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- 2021-06-21 发布
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高三年级 10 月(理科)数学试题
(本试题满分 150 分,考试时间 120 分钟。答案一律写在答题卡上)
—、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。)
1.设集合 U={ },S={1,2,4,5},T={3,5},则 S∩(CUT)=
A. {1,2} B. {1,2,3,4,5} C. {1,2,4} D. {1,2,4,5,6}
2.下列有关命题的说法正确的是
A.命题“若 ,则 ”的否命题为:“若 ,则 ”
B.命题“若 ,则 ”的逆否命题为假命题.
C.在 中,“A>600”是 的必要不充分条件.
D.命题“ ,使得 <0”的否定是:“ ,均有 >0”.
3.设 ,则 a,b,c 的大小关系是
A.a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. b>c>a
4.已知 的三个内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,若 ,则该三角形
一定是
A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
5. 已知 ,则
A. B. C. D.
6.已知 是函数 的一个极大值点,则 的一个单调递增区间是
A. B. C. D.
7.函数 ,有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是
A. B. C. D.
8.满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
6<0| ≤∈ xNx
12 =x 1=x 12 =x 1≠x
yx = yx sinsin =
ABC∆
2
3>sin A
Rx∈∃ 12 ++ xx Rx∈∀ 12 ++ xx
2log,2
1ln,2 3
1.0 === cba
ABC∆
c
aB =cos2
3tan =α cos( )2
π α− =
3
5
± 3
10
± 3
4
± 3 10
10
±
30
π=x )2sin()( ϕ+= xxf )(xf
)3
2,6(
ππ
)6
5,3(
ππ
)3
4,6
5( ππ ),3
2( ππ
≥−
−=
1,2
<1,13)( 2 xaxx
xxxf
2≤a 2<a 2≥a 2>a
)3ln()( += mxxf ]1,(−∞
2-<4<m− 0<3<m− 0<4<m− 1-<3<m−
9. 如图,已知 , , ,
,则
A. B.
C. D.
10.函数 的部分图像大致为
11. 函数 (其中 , , )的一部分图象如图所示,
将函数上的每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍,得到的图象表示的函数可以
为
A. B.
C. D.
12.定义在函数 上的函数 满足 ,则关于 的不等式
的解集为
A. B. C. D.
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分。)
13. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, , 则
14. 已知 ,则 .
15.已知函数 ,则 的值为 .
16.设 ,若函数 在 上的最大值与最小值之差为 2,则
AB = a AC = b 3DC BD=
2AE EC= DE =
3 1
4 3
−b a 5 3
12 4
−a b
3 1
4 3
−a b 5 3
12 4
−b a
( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > 0ω > π
2
ϕ <
( ) πsin 3f x x = +
( ) πsin 4 3f x x = +
( ) πsin 6f x x = +
( ) πsin 4 6f x x = +
),0( +∞ )(xf
2
5)2(1,>)('2 =fxfx x
x
1( ) < 3 e
xf e −
),0( 2e )2ln,(−∞ )2ln,0( ),( 2 +∞e
4
3)sin(2
0
=+∫ dxx
π
ϕ =ϕ2sin
7)3(,2)1ln()( 2 =−++++= fx
bxxaxf )3(f
Rm∈ 3( ) | 3 |f x x x m= − − ]3,0[∈m
( ) 1-ln xf x = sin x1+ln x
•
, ,AB a BC b AC c= = = a b c+ + =
实数 的取值范围是 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分。(解答题写出文字说明、证明过程或步骤。)
17.(本小题满分 10 分)设 函数 的定义域为 R, ,使
得不等式 成立,如果“ 或 ”为真命题,“ 且 ”为假,求实数 a 的取值
范围。
18. (本小题满分 12 分)已知向量 , ,其中 .
(1)若 ,求角 的大小;
(2)若 ,求 的值.
19. (本小题满分 12 分)
已知四边形 OACB 中,a、b、c 分别为 的内角 A、B、C 所对的边长,且满足
(1)证明: ;
(2) ,
求四边形 OACB 面积的最大值。
20.(本小题满分 12 分)已知函数 的一条对
称轴为 .
(1)求 的最小值;
(2)当 取最小值时,若 ,求 的值;
21. (本小题满分 12 分)已知函数 , .
(1)判断函数 的奇偶性,并说明理由;
(2)若方程 有实数解,求实数 的取值范围.
22. (本小题满分 12 分)
已知函数 .
k
m
:p axaxxf 4
1)( 2 +−= :q )1,0(∈∃x
0a<-93 xx − p q p q
( )2sin ,1= θa ( )2cos , 1= −θb π0, 2
∈
θ
⊥a b θ
2− =a b b tanθ
ABC∆
( )cos (2 cos cos )b c A a B C+ = − −
2ac =+b
,cb = 42OBOA),<<(0AOB ===∠ πθθ
2( ) 2(sin cos )cos ( 0)2f x x x xω ω ω ω= − + >
π
8
3=x
ω
ω 0<<2,5
3)42( αππα −=+f )42sin(2
πα −
xaxxxf ln2
1)( 2 +−=
( ) 1
1
xf x x
−= +
( ) ( )22 xg x f=
3
)()( x
xgxF =
( ) 1 0g x k− + =
(1)当 a> 0 时,讨论函数 的单调性;
(2)若函数 有两个极值点 ,证明: .
高三数学参考答案(理)
一、选择题:1--6. CCBADC 7—12 CBDAAB
二、填空题:
13. 14. 15. -3 16. 或
17.(本小题满分 10 分)
解:若命题 为真,即 恒成立,…………1 分
则 ,解得 .…………3 分
令 ,则 = , ,…………4 分
所以 的值域为 ,若命题 为真,则 . …………6 分
由命题“ 或 ”为真命题,“ 且 ”为假命题,可知 , 一真一假,…7 分
当 真 假时, 不存在;当 假 真时, .…………8 分
所以实数 的取值范围是 . …………10 分
18.(本小题满分 12 分) 【答案】(1) 或 ;(2) .
【解析】(1)由 ,得 ,即 ,即 ,
因为 ,所以 ,所以 或 ,解得 或 .
( 2 ) 由 题 得 , 由 , 得 , 即
π
12
=θ 5π
12
=θ tan 3θ =
⊥a b 0⋅ =a b 4cos sin 1 0− =θ θ 1sin 2 2
=θ
π0, 2
∈
θ ( )2 0,π∈θ π2 6
=θ 5π2 6
=θ π
12
=θ 5π
12
=θ
( )2sin 2cos ,2− = −θ θa b 2− =a b b ( )2 24− =a b b
)(xf
)(xf 21, xx 4
3
2
ln2->)()( 21 −+ xfxf
2 2
,整理得 ,
因为 ,所以 ,等式两边同时除以 得, ,即
,解得 或 ,
因为 ,所以 .
19.(本小题满分 12 分) 解:(1)证明:由题意,结合正弦定理得:
…………1 分
…………2 分
…………3 分
…………4 分
由正弦定理得: …………6 分
(2)解: , , 为等边三角形…………7 分
…………8 分
…………10 分
当且仅当 时, 取最大值 …………12 分
20.(本小题满分 12 分) 解:(1)
= . ………………3 分
( )2 24 sin cos 4 16cos 4θ θ θ− + = + 2 2sin 2sin cos 3cos 0θ θ θ θ− − =
π0, 2
∈
θ cos 0θ ≠ 2cos θ 2tan 2tan 3 0θ θ− − =
( )( )tan 3 tan 1 0θ θ− + = tan 3θ = tan 1θ = −
π0, 2
∈
θ tan 3θ =
因为函数 的一条对称轴为 ,
所以 ,所以 ………………5 分
所以 的最小值为 1 ………… 6 分
(2)由(1)知 .…………7 分
由于 …………8 分
因为 , …………… 9 分
…………10 分
. ………………12 分
21.(本小题满分 12 分) (1)∵函数 的定义域为 ,
对于任意的 , , =
=
∴ 为偶函数
(2)由题意得
∵ ,∴ 即 ,
∴ ,从而有: 又若方程 有实数解,
则 ,即
22. (本小题满分 12 分) 解:(1) .……1 分
( )F x ( ) ( ),0 0,D = −∞ ∪ +∞
x D∈
2
2
2
2 1( ) (2 ) 2 +1
x
x
xg x f
−= = ( ) ( )
3
g xF x x
= 3
4 1 1
4 1
x
x x
− ⋅+
( ) ( )
3
g xF x x
= ( )3 3
4 1 1 4 1 1( ) ( )4 1 4 1
x x
x xF x F xxx
−
−
− −− = ⋅ = ⋅ =+ +−
( )F x
2
2
2 2
2 1 2( ) (2 ) 12 +1 2 +1
x
x
x xg x f
−= = = −
22 0x > 2
10 12 +1x
< < 2
22 02 +1x
− < − <
2
21 1 12 +1x
− < − < 1 ( ) 1g x− < < ( ) 1g x k= −
1 1 1k− < − < 0 2k< <
当 即 时, ,所以 在 单调递增;……2 分
当 即 时,令 得 ,
且 ,在 上 ;
在 上 ;
所以 单调递增区间为 ;
单调递减区间为 . …………4 分
综上所述:
时, 在 单调递增;
时, 在区间 单调递增;
在区间 单调递减. …………5 分
(2) .
因为函数 有两个极值点 ,
所以有 ,且 ,得 . …………7 分
. …………9 分
令 ( ),
则 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,…………11 分
所以 . …………12 分