2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§13 数系的扩充与复数的引入（讲解部分） 9页

专题十三　数系的扩充与复数的引入 高考文数 考点一　复数的概念与几何意义 考点清单 考向基础 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如 a + b i     ( a , b ∈R)的数叫做复数,其中实部为 a      ,虚部为 b 若 b =0,则 a + b i为实数;若 a =0且 b ≠ 0,则 a + b i为纯虚数 复数相等 a + b i= c + d i ⇔ a = c 且 b = d      ( a , b , c , d ∈R) 共轭复数 a + b i与 c + d i共轭 ⇔ a = c 且 b =- d      ( a , b , c , d ∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴     叫实轴, y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数;除了原 点外,虚轴上的点都表示 纯虚数      ,各象限内的点都表示虚数 内容 意义 备注 复数的概念 形如 a + b i     ( a , b ∈R)的数叫做复数,其中实部为 a      ,虚部为 b 若 b =0,则 a + b i为实数;若 a =0且 b ≠ 0,则 a + b i为纯虚数 复数相等 a + b i= c + d i ⇔ a = c 且 b = d      ( a , b , c , d ∈R) 共轭复数 a + b i与 c + d i共轭 ⇔ a = c 且 b =- d      ( a , b , c , d ∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴     叫实轴, y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数;除了原 点外,虚轴上的点都表示 纯虚数      ,各象限内的点都表示虚数 复数 的模 设   对应的复数为 z = a + b i( a , b ∈R),则向量   的长度叫做复 数 z = a + b i的模 | z |=| a + b i|=        ( a , b ∈R) 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平 面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的.   其中, a , b ∈R. 考向　复数的有关概念 考向突破 例1    (2019河北唐山第一次模拟,2)设复数 z 满足(1+i) z =2i(其中i为虚数单 位),则下列结论正确的是   (　　) A.| z |=2　    B. z 的虚部为i C. z 2 =2　    D. z 的共轭复数为1-i 解析　由(1+i) z =2i,得 z =   =   =1+i, ∴| z |=   , z 的虚部为1, z 2 =(1+i) 2 =2i, z 的共轭复数为1-i,故选D. 答案    D 考向基础 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设 z 1 = a + b i, z 2 = c + d i( a , b , c , d ∈R),则 (1)加法: z 1 + z 2 =( a + b i)+( c + d i)=( a + c )+( b + d )i; (2)减法: z 1 - z 2 =( a + b i)-( c + d i)=( a - c )+( b - d )i; (3)乘法: z 1 · z 2 =( a + b i)·( c + d i)=( ac - bd )+( ad + bc )i; (4)除法:   =   =   =   ( c + d i ≠ 0). 2.复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z 1 、 z 2 、 z 3 ∈C,有 z 1 + z 2 = z 2 + z 1 , ( z 1 + z 2 )+ z 3 = z 1 +( z 2 + z 3 ). 考点二　复数代数形式的四则运算 考向　复数的四则运算 考向突破 例2    (2018豫南九校第六次质量考评,2)已知复数   = x + y i( a , x , y ∈R,i是虚 数单位),则 x +2 y =   (　　) A.1　    B.   　    C.-   　    D.-1 解析　由题意得 a +i=( x + y i)(2+i)=2 x - y +( x +2 y )i, ∴ x +2 y =1,故选A. 答案    A 方法 　复数代数形式的四则运算方法 复数的四则运算中,加减法相当于“合并同类项”,乘法相当于“多项式乘 多项式”,除法采用的方法是 “分母实数化” ,即分子、分母同乘分母的共 轭复数,类似于“分母有理化”的方法,可类比记忆.此外,一要注意出现i 2 时 用-1代替,二要注意“复数问题实数化”是解决复数问题的最基本的思想 方法. 方法技巧 例    (2018课标全国Ⅰ,2,5分)设 z =   +2i,则| z |=   (　　) A.0　    B.   　    C.1　    D.   解析　∵ z =   +2i=   +2i=   +2i=i, ∴| z |=|i|=1,故选C. 答案    C