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- 2021-06-21 发布
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第3讲 基本不等式
, [学生用书P115])
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2.(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)
1.辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值,“一正,二定,三相等”三个条件缺一不可;
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
2.活用几个重要的不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R);+≥2(a,b同号且都不为0);
ab≤(a,b∈R);≤(a,b∈R).
3.巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
1. 将正数m分成两个正数a与b之和,则ab的范围为( )
A.(0,] B.(0,]
C.[,+∞) D.[,+∞)
B [解析] a+b=m≥2,
所以ab≤,故选B.
2. 函数f(x)=x+的值域为( )
A.[-2,2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.R
C [解析] 当x>0时,x+≥2=2.
当x<0时,-x>0.
-x+≥2=2.
所以x+≤-2.
所以f(x)=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).故选C.
3. 用长为a(a>0)的铁丝折成一个矩形,则矩形面积的最大值为( )
A. B.
C. D.
D [解析] 设折成的矩形的两边分别为x,y(x>0,y>0).
则x+y=.
因为x+y≥2,
所以xy≤(x+y)2=,
即S矩形≤.
当且仅当x=y=时,(S矩形)max=.故选D.
4.若x>1,则x+的最小值为________.
[解析] x+=x-1++1≥4+1=5.
当且仅当x-1=,
即x=3时等号成立.
[答案] 5
5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为______.
[解析] 因为xy=1,所以y=,
所以x2+2y2=x2+≥2 =2.
即x2+2y2的最小值为2.
[答案] 2
利用基本不等式求最值(高频考点)[学生用书P115]
利用基本不等式求最值是高考的常考内容,题型主要为选择题、填空题.
高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度:
(1)知和求积的最值;
(2)知积求和的最值;
(3)求参数的值或范围.
[典例引领]
(1)(2017·安徽合肥二模)若a,b都是正数,则的最小值为( )
A.7 B.8
C.9 D.10
(2)(2017·安徽安庆二模)已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( )
A.4 B.2
C.8 D.16
【解析】 (1)因为a,b都是正数,所以=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.
(2)由a>0,b>0,a+b=+=,得ab=1,则+≥2=2.当且仅当=,即a=,b=时等号成立.故选B.
【答案】 (1)C (2)B
[题点通关]
角度一 知和求积的最值
1.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
C [解析] 由+=知a>0,b>0,所以=+≥2,
即ab≥2,
当且仅当
即a=,b=2时取“=”,
所以ab的最小值为2.
角度二 知积求和的最值
2.已知函数y=ax+3-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线+=-1上,且m,n>0,则3m+n的最小值为________.
[解析] 易知函数y=ax+3-2(a>0,a≠1)恒过定点(-3,-1),
所以A(-3,-1).
又因为点A在直线+=-1上,
所以+=1.
所以3m+n=(3m+n)·=10++≥10+2 =16,
当且仅当m=n时,等号成立,
所以3m+n的最小值为16.
[答案] 16
角度三 求参数的值或范围
3.已知不等式(x+y)≥9对任意的正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________.
[解析] (x+y)=1+a++≥1+a+2=(+1)2(x,y,a>0),
当且仅当y=x时取等号,
所以(x+y)·的最小值为(+1)2,
于是(+1)2≥9恒成立.
所以a≥4.
[答案] 4
利用基本不等式解决实际问题[学生用书P116]
[典例引领]
小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
【解】 (1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,
依题意得,当00,y>0,且+=1,则x+y的最小值是________.
(2)函数y=1-2x-(x<0)的最小值为________.
【解析】 (1)因为x>0,y>0,
所以x+y=(x+y)
=3++≥3+2(当且仅当y=x时取等号),
所以当x=+1,y=2+时,(x+y)min=3+2.
(2)因为x<0,所以y=1-2x-=1+(-2x)+(-)≥1+2=1+2,当且仅当x=-时取等号,故y的最小值为1+2.
【答案】 (1)3+2 (2)1+2
(1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件,如本例(2)易忽视条件x<0而误用基本不等式得2x+≥2.
(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.
当3<x<12时,函数y=的最大值为________.
[解析] y=
=
=-+15
≤-2+15=3.
当且仅当x=,
即x=6时,ymax=3.
[答案] 3
, [学生用书P269(独立成册)])
1.(2017·海口调研)已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为( )
A.1 B.
C. D.
B [解析] 因为a,b∈(0,+∞),
所以1=a+b≥2,
所以ab≤,
当且仅当a=b=时等号成立.
2.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( )
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为-4 D.最小值为-4
C [解析] 因为x<0,所以f(x)=--2≤-2-2=-4,
当且仅当-x=,即x=-1时取等号.
3.(2017·安徽省六校联考)若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
A [解析] 因为正实数x,y满足x+y=2,
所以xy≤==1,所以≥1;
又≥M恒成立,所以M≤1,即M的最大值为1.
4.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于( )
A.-3 B.2
C.3 D.8
C [解析] y=x-4+=x+1+-5,
因为x>-1,所以x+1>0,>0.
所以由基本不等式,
得y=x+1+-5≥2-5=1,
当且仅当x+1=,
即(x+1)2=9,即x+1=3,x=2时取等号,
所以a=2,b=1,a+b=3.
5.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
C [解析] 由已知得x+3y=9-xy,
又因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,
所以3xy≤,当且仅当x=3y时,
即x=3,y=1时取等号,(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
令x+3y=t,
则t>0且t2+12t-108≥0,
得t≥6即x+3y≥6.
6.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
B [解析] 若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是元,仓储费用是元,总的费用是+≥2=20,
当且仅当=,即x=80时取等号.
7.(2017·郑州检测)已知a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为________.
[解析] 由a+2b=3得a+b=1,
所以+=
=++≥+2=.
当且仅当a=2b=时取等号.
[答案]
8.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.
[解析] f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号,则由题意知a=4×32=36.
[答案] 36
9.正实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是______.
[解析] 利用基本不等式可得
3x+9y=3x+32y≥2=2.
因为x+2y=2,
所以3x+9y≥2=6,
当且仅当3x=32y,即x=1,y=时取等号.
[答案] 6
10.不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是________.
[解析] 根据题意,由于不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则x2+x<,因为+≥2 =2,当且仅当a=b时等号成立,所以x2+x<2,求解此一元二次不等式可知-20,y>0,且2x+8y-xy=0,求
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
[解] (1)由2x+8y-xy=0,
得+=1,
又x>0,y>0,则1=+≥2 =.
得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)
=10++≥10+2 =18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
12.(2017·东北育才学校模拟)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则+的最小值是( )
A.4 B.
C.8 D.9
D [解析] 因为=-=(a-1,1),
=-=(-b-1,2),
若A,B,C三点共线,
则有∥,
所以(a-1)×2-1×(-b-1)=0,所以2a+b=1,
又a>0,b>0,
所以+=·(2a+b)
=5++≥5+2=9,
当且仅当即a=b=时等号成立.
13.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.
求:(1)u=lg x+lg y的最大值;
(2)+的最小值.
[解] (1)因为x>0,y>0,
所以由基本不等式,得2x+5y≥2.
因为2x+5y=20,所以2≤20,xy≤10,
当且仅当2x=5y时,等号成立.
因此有解得
此时xy有最大值10.
所以u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.
(2)因为x>0,y>0,
所以+=·=≥
=.
当且仅当=时,等号成立.
由解得
所以+的最小值为.
14.(2017·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位:m2).
(1)求S关于x的函数关系式;
(2)求S的最大值.
[解] (1)由题设,得S=(x-8)=-2x-+916,x∈(8,450).
(2)因为8