 PMQN 的面积 的最大值. 23.(仅实验班做)(本题满分 20 分) 已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线3 4 4 0x y   与圆 C 相切. (1)求圆 C 的方程; ( 2 ) 过 点  0, 3Q  的 直 线 l 与 圆 C 交 于 不 同 的 两 点    1 1 2 2, , ,A x y B x y , 且 当 1 2 1 2 3x x y y  时,求 AOB 的面积. 2017~2018 学年度第一学期期中试卷 高二数学答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。) 1 、D 2 、C 3 、C 4 、D 5、B 6、B 7、 B 8、A 9、A 10、D 11 、A 12、B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13 -1 14、8 15、2 16、 三、解答题 17. (10 分) (1)∵D,E 分别为 AC,AB 的中点, ∴DE∥BC, 又 DE?平面 A 1 CB, ∴DE∥平面 A 1 CB。 ------------------------------- 5 分 (2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, ∴DE⊥AC, ∴DE⊥A 1 D, 又 DE⊥CD, ∴DE⊥平面 A 1 DC,而 A 1 F?平面 A 1 DC, ∴DE⊥A 1 F,又 A 1 F⊥CD, ∴A 1 F⊥平面 BCDE, ∴A 1 F⊥BE。 ------------------------------10 分 18.(12 分) 解:(1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上,故 12+a2=4,∴a=±. 当 a=时,A(1,),切线方程为 x+y-4=0; 当 a=-时,A(1,-),切线方程为 x-y-4=0, ∴a=时,切线方程为 x+y-4=0, a=-时,切线方程为 x-y-4=0. -----------------------------------6 分 (2)设直线方程为 x+y=b, 由于直线过点 A,∴1+a=b,a=b-1. 又圆心到直线的距离 d= |b| 2 , ∴( |b| 2 )2+( 3 2)2=4. ∴b=±.∴a=±-1. ----------------------------------12 分 19.(12 分) (Ⅰ) 连接 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱, 所以 M 为 AB′的中点,又因为 N 为 B′C′中点,所以 MN∥AC′, 又 MN⊄平面 A′ACC′,AC′⊂平面 A′ACC′,所以 MN∥平面 A′ACC′;------6 分 (Ⅱ)连接 BN,则 V A′-MNC=V N-A′MC=12V N-A′BC=12V A′-NBC=16.解法二,V A′-MNC=V A′-NBC-V M-NBC=12V A′-NBC=1/6.-------------------------------------------------------------------------------------12 分 20.(12 分) (1)设圆心坐标为 ,则圆的方程为: ,又与 相 切 , 则 有 , 解 得 : , , 所 以 圆 的 方 程 为 : ; ----------------------------- 5 分 (2)由题意得:当 存在时,设直线 ,设圆心到直线的距离为 , 则有 ,进而可得: 化简得: ,无解; --------------------------------- 9 分 当 不 存 在 时 , , 则 圆 心 到 直 线 的 距 离 , 那 么 , ,满足题意,所以直线 的方程为: . --------12 分 21.(12 分) (Ⅰ)取 中点 ,连接 , 中, ,故 是等边三角形,∴ ,又 ,而 与 相交于 ,∴ 面 , 故 ,又 ,所以 , 又∵侧面 底面 于 , 在底面 内,∴ 面 . --------------------------------- 6 分 (Ⅱ)过 作 平面 ,垂足为 ,连接 , 即为直线 与平面 所成的角, 由(Ⅰ)知 ,侧面 底面 ,所以 平面 ,由等边 知 , 又∵ 平面 , ∴ , 由(Ⅰ)知 面 ,所以 , ∴四边形 是正方形, ∵ ,∴ , ∴在 中, , 所以直线 与平面 所成线面角的正弦值为 . --------- 12 分 22、(12 分) 解:(I)设圆心 C(a,a),半径为 r. 因为圆经过点 A(﹣2,0),B(0,2),所以|AC|=|BC|=r, 所以 解得 a=0,r=2, 所以圆 C 的方程是 x 2 +y 2 =4. --------------------------------------5 分 (II)(文科)因为 , 所以 ,∠POQ=120°, 所以圆心到直线 l:kx﹣y+1=0 的距离 d=1, 又 ,所以 k=0。 ------------------------------------12 分 (II)(理科)设圆心 O 到直线 l,l 1 的距离分别为 d,d 1 ,四边形 PMQN 的面积为 S. 因为直线 l,l 1 都经过点(0,1),且 l⊥l 1 ,根据勾股定理,有 , 又根据垂径定理和勾股定理得到, , ------------------------------------9 分 而 ,即 当且仅当 d 1 =d 时,等号成立,所以 S 的最大值为 7.-------------------------------12 分 23.(实验班)解:(1)半径已知,所以只需确定圆心即可,设圆心 ,因为 直 线 与 圆 相 切 , 利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 列 式 求 ;( 2 ) 从 可以看出,这是韦达定理的特征,故把直线方程设为 ,与(1)所 求圆的方程联立,得关于 的一元二次方程,用含有 的代数式表示出 ,进而利 用 列方程,求 ,然后用弦长公式求 ,用点到直线的距离公式求高,面 积可求. 试题解析:(I)设圆心为 ,则圆 C 的方程为 因为圆 C 与 相切 所以 解得: (舍) 所以圆 C 的方程为: 4 分 (II)依题意:设直线 l 的方程为: 由 得 ∵l 与圆 C 相交于不同两点 ∴ 又∵ ∴ 整理得: 解得 (舍) ∴直线 l 的方程为: 8 分 圆心 C 到 l 的距离 在△ABC 中,|AB|= 原点 O 到直线 l 的距离,即△AOB 底边 AB 边上的高 ∴ 12 分