数学理卷·2018届河北省邢台市高二上学期期末考试（2017-01） 11页

邢台市2016~2017学年高二（上）期末测试 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在空间之间坐标系中，平面内有和两点，平面的一个法向量为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，若直线与直线垂直，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是直线倾斜角的倍，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知命题，.若是假命题，则命题可以是（ ）‎ A．椭圆的焦点在轴上 B．圆与轴相交 C.若集合，则 D．已知点和点，则直线与线段无交点 ‎6.空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.“”是“圆与圆有公共点”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ）‎ ‎（1）若，，则；‎ ‎（2）若，，，，则；‎ ‎（3）如果，，，是异面直线，那么与相交；‎ ‎（4）若，，且，，则且.‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，、分别是、的中点，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知直线与圆相交于、两点，，且，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于.若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.底面半径为的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 ．‎ ‎14.在平面直角坐标系中，正方形的中心坐标为，其一边所在直线的方程为，则边所在直线的方程为 ．‎ ‎15.椭圆的右顶点和上顶点分别为和，右焦点为.若、、成等比数列，则该椭圆的离心率为 ．‎ ‎16.在正方体中，是上一点，若平面与平面所成锐二面角的正切值为，设三棱锥外接球的直径为，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，，，点在直线上.‎ ‎（1）若直线的斜率是直线的斜率的2倍，求直线的方程；‎ ‎（2）点关于轴对称点为，若以为直径的圆过点，求的坐标.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知双曲线的离心率为，经过第一、三象限的渐近线的斜率为，且.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设条件；条件.若是的必要不充分条件，求的取值范围.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面，底面是一直角梯形，，‎ ‎，，，.‎ ‎（1）若，为垂足，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知过点的动直线与抛物线相交于、两点.当直线的斜率是时，.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 如图，四边形是矩形，平面，，且，，.‎ ‎（1）过作平面平面，平面与、分别交于、，求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）为直线上一点，且平面平面，求的值.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积.‎ ‎试卷答案 一、选择题 ‎1.C 由题意得，则，即，解得.‎ ‎2.B 由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为、和，其面积为.‎ ‎3.D 由题意得，，.‎ ‎4.A 由已知得双曲线的渐近线的倾斜角为，则，得.‎ ‎5.D 易判断命题是假命题，若是假命题，则为假命题，选项、、均正确，对于，作图知直线与线段有交点，所以选.‎ ‎6.A .‎ ‎7.A 若圆与圆有公共点，则，解得或，故选.‎ ‎8.B 根据面面垂直的判定定理可知命题（1）正确；若，，，，则与平行或相交，故命题（2）错误；如果，，，是异面直线，那么与相交或平行，故命题（3）错误；由线面平行的性质定理可知命题（4）正确.故正确命题有个，故选.‎ ‎9.A 建立如图所示的空间直角坐标系，则，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 取，得.‎ 又,故点到平面的距离为.‎ ‎10.B ，直线与直线垂直，且圆心到直线的距离为，即，作图知，解得则.‎ ‎11.D 该几何体的直观图如图所示.连接，则该几何体由直三棱柱和三棱锥组合而成，其体积为.‎ ‎12.C 抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，又，、、三点共线，且是线段的中点，，，，则，，圆心到直线的距离为，所求的弦长为.‎ 二、填空题 ‎13. 设高为，则由题意得，解得.‎ ‎14. 直线上的点关于点对称点为，设直线的方程为，则直线过，解得，所以边所在直线的方程为 ‎.‎ ‎15. 、、，由得，，，则，解得或（舍去）.‎ ‎16. 过作交于，过作于，连接，则为平面与平面所成锐二面角的平面角，，，设，则，，则，，则三棱锥外接球的直径，.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）点在直线上，可设点，‎ 直线的斜率是直线的斜率的倍，‎ ‎，解得，‎ 则点，‎ 直线方程为，即.‎ ‎（2）点关于轴对称点，，‎ 以为直径的圆过点，‎ ‎，即，‎ 解得，即，‎ 圆的圆心坐标为.‎ ‎18.解：（1）由已知得:,,‎ ‎,‎ ‎,解得，‎ ‎，，即的取值范围.‎ ‎（2），‎ ‎，即，‎ 是的必要不充分条件，‎ 解得，即的取值范围为.‎ ‎19.解：法一：（1）过点作交于，连接，则与所成角即为与所成角.‎ 在中，，由得，‎ ‎..‎ ‎，..‎ 连接.在中，，，，，‎ ‎，，.‎ 又底面，，.‎ 平面.平面，.在中，.异面直线与所成角的余弦值为.‎ 法二：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，‎ ‎，，，，，.‎ 设与所成角为，‎ 则，‎ 异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）易知，，，则平面.平面的一个法向量为.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，.而，，由，.‎ 得令，.‎ 设向量与所成角为，‎ 则..平面与平面所成锐二面角的正切值为.‎ ‎20.解：（1）设，，当直线的斜率是时，的方程为，即.‎ 由得，‎ 又，，③‎ 由①②③及得：，，，‎ 即抛物线的方程为.‎ ‎（2）易知的斜率存在，且不为，设，的中点坐标为，‎ 由得，④‎ ‎，.‎ 线段的中垂线方程为，‎ 线段的中垂线在轴上的截距为.‎ 对于方程④，由得或，‎ ‎.‎ ‎21.解：（1）当时，平面平面.‎ 证明：连接，，，‎ ‎，，‎ 四边形是平行四边形，，‎ ‎，，，‎ ‎，平面平面，‎ 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系（如图），则，，，，，，，，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则令，则，，‎ ‎，‎ 设与平面所成角为，‎ 则.‎ ‎（2）设，，则，‎ ‎，，‎ 点的坐标为，‎ 平面，，‎ 欲使平面平面，只要，‎ ‎，，‎ ‎，得，‎ ‎.‎ ‎22.解：（1），，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 即，则，‎ ‎，，‎ 椭圆.‎ ‎（2）设直线的方程为.由得.①‎ 设、的坐标分别为、，的中点为，‎ 则，.‎ 因为是等腰的底边，所以.所以的斜率，解得.‎ 此时方程①为，解得，，所以，，所以.‎ 此时，点到直线的距离，‎ 所以的面积.‎