2017-2018学年云南民族大学附属中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版 13页

2017-2018 学年云南民族大学附属中学高二上学期期中考试 数学(理)试题 解析版 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的） 1. 已知集合 A＝{x||x|<2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则 A∩B＝ A. {0，1} B. {0，1，2} C. {－1，0，1} D. {－1，0，1，2} 【答案】C 【解析】集合 ，所以 ，选 C. 2. 若 f(x)是定义在 R 上的函数，则“f(0)＝0”是“函数 f(x)为奇函数”的 A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 函数 为奇函数，比如 ；因为 f(x)是定义在 R 上的函数， 所以函数 为奇函数 ，故“ ”是“函数 为奇函数”的必要非充分条件， 选 A. 点睛：本题主要考查奇函数的性质以及充分必要条件，属于易错题。本题要注意的是充分必 要条件的定义要弄懂。 3. 已知向量 a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数 k＝ A. － B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 ，因为 ， ，所以 ，选 C. 4. 已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝ A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为 ，由已知有 ，又 ，所以 公差 ，所以 ，选 C. 5. 如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x＋1 问题”．执行该程序框图，若 输入的 N＝3，则输出的 i＝ A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常 采用模拟循环的方法解答，属于基础题。 6. 设α、β是两个不同的平面，l、m 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是 A. 若 l∥α，α∩β＝m，则 l∥m B. 若 l∥m，m ⊂ α，则 l∥α C. 若 l∥α，m∥β，且α∥β，则 l∥m D. 若 l⊥α，m⊥β且α⊥β，则 l⊥m 【答案】D 【解析】对于选项 A，在用线面平行的性质定理时，必须有 ，才能得出 ，所以选项 A 错误；对于选项 B，缺少条件 ，不能得出 ；对于选项 C，不能得出 ，l、m 可 能异面，相交或平行，所以选项 C 错误；对于选项 D，直线 分别是平面 的法向量所在 直线，而 ，所以它们的法向量也互相垂直，D 正确，选 D. 7. 直线 l 过点(1，0)，且倾斜角为直线 l0：x－2y－2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的方程 为 A. 4x－3y－3＝0 B. 3x－4y－3＝0 C. 3x－4y－4＝0 D. 4x－3y－4＝0 【答案】D 【解析】设直线 的倾斜角为 ，则斜率 ，所以直线的倾斜角为 ，斜率 ，又经过点（1,0），所以直线方程为 ，即 ，选 D. 8. 函数 f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是 A. x＝ B. x＝ C. x＝－ D. x＝－ 【答案】C 【解析】试题分析：令 ，所以对称轴为 考点：三角函数性质 9. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 A. B. 16π C. 9π D. 【答案】A 在 Rt△ 中， ，由勾股定理 得 ，∴球的表面积 考点：球的体积和表面积 10. 等比数列{an}中，对任意正整数 n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则 a＋a＋a＋…＋a 等于 A. (4n－1) B. (2n－1) C. 4n－1 D. (2n－1)2 【答案】A 【解析】设等比数列 的公比为 ，由已知有 ，所以 ，所以数列 以首项 ，公比为 的等比数列，故有 ，选 A. 11. 已知函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x 的零点依次为 a，b，c，则 a， b，c 的大小关系为 A. ab>c D. c>a>b 【答案】B 【解析】结合方程 两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点 ；由方 程 两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点 ；由方程 两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点 ，应选答案 B。 12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l：y＝kx＋m 与椭圆相切，记 F1，F2 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，则 d1d2 的值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】由已知有 ，联立 有 ，所 以有 ， ，由点到直线距离公式有 ，所以 ，选 B. 点睛：本题主要考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题。本题解题思路： 联立方程组，令 ，求出 的关系，根据点到直线的距离，求出 的值，得出结论。 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13. 已知向量 a，b 满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则 a 与 b 的夹角为________． 【答案】 【解析】∵ (2a－b)·(a＋b)＝6，∴ 2a2＋a·b－b2＝6.又|a|＝2，|b|＝1，∴ a·b＝－ 1，∴ cos θ＝ ＝－ .又 0＜θ＜π，∴ a 与 b 的夹角θ＝ . 14. 某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间 不超过 3 分钟的概率是_______． 【答案】 【解析】因为公共汽车每 5 分钟发车一次，当乘客在上一辆车开走后两分钟内达到，则 他候车时间会超过 3 分钟，所以候车乘客候车时间超过 3 分钟的概率为 。 15. 已知 x，y 满足约束条件 ，若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则 a＝________． 【答案】2 【解析】 作为不等式组所对应的可行域，如上图阴影部分 ，则 ，若 过 A 时求得最大值为 4，则 ，此时目标函数为 ，变形为 ，平移直线 ，当经过 A 点时，纵截距最大，此时 z 有最大值为 4，满足题意；若 过 B 时求得最大值为 4，则 ，此时目标函数为 ，变形为 ，平移直 线 ，当经过 A 点时，纵截距最大，此时 z 有最大值为 6，不满足题意，故 。 点睛：本题主要考查了线性规划的应用，属于中档题。结合目标函数的几何意义，利用数形 结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决此类问题的关 键。 16. 函数 f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等 式 <0 的解集为________． 【答案】 【解析】在区间 上， ，不等式不成立，在区间 上， ，要 使不等式 成立，则 ，所以 ，所以在区间 上，不等式的解集为 ，再由偶函数的对称性知，在区间 上，不等式的解集为 ，所以不等式 的解集为 。 点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题。 三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C． (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝3，b＝2c，求△ABC 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）根据已知，利用正弦定理，求出 ，求出角 A 的大小；（2） 由余弦定理的推论，求出边长 c，由 b=2c 求出边长 b，由三角形面积公式求出面积。 试题解析： (1)根据正弦定理，由(2b－c)cos A＝acos C， 得 2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A， 即 2sin Bcos A＝sin(A＋C)， 所以 2sin Bcos A＝sin B， 因为 0