2013年高考数学（文科）真题分类汇编B单元 函数与导数 41页

B单元 函数与导数 B1　函数及其表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 图1－1‎ ‎3．BP[2013·安徽卷] 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．C　[解析] 依次运算的结果是s＝，n＝4；s＝＋，n＝6；s＝＋＋，n＝8，此时输出s，故输出结果是＋＋＝.‎ ‎14．B1，B14[2013·安徽卷] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝‎2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．‎ ‎14．－　[解析] 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由f(x＋1)＝‎2f(x)可得f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．‎ ‎11．B1，E3[2013·安徽卷] 函数y＝ln1＋＋的定义域为________．‎ ‎11．(0，1]　[解析] 实数x满足1＋>0且1－x2≥0.不等式1＋>0，即>0，解得x>0或x<－1；不等式1－x2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．‎ ‎13．B1[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝则f＝________．‎ ‎13．－2　[解析] f＝－tan ＝－1，f(－1)＝－2.‎ ‎21．B1，B12[2013·江西卷] 设函数 f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．‎ ‎(1)当a＝时，求f；‎ ‎(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；‎ ‎(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎21．解：(1)当a＝时，f＝，‎ f＝f＝2＝.‎ ‎(2)f(f(x))＝ 当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，‎ 因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；‎ 当a20.‎ ‎(或令g(a)＝a3－‎2a2－‎2a＋2，‎ g′(a)＝‎3a2－‎4a－2＝3，‎ 因a∈(0，1)，g′(a)<0，则g(a)在区间上的最小值为g＝>0，‎ 故对于任意a∈，g(a)＝a3－‎2a2－‎2a＋2>0，‎ S′(a)＝·>0)‎ 则S(a)在区间上单调递增，‎ 故S(a)在区间上的最小值为S＝，最大值为S＝.‎ ‎12．B1[2013·辽宁卷] 已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设 H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　)‎ A．a2－‎2a－16　　　　B．a2＋‎2a－16‎ C．－16 D．16‎ ‎12．C　[解析] 由题意知当f(x)＝g(x)时，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，整理得x2－2ax＋a2－4＝0，所以x＝a＋2或x＝a－2，‎ H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝ H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝ 由图形可知(图略)，A＝H1(x)min＝－‎4a－4，B＝H2(x)max＝12－‎4a，则A－B＝－16，故选C.‎ ‎7．B1[2013·辽宁卷] 已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋flg ＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎7．D　[解析] 由已知条件可知，f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋1＋ln(＋3x)＋1＝2，而lg 2＋lg＝lg 2－lg 2＝0，故而f(lg 2)＋f＝2.‎ 图1－9‎ ‎19．B1，I2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．‎ ‎(1)将T表示为X的函数；‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．‎ ‎19．解：(1)当X∈[100，130)时，‎ T＝500X－300(130－X)‎ ‎＝800X－39 000.‎ 当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000.‎ 所以T＝ ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当 ‎120≤X≤150.‎ 由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎5．B1[2013·山东卷] 函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A．(－3，0]‎ B．(－3，1]‎ C．(－∞，－3)∪(－3，0]‎ D．(－∞，－3)∪(－3，1]‎ ‎5．A　[解析] 要使函数有意义，须有解之得－30，得k2>3.‎ 所以，k的取值范围是(－∞，－)∪(＋∞)．‎ ‎(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则 ‎|OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x.‎ 又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，‎ 由＝＋，得 ＝＋，‎ 即＝＋＝.‎ 由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以m2＝.‎ 因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化简，得5n2－‎3m2‎＝36.‎ 由m2＝及k2>3，可知00，‎ 所以n＝＝.‎ 于是，n与m的函数关系为n＝(m∈(－，0)∪(0，))．‎ ‎11．B1[2013·浙江卷] 已知函数f(x)＝ .若f(a)＝3，则实数a＝ ________．‎ ‎11．10　[解析] f(a)＝＝3.则a－1＝9，a＝10.‎ ‎3．B1[2013·重庆卷] 函数y＝的定义域是(　　)‎ A．(－∞，2) B．(2，＋∞)‎ C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)‎ ‎3．C　[解析] 由题可知所以x＞2且x≠3，故选C.‎ B2　反函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎6．B2[2013·全国卷] 函数f(x)＝log2(x>0)的反函数f－1(x)＝(　　)‎ A.(x>0) B.(x≠0)‎ C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x>0)‎ ‎6．A　[解析] 令y＝log2，则y>0，且1＋＝2y，解得x＝，交换x，y得f－1(x)＝(x>0)．‎ B3　函数的单调性与最值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎13．B3[2013·北京卷] 函数f(x)＝的值域为________．‎ ‎13．(－∞，2)　[解析] 函数y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y＝logx的值域为(－∞，0]；函数y＝2x在R上是增函数，当x<1时，函数y＝2x的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．‎ ‎3．B4，B3[2013·北京卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|‎ ‎3．C　[解析] 对于A，y＝是奇函数，排除．对于B，y＝e－x既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D，y＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此时单调递增，排除．只有C符合题意．‎ ‎12．B3，B6[2013·新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)‎ C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎12．D　[解析] 由题意存在正数x使得a>x－成立，即a>.由于x－是(0，＋∞)上的增函数，故x－>0－＝－1，所以a>－1.答案为D.‎ ‎11．B3，B5，B8，B12[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A．x0∈R，f(x0)＝0‎ B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0‎ ‎11．C　[解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0)＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x3＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x10，‎ 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.‎ 当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立 所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.‎ ‎(3)当x1x1>0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<00时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及x1<0h(2)＝－ln 2－1，‎ 所以a>－ln2－1，‎ 而当t∈(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，‎ 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ 故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ ‎10．B3，B12[2013·四川卷] 设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，e] B．[1，1＋e]‎ C．[e，1＋e] D．[0，1]‎ ‎10．A　[解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b∈[0，1]，如果f(b)＝c＞b，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c＞b，不可能有f(f(b))＝b；同理，当f(b)＝d＜b时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d＜b，也不可能有f(f(b))＝b；因此必有f(b)＝b，即方程f(x)＝x在[0，1]上有解，即＝x.因为x≥0，两边平方得ex＋x－a＝x2，所以a＝ex－x2＋x.记g(x)＝ex－x2＋x，则g′(x)＝ex－2x＋1.‎ 当x∈时，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0.‎ 当x∈时，ex＞＞1，－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]．‎ B4　函数的奇偶性与周期性　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎3．B4，B3[2013·北京卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)‎ A．y＝　　　　　　　B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|‎ ‎3．C　[解析] 对于A，y＝是奇函数，排除．对于B，y＝e－x既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D，y＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此时单调递增，排除．只有C符合题意．‎ ‎13．B4[2013·全国卷] 设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________‎ ‎13．－1　[解析] f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.‎ ‎2．B4[2013·广东卷] 函数y＝的定义域是(　　)‎ A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)‎ C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)‎ ‎2．C　[解析] 由题知得x∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.‎ ‎8．B4[2013·湖北卷] x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 ‎8．D　[解析] 作出函数f(x)＝x－[x]的大致图像如下：‎ 观察图像，易知函数f(x)＝x－[x]是周期函数．‎ ‎4．B4[2013·湖南卷] 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎4．B　[解析] 由函数的奇偶性质可得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)．根据f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，可得‎2g(1)＝6，即g(1)＝3，选B.‎ ‎11．B4[2013·江苏卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．‎ ‎11．(－5，0)∪(5，＋∞)　[解析] 设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)．‎ 又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等价于 或 解得x>5或－50时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)‎ A．2 B．1 ‎ C．0 D．－2‎ ‎3．D　[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2.‎ ‎7．B4，B7[2013·天津卷] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log‎2a)＋f(loga)≤‎2f(1)，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，2] B．0， C.，2 D．(0，2]‎ ‎7．C　[解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(log‎2a)＝f(loga)，又∵f(log‎2a)＋f≤‎2f(1)，∴f(log‎2a)≤f(1)，即|log‎2a|≤1，解之得≤a≤2.‎ ‎9．B4和B7[2013·重庆卷] 已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝(　　)‎ A．－5 B．－‎1 C．3 D．4‎ ‎9．C　[解析] 因为f(lg(log210))＝f＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C.‎ B5　二次函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎6．B5，B9[2013·湖南卷] 函数f(x)＝ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋4的图像的交点个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎6．A　[解析] 方法一：作出函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2－4x＋4的图像如图所示 可知，其交点个数为2，选C.‎ 方法二(数值法)‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ f(x)＝ln x ‎0‎ ln 2(>0)‎ ln 4(<4)‎ g(x)＝x2－4x＋4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎4‎ 可知它们有2个交点，选C.‎ ‎2．B5[2013·江西卷] 若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A．4 B．‎2 C．0 D．0或4‎ ‎2．A　[解析] 当a＝0时，A＝；当a≠0时，Δ＝a2－‎4a＝0，则a＝4，故选A.‎ ‎11．B3，B5，B8，B12[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A．x0∈R，f(x0)＝0‎ B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0‎ ‎11．C　[解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0)＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x3＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x10时，y＝ln (x＋1)的图像不可能恒在直线y＝ax的上方，故a≤0；由于直线y＝ax与曲线y＝x2－2x均过坐标原点，所以满足条件的直线y＝ax的极端位置是曲线y＝x2－2x在点(0，0)处的切线，y′＝2x－2，当x＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0.‎ ‎7．B5[2013·浙江卷] 已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)‎ A．a>0，‎4a＋b＝0 B．a<0，‎4a＋b＝0‎ C．a>0，‎2a＋b＝0 D．a<0，‎2a＋b＝0‎ ‎7．A　[解析] 若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则－＝2，则‎4a＋b＝0，而f(0)＝f(4)>f(1)，故开口向上，所以a>0，‎4a＋b＝0.所以选择A.‎ B6　指数与指数函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎12．B3，B6[2013·新课标全国卷Ⅱ] 若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)‎ C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎12．D　[解析] 由题意存在正数x使得a>x－成立，即a>.由于x－是(0，＋∞)上的增函数，故x－>0－＝－1，所以a>－1.答案为D.‎ B7　对数与指数函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎8．B7，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)‎ A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b ‎8．D　[解析] a－b＝log32－log52＝－＝>0a>b，c＝log23>1，a<1，b<1，所以c>a>b，答案为D.‎ ‎16．B7，M1[2013·山东卷] 定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：‎ ‎①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；‎ ‎②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b；‎ ‎③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；‎ ‎④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)‎ ‎16．①③④　[解析] ①中，当ab≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln＋ab＝ln ab＝bln a＝bln＋a；当00，∴01时，左边＝ln＋(ab)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立．‎ ‎③中，当≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝ln＋a－ln＋b≤0，左边≥右边，成立；当>1时，左边＝ln ＝ln a－ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a－ln b，左边≥右边成立；若01>b>0，左边＝ln ＝ln a－ln b>ln a，右边＝ln a，左边≥右边成立，∴③正确．‎ ‎④中，若00，左边≤右边；若a＋b≥1，ln＋(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝ln.‎ 又∵≤a或≤b，a，b至少有1个大于1，‎ ‎∴ln≤ln a或ln≤ln b，即有ln＋(a＋b)－ln 2＝ln (a＋b)－ln 2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正确．‎ ‎7．B4，B7[2013·天津卷] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log‎2a)＋f(loga)≤‎2f(1)，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，2] B．0， C.，2 D．(0，2]‎ ‎7．C　[解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(log‎2a)＝f(loga)，又∵f(log‎2a)＋f≤‎2f(1)，∴f(log‎2a)≤f(1)，即|log‎2a|≤1，解之得≤a≤2.‎ ‎3．B7[2013·陕西卷] 设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)‎ A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac ‎3．B　[解析] 利用对数的运算性质可知C，D是错误的．再利用对数运算性质logab·logcb≠logca.又因为logab·logca＝×＝＝logcb，故选B.‎ ‎11．B7[2013·四川卷] lg ＋lg 的值是________．‎ ‎11．1　[解析] lg ＋lg ＝lg (·)＝lg ＝lg 10＝1.‎ ‎9．B4和B7[2013·重庆卷] 已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝(　　)‎ A．－5 B．－‎1 C．3 D．4‎ ‎9．C　[解析] 因为f(lg(log210))＝f＝f(－lg(lg 2))＝5，又因为f(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故选C.‎ B8　幂函数与函数的图像　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎5．B8[2013·福建卷] 函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是(　　)‎ 图1－1‎ ‎5．A　[解析] f(x)是定义域为R的偶函数，图像关于y轴对称，又过点(0，0)，故选A.‎ ‎11．B3，B5，B8，B12[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A．x0∈R，f(x0)＝0‎ B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0‎ ‎11．C　[解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0)＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x3＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x11时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．‎ 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．‎ ‎6．B5，B9[2013·湖南卷] 函数f(x)＝ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋4的图像的交点个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎6．A　[解析] 方法一：作出函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2－4x＋4的图像如图所示 可知，其交点个数为2，选C.‎ 方法二(数值法)‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ f(x)＝ln x ‎0‎ ln 2(>0)‎ ln 4(<4)‎ g(x)＝x2－4x＋4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎4‎ 可知它们有2个交点，选C.‎ ‎8．B9[2013·天津卷] 设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)‎ A．g(a)<00，‎ 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.‎ 当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立 所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.‎ ‎(3)当x1x1>0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<00时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及x1<0h(2)＝－ln 2－1，‎ 所以a>－ln2－1，‎ 而当t∈(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，‎ 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ 故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ B10　函数模型及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎5．B10[2013·湖北卷] 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是(　　)‎ 图1－1‎ ‎5．C　[解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C项符合，故选C.‎ ‎10．B10[2013·陕西卷] 设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有(　　)‎ A．[－x]＝－[x] B.＝[x]‎ C．[2x]＝2[x] D．[x]＋＝[2x]‎ ‎10．D　[解析] 可取特值x＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A错．x＋＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B错. [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故C错．[x]＋ x＋＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D正确．‎ B11　导数及其运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎18．B11，B12，B9，B14[2013·北京卷] 已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．‎ ‎18．解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝x(2＋cos x)．‎ ‎(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．‎ 解得a＝0，b＝f(0)＝1.‎ ‎(2)令f ′(x)＝0，得x＝0.‎ f(x)与f′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎1‎  所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．‎ 当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；‎ 当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．‎ 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．‎ ‎10．B11[2013·全国卷] 已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(　　)‎ A．9 B．6 ‎ C．－9 D．－6‎ ‎10．D　[解析] y′＝4x3＋2ax，当x＝－1时y′＝8，故8＝－4－‎2a，解得a＝－6.‎ ‎12．B11[2013·广东卷] 若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________‎ ‎12.　[解析] 易知点(1，a)在曲线y＝ax2－ln x上，y′＝2ax－，∴＝‎2a－1＝0，∴a＝.‎ ‎11．B11[2013·江西卷] 若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．‎ ‎11．2　[解析] y′＝αxα－1，y′＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，该切线过原点，得α＝2.‎ ‎21．B11，B12[2013·陕西卷] 已知函数f(x)＝ex，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；‎ ‎(3)设a0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，‎ 即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0，‎ ‎∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在R上是单调递增的，‎ ‎∴φ(x)在R上有唯一的零点．‎ 故曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点．‎ 方法二：∵ex>0，x2＋x＋1>0，‎ ‎∴曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于 曲线y＝与直线y＝1公共点的个数．‎ 设φ(x)＝，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点．‎ 又φ′(x)＝＝≤0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在R上单调递减，‎ ‎∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，‎ 故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．‎ ‎(3)－f＝－e ＝＝.‎ 设函数u(x)＝ex －－2x(x≥0)，则u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0.‎ ‎∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴u(x)单调递增．‎ 当x>0时，u(x)>u(0)＝0.‎ 令x＝，则得e－e－(b－a)>0.‎ ‎∴>f.‎ ‎20．B11、B12[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．‎ ‎20．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.‎ ‎ 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.‎ 从而a＝4，b＝4.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x.‎ f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).‎ 令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.‎ 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．‎ 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．‎ ‎20．B11和B12[2013·重庆卷] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．‎ ‎(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．‎ ‎20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而 V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．‎ 因为r>0，又由h>0可得r<5 ，故函数V(r)的定义域为(0，5 )．‎ ‎(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(r2＝－5不在定义域内，舍去)．‎ 当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5 )时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5 )上为减函数．‎ 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．‎ B12　导数的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎20．E3，B12[2013·安徽卷] 设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．‎ ‎(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；‎ ‎(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．‎ ‎20．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，‎ 故f(x)>0的解集为{x|x10，d(a)单调递增；‎ 当11时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．‎ 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．‎ ‎21．B12、B14[2013·全国卷] 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.‎ ‎(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．‎ ‎21．解：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3 x2＋3x＋1，‎ f′(x)＝3x2－6 x＋3.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.‎ 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；‎ 当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；‎ 当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．‎ ‎(2)由f(2)≥0得a≥－.‎ 当a≥－，x∈(2，＋∞)时，‎ f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝‎ ‎3(x－2)>0，‎ 所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎22．B12，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值；‎ ‎(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．‎ ‎22．解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)f′(x)＝1－，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a.‎ 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．‎ ‎(3)方法一：当a＝1时，f(x)＝x－1＋.‎ 令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋，‎ 则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，‎ 等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解．‎ 假设k>1，此时g(0)＝1>0，g＝－1＋<0，‎ 又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1.‎ 又k＝1时，g(x)＝>0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解．‎ 所以k的最大值为1.‎ 方法二：当a＝1时，f(x)＝x－1＋.‎ 直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，‎ 等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋在R上没有实数解，即关于x的方程：‎ ‎(k－1)x＝(*)在R上没有实数解．‎ ‎①当k＝1时，方程(*)可化为＝0，在R上没有实数解．‎ ‎②当k≠1时，方程(*)化为＝xex.‎ 令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex.‎ 令g′(x)＝0，得x＝－1，‎ 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎  ‎－  当x＝－1时，g(x)min＝－，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为－，＋∞.‎ 所以当∈时，方程(*)无实数解．‎ 解得k的取值范围是(1－e，1)．‎ 综上①②，得k的最大值为1.‎ ‎21．B12，N4[2013·湖北卷] 设a>0，b>0，已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)当x>0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数．‎ ‎(i)判断f(1)，f，f是否成等比数列，并证明f≤f；‎ ‎(ii)a，b的几何平均数记为G，称为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤‎ G，求x的取值范围．‎ ‎21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，‎ f′(x)＝＝.‎ 当a＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；‎ 当a＜b时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)(i)计算得f(1)＝＞0，f＝＞0，‎ f＝＞0.‎ 故f(1)f＝·＝ab＝，即 f(1)f＝.①‎ 所以f(1)，f，f成等比数列．‎ 因≥，即f(1)≥f，结合①得f≤f.‎ ‎(ii)由(i)知f＝H，f＝G，故由H≤f(x)≤G，‎ 得f≤f(x)≤f.②‎ 当a＝b时，f＝f(x)＝f＝a.‎ 这时，x的取值范围为(0，＋∞)；‎ 当a＞b时，0＜＜1，从而＜，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得≤x≤，即x的取值范围为；‎ 当a＜b时，＞1，从而＞，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，‎ 得≤x≤，即x的取值范围为.‎ ‎10．B12[2013·湖北卷] 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0) B. ‎ C．(0，1) D．(0，＋∞)‎ ‎10．B　[解析] f′(x)＝ln x－ax＋x－a＝ln x－2ax＋1，函数f(x)有两个极值点等价于方程ln x－2ax＋1＝0有两个大于零的不相等的实数根．令y1＝ln x，y2＝2ax－1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a≤‎ ‎0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y＝2ax－1与曲线y＝ln x相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y′1＝，故曲线y＝ln x上的点(x0，ln x0)处的切线方程是y－ln x0＝(x－x0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x0＝－1，解得x0＝1，故过点(0，－1)的曲线y＝ln x的切线斜率是1，故‎2a＝1，即a＝，所以a的取值范围是0，.‎ ‎21．B1，B12[2013·江西卷] 设函数 f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．‎ ‎(1)当a＝时，求f；‎ ‎(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；‎ ‎(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎21．解：(1)当a＝时，f＝，‎ f＝f＝2＝.‎ ‎(2)f(f(x))＝ 当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，‎ 因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；‎ 当a20.‎ ‎(或令g(a)＝a3－‎2a2－‎2a＋2，‎ g′(a)＝‎3a2－‎4a－2＝3，‎ 因a∈(0，1)，g′(a)<0，则g(a)在区间上的最小值为g＝>0，‎ 故对于任意a∈，g(a)＝a3－‎2a2－‎2a＋2>0，‎ S′(a)＝·>0)‎ 则S(a)在区间上单调递增，‎ 故S(a)在区间上的最小值为S＝，最大值为S＝.‎ ‎21．B12[2013·辽宁卷] (1)证明：当x∈[0，1]时，x≤sin x≤x；‎ ‎(2)若不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎21．解：(1)记F(x)＝sin x－x，则F′(x)＝cos x－.‎ 当x∈0，时，F′(x)>0，F(x)在0，上是增函数；‎ 当x∈，1时，F′(x)<0，F(x)在，1上是减函数．‎ 又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sin x≥x.‎ 记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cos x－1<0，所以，H(x)在[0，1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.‎ 综上，x≤sin x≤x，x∈[0，1]．‎ ‎(2)方法一：‎ 因为当x∈[0，1]时，‎ ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4‎ ‎＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2 ‎≤(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)x2‎ ‎＝(a＋2)x.‎ 所以，当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]恒成立．‎ 下面证明，当a>－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对 x∈[0，1]不恒成立．‎ 因为当x∈[0，1]时．‎ ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4‎ ‎＝(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)sin2 ‎≥(a＋2)x＋x2＋－4(x＋2)2‎ ‎＝(a＋2)x－x2－ ‎≥(a＋2)x－x2‎ ‎＝－xx－(a＋2)．‎ 所以存在x0∈(0，1)例如x0取和中的较小值满足ax0＋x＋＋2(x0＋2)cos x0‎ ‎－4>0.即当a>－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4≤0对x∈[0，1]不恒成立．‎ 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．‎ 方法二：‎ 记f(x)＝ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4，则 f′(x)＝a＋2x＋＋2cos x－2(x＋2)sin x.‎ 记G(x)＝f′(x)，则 G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x.‎ 当x∈(0，1)时，cos x>，因此G′(x)<2＋3x－4·x－(x＋2)＝(2－2 )x<0.‎ 于是f′(x)在[0，1]上是减函数，因此，当x∈(0，1)时f′(x)－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]不恒成立．‎ 由于f′(x)在[0，1]上是减函数，且 f′(0)＝a＋2>0，f′(1)＝a＋＋2cos 1－6sin 1.‎ 当a≥6sin 1－2cos 1－时，f′(1)≥0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0，因此f(x)在[0，1]上是增函数，故f(1)>f(0)＝0；‎ 当－20，故存在x0∈(0，1)使f′(x0)＝0，则当0f′(x0)＝0，所以f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，f(x)>f(0)＝0.‎ 所以，当a>－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0，1]不恒成立．‎ 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．‎ ‎21．B12，H1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x2e－x.‎ ‎(1)求f(x)的极小值和极大值；‎ ‎(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．‎ ‎21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．‎ f′(x)＝－e－xx(x－2)．①‎ 当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(0，2)时，f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．‎ 故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.‎ ‎(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为 y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．‎ 所以l在x轴上的截距为 m(t)＝t－＝t＋＝t－2＋＋3.‎ 由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ 令h(x)＝x＋(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 ，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．‎ 所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 ＋3，＋∞)．‎ 综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 ＋3，＋∞)．‎ ‎11．B3，B5，B8，B12[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A．x0∈R，f(x0)＝0‎ B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0‎ ‎11．C　[解析] x→－∞时，f(x)<0，x→＋∞时，f(x)>0，又f(x)连续，x0∈R，f(x0)＝0，A正确．通过平移变换，函数可以化为f(x)＝x3＋c，从而函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，B正确．若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1，若x10，且对任意x>0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小．‎ ‎21．解：(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)，‎ 得f′(x)＝.‎ ‎①当a＝0时，f′(x)＝.‎ ‎(i)若b≤0，当x＞0时，f′(x)＜0恒成立，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．‎ ‎(ii)若b＞0，当0＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，‎ 当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．‎ 所以，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎②当a＞0时，令f′(x)＝0，‎ 得2ax2＋bx－1＝0.‎ 由Δ＝b2＋‎8a＞0得 x1＝，x2＝.‎ 显然，x1＜0，x2＞0.‎ 当0＜x＜x2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；‎ 当x＞x2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是，‎ 单调递增区间是.‎ 综上所述，‎ 当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；‎ 当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎(2)由题意，函数f(x)在x＝1处取得最小值，‎ 由(1)知是f(x)的唯一极小值点，‎ 故＝1，整理得 ‎2a‎＋b＝1，即b＝1－‎2a.‎ 令g(x)＝2－4x＋ln x.‎ 则g′(x)＝.‎ 令g′(x)＝0，得x＝.‎ 当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；‎ 当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．‎ 因此g(x)≤g＝1＋ln ＝1－ln 4＜0.‎ 故g(a)＜0，即2－‎4a＋ln a＝2b＋ln a＜0，‎ 即ln a＜－2b.‎ ‎21．B11，B12[2013·陕西卷] 已知函数f(x)＝ex，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；‎ ‎(3)设a0时，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎∴φ′(x)在x＝0有唯一的极小值φ′(0)＝0，‎ 即φ′(x)在R上的最小值为φ′(0)＝0，‎ ‎∴φ′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在R上是单调递增的，‎ ‎∴φ(x)在R上有唯一的零点．‎ 故曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点．‎ 方法二：∵ex>0，x2＋x＋1>0，‎ ‎∴曲线y＝ex与y＝x2＋x＋1公共点的个数等于 曲线y＝与直线y＝1公共点的个数．‎ 设φ(x)＝，则φ(0)＝1，即x＝0时，两曲线有公共点．‎ 又φ′(x)＝＝≤0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在R上单调递减，‎ ‎∴φ(x)与y＝1有唯一的公共点，‎ 故曲线y＝f(x)与y＝x2＋x＋1有唯一的公共点．‎ ‎(3)－f＝－e ＝＝.‎ 设函数u(x)＝ex －－2x(x≥0)，则u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0.‎ ‎∴u′(x)≥0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴u(x)单调递增．‎ 当x>0时，u(x)>u(0)＝0.‎ 令x＝，则得e－e－(b－a)>0.‎ ‎∴>f.‎ ‎21．B3，B9，B12[2013·四川卷] 已知函数f(x)＝其中a是实数．设A ‎(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图像上的两点，且x10，‎ 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.‎ 当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立 所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.‎ ‎(3)当x1x1>0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<00时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及x1<0h(2)＝－ln 2－1，‎ 所以a>－ln2－1，‎ 而当t∈(0，2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，‎ 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ 故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．‎ ‎10．B3，B12[2013·四川卷] 设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．[1，e] B．[1，1＋e]‎ C．[e，1＋e] D．[0，1]‎ ‎10．A　[解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函数，对于b∈[0，1]，如果f(b)＝c＞b，则f(f(b))＝f(c)＞f(b)＝c＞b，不可能有f(f(b))＝b；同理，当f(b)＝d＜b时，则f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d＜b，也不可能有f(f(b))＝b；因此必有f(b)＝b，即方程f(x)＝x在[0，1]上有解，即＝x.因为x≥0，两边平方得ex＋x－a＝x2，所以a＝ex－x2＋x.记g(x)＝ex－x2＋x，则g′(x)＝ex－2x＋1.‎ 当x∈时，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0.‎ 当x∈时，ex＞＞1，－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0，综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[g(0)，g(1)]，即[1，e]，从而a的取值范围是[1，e]．‎ ‎20．B12[2013·天津卷] 设a∈[－2，0]，已知函数f(x)＝ ‎(1)证明f(x)在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；‎ ‎(2)设曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1，2，3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明x1＋x2＋x3>－.‎ ‎20．解：(1)证明：设函数f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝x3－x2＋ax(x≥0)，‎ ‎①f′1(x)＝3x2－(a＋5)，a∈[－2，0]，从而当－11时，f′2(x)>0，即函数f2(x)在区间[0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ 综合①②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ ‎(2)证明：由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间0，内单调递减，在区间，＋∞内单调递增，且f′2(0)－f′1(0)＝a＋a＋5>0.因为曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1，2，3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．结合图像不妨设x1<0－＋.‎ 设t＝，则a＝.‎ 因为a∈[－2，0]，所以t∈，，‎ 故x1＋x2＋x3>－t＋＝(t－1)2－≥－，即x1＋x2＋x3>－.‎ ‎20．B11、B12[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．‎ ‎20．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.‎ ‎ 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.‎ 从而a＝4，b＝4.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x.‎ f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).‎ 令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.‎ 从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．‎ 当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．‎ ‎12．B5、B12、B14[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0] B．(－∞，1]‎ C．[－2，1] D．[－2，0]‎ ‎12．D　[解析] 函数y＝|f(x)|＝在同一坐标系中画出y＝|f(x)|，y＝ax的图像如图所示，问题等价于直线y＝ax不在函数y＝|f(x)|图像的上方，显然a>0时，y＝ln (x＋1)的图像不可能恒在直线y＝ax的上方，故a≤0；由于直线y＝ax与曲线y＝x2－2x均过坐标原点，所以满足条件的直线y＝ax的极端位置是曲线y＝x2－2x在点(0，0)处的切线，y′＝2x－2，当x＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0.‎ ‎21．B12[2013·浙江卷] 已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.‎ ‎(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．‎ ‎21．解：(1)当a＝1时， f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.‎ 又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.‎ ‎(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．‎ f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋‎6a＝6(x－1)(x－a)．‎ 令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a.‎ 当a>1时，‎ x ‎0‎ ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，a)‎ a ‎(a，‎2a)‎ ‎2a f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎0‎ 单调 递增 极大值 ‎3a‎－1‎ 单调 递减 极小值 a2(3－a)‎ 单调 递增 ‎4a‎3‎ 比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得 g(a)＝ 当a<－1时，‎ x ‎0‎ ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，－‎2a)‎ ‎－‎‎2a f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎0‎ 单调 递减 极小值 ‎3a‎－1‎ 单调 递增 ‎－‎28a3－‎24a2‎ 得g(a)＝‎3a－1.‎ 综上所述，f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值为 g(a)＝ ‎8．B12[2013·浙江卷] 已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图1－2所示，则该函数的图像是(　　)‎ 图1－2‎ 图1－3‎ ‎8．B　[解析] 由导函数的图像可知，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(－1，1)上递增，且导函数为偶函数，则函数f(x)为奇函数，再从导函数的图像可知，当x∈(0，1)时，其二阶导数f″(x)<0，则f(x)在x∈(0，1)时，其图像是向上凸的，或者y随着x增长速度越来越缓慢，故选择B.‎ ‎20．B11和B12[2013·重庆卷] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．‎ ‎(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．‎ ‎20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2‎ 元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而 V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．‎ 因为r>0，又由h>0可得r<5 ，故函数V(r)的定义域为(0，5 )．‎ ‎(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(r2＝－5不在定义域内，舍去)．‎ 当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5 )时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5 )上为减函数．‎ 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．‎ B13　定积分与微积分基本定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ B14　单元综合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎14．B1，B14[2013·安徽卷] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝‎2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．‎ ‎14．－　[解析] 当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由f(x＋1)＝‎2f(x)可得f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．‎ ‎18．B11，B12，B9，B14[2013·北京卷] 已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．‎ ‎18．解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得 f′(x)＝x(2＋cos x)．‎ ‎(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．‎ 解得a＝0，b＝f(0)＝1.‎ ‎(2)令f ′(x)＝0，得x＝0.‎ f(x)与f′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎1‎  所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．‎ 当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；‎ 当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．‎ 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．‎ ‎21．B12、B14[2013·全国卷] 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.‎ ‎(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．‎ ‎21．解：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3 x2＋3x＋1，‎ f′(x)＝3x2－6 x＋3.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.‎ 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；‎ 当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；‎ 当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．‎ ‎(2)由f(2)≥0得a≥－.‎ 当a≥－，x∈(2，＋∞)时，‎ f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝‎ ‎3(x－2)>0，‎ 所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎22．B12，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值；‎ ‎(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．‎ ‎22．解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)f′(x)＝1－，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a.‎ 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．‎ ‎(3)方法一：当a＝1时，f(x)＝x－1＋.‎ 令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋，‎ 则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，‎ 等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解．‎ 假设k>1，此时g(0)＝1>0，g＝－1＋<0，‎ 又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1.‎ 又k＝1时，g(x)＝>0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解．‎ 所以k的最大值为1.‎ 方法二：当a＝1时，f(x)＝x－1＋.‎ 直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，‎ 等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋在R上没有实数解，即关于x的方程：‎ ‎(k－1)x＝(*)在R上没有实数解．‎ ‎①当k＝1时，方程(*)可化为＝0，在R上没有实数解．‎ ‎②当k≠1时，方程(*)化为＝xex.‎ 令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex.‎ 令g′(x)＝0，得x＝－1，‎ 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎  ‎－  当x＝－1时，g(x)min＝－，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，从而g(x)的取值范围为－，＋∞.‎ 所以当∈时，方程(*)无实数解．‎ 解得k的取值范围是(1－e，1)．‎ 综上①②，得k的最大值为1.‎ ‎16．A4，B14[2013·福建卷] 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：‎ ‎(i)T＝{f(x)|x∈S}；(ii)对任意x1，x2∈S，当x10，进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1) 上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当xln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.‎ 综上，有a∈(e，＋∞)．‎ ‎(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝ex－a>0，‎ 解得aln a，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即00，得f(x)存在唯一的零点；‎ ‎(ii)当a<0时，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[ea，1]上的图像不间断，所以f(x)在(ea，1)上存在零点．‎ 另外，当x>0时，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．‎ ‎(iii)当00，当x>a－1‎ 时，f′(x)<0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.‎ ‎①当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.‎ ‎②当－ln a－1>0，即00，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图像不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．‎ 另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．‎ 下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况，先证f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)<0，为此，我们要证明：当x>e时，ex>x2，设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，再设l(x)＝h′(x)＝ex－2x，则l′(x)＝ex－2.‎ 当x>1时，l′(x)＝ex－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝ex－2x>h′(2)＝e2－4>0，‎ 从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x>e时，h(x)＝ex－x2>h(e)＝ee－e2>0，‎ 即当x>e时，ex>x2.‎ 当0e时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)<0，‎ 又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，ea－1]上的图像不间断，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．‎ 又当x>a－1时，f′(x)＝－a<0，‎ 故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．‎ 综合(i)(ii)(iii)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，‎ 当00)图像上一动点．若点P，A之间的最短距离为2 ，则满足条件的实数a的所有值为________．‎ ‎13．－1，　[解析] 由题意知，若a<0，则a＝－1满足题意；若a>0，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与y＝(x>0)相切．联立方程，消去y得 x2－2ax＋a2＋－＋a2＝8，‎ 即－‎2a＋‎2a2－10＝0.‎ 令Δ＝0得(‎2a)2－4(‎2a2－10)＝0.(*)‎ 解得a＝.‎ 此时方程(*)的解为x＝，满足题意．‎ 综上，实数a的所有值为－1，.‎ ‎12．B5、B12、B14[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0] B．(－∞，1]‎ C．[－2，1] D．[－2，0]‎ ‎12．D　[解析] 函数y＝|f(x)|＝在同一坐标系中画出y＝|f(x)|，y＝ax的图像如图所示，问题等价于直线y＝ax不在函数y＝|f(x)|图像的上方，显然a>0时，y＝ln (x＋1)的图像不可能恒在直线y＝ax的上方，故a≤0；由于直线y＝ax与曲线y＝x2－2x均过坐标原点，所以满足条件的直线y＝ax的极端位置是曲线y＝x2－2x在点(0，0)处的切线，y′＝2x－2，当x＝0时y′＝－2.所以－2≤a≤0.‎ ‎16．B14[2013·浙江卷] 设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝________．‎ ‎16．－1　[解析] 当x＝1时，0≤a＋b≤0，则a＋b＝0，b＝－a，令f(x)＝(x2－1)2－(x4－x3＋ax－a)＝x3－2x2－ax＋a＋1，则f(x)≥0在x≥0时恒成立，f(1)＝1－2－a＋a＋1＝0，则x＝1应为极小值点，f′(x)＝3x2－4x－a，故f′(1)＝0，a＝－1，b＝1，ab＝－1.‎