高中数学选修2-2课件1_2_1 45页

1.2 　导数的计算 第 1 课时　几个常用函数的导数与基本 初等函数的导数公式 问题 引航 1. 函数 y=c ， y=x ， y=x -1 ， y=x 2 ， y= 的导数分别是什么 ? 能否得出 y=x n 的导数公式 ? 2. 正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么 ? 如何应用这些公式 ? 1. 几个常用函数的导数 (1) 若 y=f(x)=c ，则 f′(x)=__. (2) 若 y=f(x)=x ，则 f′(x)=__. (3) 若 y=f(x)=x 2 ，则 f′(x)=___. (4) 若 y=f(x)= ，则 f′(x)=______=____. (5) 若 y=f(x)= ，则 f′(x)=_______. 0 1 2x -x -2 2. 基本初等函数的导数公式 (1) 若 f(x)=c(c 为常数 ) ，则 f′(x)=__. (2) 若 f(x)=x α (α∈Q * ) ，则 f′(x)=______. (3) 若 f(x)=sinx ，则 f′(x)=_____. (4) 若 f(x)=cosx ，则 f′(x)=______. (5) 若 f(x)=a x ，则 f′(x)=_____. (6) 若 f(x)=e x ，则 f′(x)=__. (7) 若 f(x)=log a x ，则 f′(x)=_____. (8) 若 f(x)=lnx ，则 f′(x)=___. 0 αx α-1 cosx -sinx a x lna e x 1. 判一判 ( 正确的打“√”，错误的打“ ×”) (1) 若 y= ，则 y′= ×2=1.( ) (2) 若 f′(x)=sin x ，则 f(x)=cos x.( ) (3) 若 f(x)= ，则 f′(x)= ( ) 【 解析 】 (1) 错误， y′=0. (2) 错误， (cos x)′=-sin x. (3) 正确， f′(x)= 答案： (1)× (2)× (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) =_____. (2)(2 x )′=_______. (3) 若 f(x)=x 3 ， g(x)=log 3 x 则 f′(x)-g′(x)=_______. 【 解析 】 (1) =(x -3 )′=-3x -4 = 答案： (2)(2 x )′=2 x ln 2. 答案： 2 x ln 2 (3)f′(x)-g′(x)=3x 2 - 答案： 3x 2 - 【 要点探究 】 知识点 1 基本函数的导数 基本函数的导数公式的语言表述： (1) 常数函数的导数为零 . (2) 有理数幂函数 f(x)=x α 的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去 1. (3) 正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数 . (4) 指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数的自然对数 . (5) 函数 y=e x 的导数等于它本身 . (6) 对数函数的导数等于自变量 x 与底数的自然对数乘积的倒数 . 【 知识拓展 】 两个有相同导数的函数不一定是同一个函数的原因 若两个函数相差一个常数，则它们有相同的导数，反之也成立，即 f′(x)=g′(x) ， f(x)=g(x)+c( 常数 ). 例如： f′(x)=g′(x)=3x 2 ，则 f(x)=x 3 +m ， g(x)=x 3 +n ， (m ， n 为常数 ) 而 m 与 n 未必相等 . 【 微思考 】 (1) 若函数 f(x)=x 3 ，那么 f′(m) 的含义是什么 ? 提示： f′(m) 的含义是函数 f(x)=x 3 在 x=m 时所对应的导数值 . (2) 没有公式能直接求函数 f(x)= 的导数，是不是其导数就不能用基本函数的导数公式求解了 ? 提示： 不是，可以将其变形为 f(x)= ，然后用幂函数的导数公式求解即可 . 【 即时练 】 1.y=2 5 和 y=ln3 的导数分别为 ________ ， ________. 2.2(lnx)′+x 2 · (x -2 )′=________. 【 解析 】 1.y′=(2 5 )′=0 ， y′=(ln3)′=0. 答案： 0 　 0 2.2(lnx)′+x 2 · (x -2 )′ =2× +x 2 (-2x -3 )= =0. 答案： 0 知识点 2 导数的几何意义 1. 对常数函数导数的几何意义与物理意义的两点说明 (1) 常数的导数为 0 ，其几何意义为 f(x)=c 在任意点处的切线平行于 x 轴，其斜率为 0. (2) 若 y=c 表示路程关于时间的函数，则 y′=0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0 ，即一直处于静止状态 . 2. 正比例函数 y=x 的导数的几何意义和物理意义 (1) 正比例函数 y=x 的图象是过原点的直线，直线上每一点处的切线都是直线 y=x ，斜率都为 1 ，即 y′=1. (2) 若 y=x 表示路程关于时间的函数，则 y′=1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速直线运动 . 【 微思考 】 (1)y=sinx 在 x=x 0 处的导数是多少 ? 其几何意义是什么 ? 提示： y′=cosx ， x=x 0 ， f′(x 0 )=cosx 0 ，几何意义是曲线 y=sinx 在点 (x 0 ， y 0 ) 处的切线的斜率 . (2)y=x 3 在 (0 ， 0) 点存在切线吗 ? 若存在，切线方程是什么 ? 提示： 存在， y′=3x 2 ， y′| x=0 =3×0 2 =0 ，所以过 (0 ， 0) 点的切线为 y=0. 【 即时练 】 1. 余弦曲线 y=cos x 在 (0 ， 1) 处的切线的斜率为 ( ) A.1 B.0 C. D.-1 2.y= 在 (1 ， 1) 处的切线方程为 ______. 【 解析 】 1. 选 B.y′=-sin x ，斜率 k=-sin 0=0. 2.y′= ， k=-1 ，切线方程为： y-1=-(x-1) ， 即 y=-x+2. 答案： y=-x+2 【 题型示范 】 类型一 利用导数公式求函数的导数 【 典例 1】 (1) 已知函数 f(x)= ，则 f′(-3)=( ) A.81 B.243 C.-243 D. (2) 求下列函数的导数 . ①y=( ) x ； ② y=2cos 2 -1. 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中对函数 f(x)= 求导，应该用哪类函数的导数公式？ 2. 在题 (2) 中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应该如何处理？ 【 探究提示 】 1. 应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变形为幂函数，再求导数 . 2. 不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为 cos x. 【 自主解答 】 (1) 选 D. 因为 f′(x)=(x -3 )′=-3x -4 ， 所以 f′(-3)=-3×(-3) -4 = (2)①y′=( ) x ln 2 -1 =-( ) x ln 2. ②y=2cos 2 -1=cos x ， y′=-sin x. 【 延伸探究 】 题 (1) 中，求 x=-3 处的切线方程 . 【 解析 】 f′(-3)= 则切线方程为 y-( ) = ［ x-(-3) ］， 即 y= x- 【 方法技巧 】 1. 用公式求函数导数的方法 (1) 若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 . (2) 对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如 可以写成 y=x -4 ， y= 可以写成 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 2. 周期性问题处理方法 如果所求的问题具有周期性，可通过观察先写出所求问题前几项，从写出的几项中找出周期，再把所求的问题转化到已知的前几项求解 . 【 变式训练 】 1. 若函数 r(v)= ， 则 r′( ) 的值等于 ( ) A.-1 B.1 C. D. 【 解析 】 选 B.r′(v)= · ， r′( )=1. 2. 已知 f(x)=ln x 且 f′(x 0 )= ，则 x 0 等于 _____. 【 解析 】 f′(x)= ， f′(x 0 )= 所以 ，所以 x 0 =1. 答案： 1 【 误区警示 】 解答此题时往往犯两种错误： (1) 因认不清谁是变量导致错误 . (2) 不能正确变形，导数公式应用不准确导致错误；对于不符合基本函数形式的函数应该先将其化简变形为基本函数的形式，再用导数公式求导 . 【 补偿训练 】 求下列函数的导数 . (1)y=x 7 .(2) (3)y=ln 3.(4) 【 解题指南 】 (2)(4) 两个题目中的函数都可以转化为 y=x α 的形式，再利用幂函数的导数公式求解 . 【 解析 】 由求导公式得 (1)y′=7x 6 . (2)y′= (3)y′=(ln 3)′=0. (4) 因为 y= ，所以 所以 y′=( )′= 类型二 导数的几何意义的应用 【 典例 2】 (1)(2012 · 辽宁高考 ) 已知 P ， Q 为抛物线 x 2 =2y 上两点，点 P ， Q 的横坐标分别为 4 ， -2 ，过 P ， Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A ，则点 A 的纵坐标为 __________. (2) 已知两条曲线 y=sinx ， y=cosx ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直 ? 并说明理由 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中抛物线 x 2 =2y 上两点 P ， Q 的切线的斜率等于多少 ? 2. 题 (2) 中两条直线互相垂直的条件是什么 ? 【 探究提示 】 1.k P =y′| x=4 =4 ， k Q =y′ | x=-2 =-2. 2. 两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于 -1. 【 自主解答 】 (1) 由于 P ， Q 为抛物线 x 2 =2y( 即 y= x 2 ) 上的点，且横坐标分别为 4 ， -2 ，则 P(4 ， 8) ， Q(-2 ， 2) ，从而在点 P 处的切线斜率 k P =y′| x=4 =4 ，据点斜式，得曲线在点 P 处的切线方程为 y-8=4(x-4) ；同理，曲线在点 Q 处的切线方程为 y-2= -2(x+2) ；上述两方程联立，解得交点 A 的纵坐标为 -4. 答案： -4 (2) 由于 y=sin x ， y=cos x ，设两条曲线的一个公共点为 P(x 0 ， y 0 ) ， 所以两条曲线在 P(x 0 ， y 0 ) 处的切线斜率分别为 k 1 =y′| x=x 0 =cos x 0 ， k 2 =y′| x=x 0 =-sin x 0 . 若使两条切线互相垂直， 必须 cos x 0 · (-sin x 0 )=-1 ， 即 sin x 0 · cos x 0 =1 ，也就是 sin 2x 0 =2 ，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直 . 【 方法技巧 】 利用导数的几何意义解决曲线切线问题的方法 【 变式训练 】 若曲线 y=x 3 在点 P 处的切线斜率为 3 ，则切点 P 的坐标为 ________. 【 解题指南 】 设出点 P 坐标，利用导数直接求出点 P 的横坐标，再代入曲线方程求出纵坐标 . 【 解析 】 设点 P(x 0 ， y 0 ) ，因为曲线在点 P 处的切线斜率为 3. 所以 y′| x=x 0 =3x 0 2 =3 ，所以 x 0 =±1 ， 又因为点 P 在曲线 y=x 3 上， 所以点 P 的坐标为 (1 ， 1) 或 (-1 ， -1). 答案： (1 ， 1) 或 (-1 ， -1) 【 补偿训练 】 1. 曲线 y=x 2 的一条切线的斜率为 1 ，则切点的坐标为 _____________________. 2. 函数 y=x 2 (x>0) 的图象在点 (a k ， a k 2 ) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 a k+1 ，其中 k∈N * ，若 a 1 =16 ，求 a 1 +a 3 +a 5 的值 . 【 解析 】 1. 设切点坐标为 (x 0 ， y 0 ) ， y′=2x 0 =1 ， x 0 = ，切点坐标为 ( ). 答案： ( ) 2. 由 y=x 2 (x>0) 得， y′=2x ， 所以函数 y=x 2 (x>0) 在点 (a k ， a k 2 ) 处的切线方程为： y-a k 2 =2a k (x-a k ) ， 当 y=0 时，解得 所以 a k+1 = a 1 +a 3 +a 5 =16+4+1=21. 【 易错误区 】 不能正确利用导数几何意义导致错误 【 典例 】 (2014 · 广州高二检测 ) 已知直线 y=kx 是曲线 y=3 x 的切线，则 k 的值是 ( 　　 ) A. B.eln 3 C.log 3 e D.e 【 解析 】 选 B. 设切点为 (x 0 ， y 0 ) ， 因为 y′=3 x ln 3 ， ① 所以 k= ln 3 ， 所以 y= ln 3 · x ， 又因为 (x 0 ， y 0 ) 在曲线 y=3 x 上， 所以 ln 3 · x 0 = ， ② 所以 x 0 = =log 3 e. 所以 k=eln 3. 【 常见误区 】 错解 错因剖析 选 A ，或选 C 或选 D 不能利用导数公式正确求导得出①处导数或不能正确利用导数几何意义设切点，得出②处方程，从而导致错解 【 防范措施 】 1. 导数几何意义的应用 解决切线问题，一般把切线的斜率与导数联系起来，要注意切点的坐标既满足切线方程又满足曲线方程 . 如本例中 (x 0 ， y 0 ) 既在切线 y=kx 上，又在曲线 y=3 x 上 . 2. 牢记导数公式 导数公式是计算函数导数的关键，在本例中，要正确应用 (a x )′=a x lna 这个公式，在应用的基础上牢固掌握 . 【 类题试解 】 (2014 · 烟台高二检测 ) 已知函数 y=kx 是曲线 y=lnx 的一条切线，则 k=__________. 【 解析 】 设切点为 P(x 0 ， y 0 ) ，则 y 0 =kx 0 ， 又切线斜率 k=y′| x=x 0 = ，所以 y 0 =kx 0 =1 ， 又因为切点 P(x 0 ， y 0 ) 在曲线 y=ln x 上， 所以 y 0 =ln x 0 =1 ，所以 x 0 =e ， k= . 答案：