高一数学同步辅导教材(第14讲) 9页

高一数学同步辅导教材（第 14 讲） 一、本讲进度 2.9 函数的应用举例 2.10 实习作业 小结与复习（课本第 90 页至第 107 页） 二、本讲主要内容 1、函数的应用； 2、第二章的复习与测试 三、学习指导 函数反映了两个变量之间的某种依赖关系，在实际生活和生产中有着广泛的应用。我们研究的各种 应用问题，通常是指有实际背景或具有实际意义的一些问题。由于实际问题具有背景复杂，因素众多， 思维深广度大，解答途径多样等特性，在用数学知识解决时，需要有一个“数学化”的过程，即从非数 学语言中去捕捉解题信息，将实际问题转化为数学问题，然后再用数学知识和方法去解决。本讲主要是 用数学中的函数知识来解一些应用问题。 现实世界中普遍存在的所谓“最优化”问题，诸如成本最低、利润最高、产出最大、效益最好等应 用问题，常常可以归结为函数的最值问题。通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用相关 的数学知识去解决。 课本提供的三个例题，分别是关于平面几何，增长率（复利）和物理方面的。通过这些问题的解决， 可以使我们增强应用意识，提高分析问题和解决问题的能力。 四、典型例题分析 例 1、某商店购进一批单价为 40 元的商品，若按每件 50 元销售，一个月能卖出 a 个，为获得更大 利润，商品准备提高价格，若每件涨价 1 元，销售量就减少 10 个，问为了获取最大利润，售价应当定为 多少？试就 a=500 和 a=50 两种情形分别解答。 解题思路分析 此类问题的基本关系是：每件利润=原售价+提价-进价，实售件所=原售件数-滞销量。 设提价 x 元/件，则能售出(a-10x)件，月利润总量 y=(10+x)(a-10x)元。 当 a=500 时，使 y 最大的 x 取值为 20，当 a=50 时，使 y 最大的 x 取值为-2.5。 例２、某种商品，生产 x 吨需费用 1000+5x+ 10 1 x2，而卖出 x 吨的价格是每吨 p 元，其中 p=a+ b x ,(a,b 是常数)。如果生产的产品全部卖掉，当生产量是 150 吨时利润最大，这时每吨价格为 40 元，求 a,b 的值。 解题思路分析： 基本关系式：总利润=总收入-生产费用。 设利润为 y 元，则可得 y=px-(1000+5x+ x2) 以 p=a+ 代入，化简得函数 y=( b 1 - 10 1 )x2+(a-5)x-1000 其中有两个字母 a,b 的值要确定,需要有两个条件.由题设知:当 x=150 时 p=40;又知当 x=150 时利润 y 取最大值.由此解得 a=45,b=-30. 例 3、某工厂今年 1 月、2 月、3 月分别生产某产品 1 万件、1.2 万件、1.3 万件。为了估测以后每个 月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系。模拟 函数可选用函数 y=abx+c(其中 a,b,c 为常数)或二次函数。已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用 以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。 解题思路分析： 先确定两种函数的解析式，再比较 x=4 时哪个函数值更接近 1.37。 设 y1=f(x)=abx+c，则由 f(1)=1,f(2)=1.2，f(3)=1.3,解得 a,b,c,f(x)=-0.8×0.5x+1.4. 设 y2=g(x)=px2+qx+r,(p≠0)。 则由 g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3 解得 p,q,r,g(x)=-0.05x2+0.35x+0.7 计算 f(4)=1.35,g(4)=1.3,故用 y 1 作为模拟函数较好。 巩固练习 （一）选择题 1、某商品零售价 1999 年比 1998 年上涨 25%，欲控制 2000 年比 1998 年只上涨 10%，则 2000 年应 比 1999 年降价（ ） A．15% B．12% C．10% D．50% 2、在国内投寄处埠平信，每封不超过 20 克重需付邮资 8 角，超过 20 克重而不 超过 40 克重付邮资 16 角，超过 40 克重而不超过 60 克重付邮资 24 角，设信的重量为 x（0＜x≤60）克时，应 付的邮资为 f(x)角，则函数 y=f(x)的图象是（ ） 3、某种菌种在培养过程中每 20min 分裂一次（1 个分裂为 2 个），经过 3h，1 个细菌可繁殖为（ ） A．511 个 B．512 个 C．1023 个 D．1024 个 4、有一批材料可以建成 200m 围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩 形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形如图，则围成的矩形的最大面积是 （ ） A.100m2 B.10000m2 C.2500m2 D.6250m2 5、某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%，经过 x 年，绿化面积与原绿化面积之比为 y， 则 y=f(x)的图象大致为（ ） 6、甲、乙两人同时从 A 出发到 B，甲先骑车到甲点后改步行；乙先步行，到中点后改骑车，结果 两人同时到达 B（已知骑车快于步行，甲骑车快于乙骑车），现把离开 A 的距离 y 表达成时间 x 的函数 并绘成图象（如，下） 对图象判断正确的是（ ） A．甲是①，乙是② B．甲是①，乙是④ C．甲是③，乙是② D．甲是③，乙是④ （二）填空题 7、建造一个容积为 8 米 3，深为 2 米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为 120 元/米 2 和 80 元/米 2，则总造价 y 关于底面一边长 x 的函数解析式为________________________。 8 ． 某 工 厂 年 产 量 第 二 年 增 长 率 为 a ， 第 三 年 增 长 率 为 b ， 则 这 两 年 的 平 均 增 长 率 为 x y 24 16 8 20 40 60o (A) 40o 20 60 x 8 16 y 24 20o 40 x60 24 8 16 y 20o 40 x60 24 8 16 y (B) (C) (D) o 1 x y (A) 1 xo y (B) o x y (C) o x y 1 (D) ① x y ② ③ ④ o x x x y y y o o o ____________________________________。 9．1992 年底世界人口达到 54.8 亿，若人口的年平均增长率为 x%，2000 年底世界人口为 y 亿，那 么 y 与 x 的函数关系是___________________________。 10 ．用 12m 长 的 钢 筋 制 作 两 个 正 三 角 形 的 钢 框 ， 所 能 得 到 三 角 形 面 积 和 最 小 值 为 ___________________________________m2。 11．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1,a2,…，an，共 n 个数据。我们规定所测量的物理量的最佳近似值 a 是这样一个量：与其它近似值比较，a 与各数据差的 平方和最小，依此规定，从 a1,a2,…an 中推出的 a=________. （三）解答题 12．车间生产某种产品，固定成本 2 万元，每生产一件产品成本增加 100 元。已知总收益 R（总收益指 工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和）（单位：元）是年产量 Q（单位：件）的函数，满足 关系式 400Q- 2 1 Q2(0≤Q≤400) R=f(Q)= 80000 (Q>400) 求每年生产多少件产品时，总利润最大，此时总利润是多少元？ 13．银行一年定期存款的年利率为 p，三年定期存款的年利率为 q，如果存一年定期，一年后取出本息再 一起存入一年定期，这样三年后所取出的本息与直接存三年定期相比较，还是直接存三年合算，试问 p 与 q 的大小关系如何？ 14.某小型自来水厂的蓄水池中存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来水 60 吨,若蓄水池向居民 小区不间断地供水,且 t 小时内供水总量为 120 t6 吨(0≤t≤24)。 （1）供水开始几小时后，蓄水池中的水量最少？最少水量为多少吨？ （2）若蓄水池中的水量少于 80 吨，就会出现供不紧张现象，试问在一天的 24 小时内，有多少小时会出 现供水紧张现象，并说明理由。 15．某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设 淡水鱼的市场价格为 x 元/千克，政府补贴为 t 元/千克，根据市场调查，当 8≤x≤14 时，淡水鱼的市场 日供量 p 千克与市场需求量 Q 千克近似地满足关系： P=1000(x+t-8) (x≥8, t≥0) Q=500 2)8(40  x (8≤x≤14) 当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格。 （1）将市场平衡价格表示的政府补贴的函数，并求出函数的定义域； （2）为使市场平衡价格不高于每千克 10 元，政府补贴至少为每千克多少元？ 16．某地现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占有量比现在提高 10%， 如果人口年增长率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 1 公顷）？ （粮食单产= 耕地面积 总产量 人均粮食占有量= 总人口数 总产量 ） 【参考答案】 （一）选择题 1、B 1+10%=（1+25%）（ 1-x%），解得 x=12 2、C 由 8 (0400,Q∈N) - (Q-300)2+25000 (0≤Q≤400, Q∈N) = 60000-100Q, (Q>400,Q∈N) 当 Q>400 时，y 是减函数，y<20000; 当 Q≤400 时，y 是 Q 的二次函数，当 Q=300 时 y 有最大值 25000。所以每年生产 300 件产品时，利润 最大，最大利润为 25000 元。 13、解 设存款数为 a 元，按第一种方式存款三年后本息为 a(1+P)3,而第二种方式存款三年后本息为 a(1+3q) 依题意有：a(1+3q)>a(1+p)3, q > 3 1)1( 3  p 14、（ 1）设 t 小时后蓄水池中水量为 y 吨，则 y=400+60t-120 t6 ，令 t6 =x，则 0≤x≤12 这时 y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40 当 x=6 即 t=6 时，ymin=40 即从开始供水 6 小时后蓄水池中水量最少，最少水量为 40 吨。 （2）由 400+10x2-120x<80，得 425 时，y 存在最大值， 仅当 x=150，即 15025 )5(75   a a ，解得 a=45，y 取得最大值。 将 a=45 代入 ，得 b=-30 ∴ 符合题意的常数为 a=45,b=-30 例 3 的解 设 y1=f(x)=abx+c，则 f(1)=ab+c=1 f(2)=ab2+c=1.2 f(3)=ab3+c=1.3 解得 a=-0.8，b=0.5，c=1.4 ∴ f(x)=-0.8×0.5x+1.4 f(4)=-0.8×0.5x+1.4=1.35 |1.37-1.35|=0.02 设 y2=g(x)=px2+qx+r (p≠0) ，则 g(1)=p+q+r=1 g(2)=4p+2q+r=1.2 g(3)=9p+3q+r=1.3 解得 p=-0.05 ,q=0.35, r=0.7 g(x)=-0.05x2+0.35x+0.7 g(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3 |1.37-1.3|=0.07 ∴ |1.37-1.35|<|1.37-1.3| 故用 y=f(x)=-0.8×0.5x+1.4 作为模拟函数较好。 评注：实际问题中的函数关系，不一定能用解析式表示。但可以根据实际情形，探求函数的经验表达式， 使这种表达式求得的数据与实际问题中数据误差尽可能地小。 第二章的复习小结与测试 一、复习指导 认真阅读课本第 98 页到第 104 页的内容提要、学习要求和需要注意的问题以及参考例题。 通过下面的框图了解本章的知识结构和体系： 对应法则 函数的三要素 定义域 值域 单调性 映射 → 函数 函数的性质 奇偶性 ↓ 对称性 映射 →反函数 指数 指数函数 常见函数 对数 对数函数 二、全章测试题（90 分钟） （一）选择题（共 12 题，每小题 3 分，共 36 分） 1、已知映射 f: A→B，其中集合 A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且对任意的 a∈A，在 B 中和它对应的元素是|a|，则集合 B 中元素的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2、映射 f:A →B 对应的函数的定义域为 A，值域为 B，则下列结论正确的是（ ） A．集合 A 中的每一个元素必有象，但 B 中的元素不一定有原象 B．集合 B 中的元素必有原象 C．B 中的元素只能有一个原象 D．Ａ或Ｂ可以是空集 ３、已知 f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在[０，＋∞)上是减函数，那么下列式子正确的是（ ） A. f(- 4 3 ) > f (a2-a+1) B. f(- 4 3 ) ≥f (a2-a+1) C. f(- ) 0 时，函数 f(x)=(a2-1)x 的值总大于１，则实数 a 的取值范围是（ ） A.1<|a|< 2 B. |a| > C. |a|<1 D.|a|>1 8、已知 a= 1.0 3 2      ,b=1.10.01，则下列关系正确的是（ ） A．a<11 且 b>1 B．01 C．a>1 且 00,则 a 的取值范围是（ ） A．01 C．1<|a|< 2 D．|a|> 2 12、若实数 x 满足 log2x+x=3，则 x 所在的区间是（ ） A．[0,1) B．[1,2) C．[2,3) D．[3,+∞) (二)填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13、函数 y= 2|2| 1 2   x x 的奇偶性是___________________________________。 14、已知函数 f(x)= mx x   2 5 的图象关于直线 y=x 对称，则 m=_______________。 15、函数 y=ax+b 的图象经过点（1，3），其反函数的图象经过点（2，0），则这函数的表达式为 __________________________________。 16 、 函 数 f(x)=(m-1)x2+(1-lgm)x+1 是 偶 函 数 ， 则 f(10),f(-3,1),f( π ) 由小到大的顺序排列起来为 _______________________________________________。 17、将四个数 0.82,20.8,( 5 )0，log20.8 按从小到大的顺序排列为_________________ _____________________________________。 18、函数 y=log 3 1 (5-4x-x2)的单调递增区间是____________________________。 （三）解答题（共 5 小题。每小题 8 分，共 40 分） 19、作出下列函数的图象 （1） x+1 x∈[-1,0] (2) y=|x2-4x+3| y= -x x∈(0,1) 20、证明函数 f(x)= 21 x x  在（-1,0）上是增函数。 21、已知集合 M=              )1,0(,1| 2 2 2 aaaax x xx 求函数 y=2x（x∈M）的值域。 22、设 x 满足不等式 x2-10x+16≤0，求函数 y=(log2x)2-3log2x-1 的最大值和最小值。 23、已知函数 f(x)= xx xx     1010 1010 （1）求 f(x)的值域； （2）试用 f(x),f(y)表示 f(x+y)。 备注：参考答案见下周