数学文卷·2019届黑龙江省佳木斯市一中高二上学期期中考试（2017-11） 7页

黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 在复平面内，复数,那么（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎2.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎3.直线和互相垂直，则实数的值是（ ）‎ A．或 B．2或 C．或1 D．2或1‎ ‎4. 极坐标方程表示的图形是 A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ‎ ‎5.圆经过伸缩变换后所得图形的焦距（ ）‎ A．4 B． C． D．6‎ ‎6.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的—个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为（ ）‎ A．2 B． C．8 D． ‎ ‎8. 设椭圆的左、右焦点分别为，若直线与椭圆交于两点，且四边形是矩形，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.过抛物线的焦点的直线交抛物线与两点，为坐标原点.若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设双曲线的虚轴长为2,焦距为，则双曲线的渐近线方程为 ．‎ ‎14.在极坐标系中，点，在以极点为坐标原点，极轴所在直线为轴的平面直角坐标系中，点的坐标为 ．‎ ‎15.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为 ．‎ ‎16.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上.‎ ‎ （1）求圆的方程；‎ ‎（2）若圆与直线交于两点，且|,求的值.‎ ‎18.已知抛物线的标准方程为.‎ ‎（1）过点作直线与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程.‎ ‎（2）过点作直线交抛物线于两点，使得恰好平分线段,求直线的方程.‎ ‎19.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎20.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为：（为参数）‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线与曲线的交点为，求的值.‎ ‎21.已知椭圆，椭圆两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为4的等腰直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点，直线与椭圆交于不同的两点，求面积最大时直线的方程.‎ ‎22. 已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBDCC 6-10: ADDCA 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 4 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1） 曲线与坐标轴交点分别为 过三点的圆的方程：‎ ‎（2）若圆与直线交于两点，且|，所以圆心到直线的距离为2,即,所以 ‎18.（1）直线斜率不存在时，过点的直线与抛物线有一个交点.‎ 直线斜率存在时，设直线斜率为，直线方程为 由得，直线与抛物线只有一个交点，所以，‎ 解得 所以直线方程为 综上，过点与抛物线有一个交点的直线方程为和.‎ ‎（2）设点直线斜率为 点在抛物线上，所以 所以即 所以直线方程为 经捡验，直线符合题意.‎ ‎19.（1）曲线的直角坐标方程为 ‎ 直线的直角坐标方程为 ‎ ‎（2）设曲线上的点的坐标为，‎ 点到直线的距离为 ‎ 当时，的最大值为.‎ ‎20. （1）曲线的直角坐标方程为 ‎ 直线的直角坐标方程为 ‎（2）将 （为参数）代入得到 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎21.（1）椭圆方程为 ‎（2）设直线的方程为，的坐标分别为，‎ 由 得，‎ 则，‎ 所以 ‎ 由， ‎ 得.‎ 又点到的距离为，‎ 故 当且仅当即时取等号， ‎ 当时，满足 故直线的方程为.‎ ‎22. 解（1）椭圆方程为.‎ ‎（2）当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为；‎ 当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为.‎ 故若存在定点，则的坐标只可能为.‎ 下面证明为所求：‎ 若直线的斜率不存在，上述己经证明. ‎ 若直线的斜率存在，设直线，，‎ 由得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎∴，即以线段为直径的圆恒过点.‎