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- 2021-06-21 发布
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第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系
(限时:45分钟)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
位置关系
1,12,13
弦长与面积
2,3,4,5,6,8,9,10,11
轨迹问题
7,14
重点把关
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( A )
(A)相交 (B)相切
(C)相离 (D)不确定
解析:直线y=kx-k+1,即y-1=k(x-1),恒过点A(1,1).因为+<1,所以点A在椭圆内,故直线与椭圆相交,选A.
2.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是( C )
(A)2 (B) (C) (D)
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,
又p=1,所以x1+x2=3,
所以点C的横坐标是=.
3.直线y=x与椭圆+y2=1相交于A,B两点,F为右焦点,则△FAB的面积为( B )
(A)2 (B) (C) (D)
解析:由
解得A(,),B(-,-).
故|AB|=|-(-)|=.
而F(,0),点F到直线y=x的距离
d==.
故△FAB的面积S=|AB|×d
=××
=.
故选B.
4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( C )
(A)x=1 (B)x=2
(C)x=-1 (D)x=-2
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=-(x-),与抛物线方程联立,消去y整理得x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.根据中点坐标公式,有=3,p=2,因此抛物线的准线方程为x=-1.故选C.
5.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( B )
(A) (B)- (C)2 (D)-2
解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,y1+y2=4,
两式相减,得
+=0,
所以=-,
所以k==-.
故选B.
6.(2016·广西质检)过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为( A )
(A) (B) (C) (D)2
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作直线x=-2的垂线,垂足分别为D,E.
因为|PA|=|AB|,
所以又得x1=,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.选A.
7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是 .
解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+
|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+
|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).
答案:+=1(y≠0)
8.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|= .
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),
因为y2=4x,
所以抛物线的准线为x=-1,F(1,0),
又A到抛物线准线的距离为4,
所以xA+1=4,
所以xA=3,
因为xAxB==1,
所以xB=,
所以|AB|=xA+xB+p=3++2=.
答案:
9.(2016·湖南长沙一模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的顶点到直线l1:y=x的距离分别为,.
(1)求C1的标准方程;
(2)设平行于l1的直线l交C1于A,B两点,若以AB为直径的圆恰过坐标原点O,求直线l的方程.
解:(1)由直线l1的方程知,直线l1与两坐标轴的夹角均为45°,
故长轴端点到直线l1的距离为,短轴端点到直线l1的距离为,
求得a=2,b=1.
所以C1的标准方程为+y2=1.
(2)依题意设直线l:y=x+t(t≠0)
由得5x2+8tx+4t2-4=0,
判别式Δ=64t2-16×5(t2-1)>0解得-0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
可得|AB|=·=,
又圆F2的半径r=,
所以△AF2B的面积为|AB|·r==,
化简得17k4+k2-18=0,得k=±1,
所以r=,圆的方程为(x-1)2+y2=2.
13.(2016·山东青岛3月模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴长为4,点A,B,C在椭圆E上,其中点A是椭圆E的右顶点,直线BC过原点O,点B在第一象限,且|BC|=2|AB|,cos∠ABC=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)与x轴不垂直的直线l与圆x2+y2=1相切,且与椭圆E交于两个不同的点M,N,求△MON的面积的取值范围.
解:(1)因为椭圆E的长轴长为4,
所以a=2,
因为直线BC过原点O,B在第一象限,
且|BC|=2|AB|=2|BO|,
所以|BO|=|AB|,
因为cos∠ABO=,|AO|=a=2,
由余弦定理|OA|2=|BO|2+|AB|2-2|BO|·|AB|cos∠ABO
得|BO|=|AB|=,
所以B(,),
将其代入椭圆E:+=1得+=1⇒b=2,
所以椭圆E的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线l的方程为y=kx+m,
由方程组得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.
所以x1+x2=-,x1x2=,
则|MN|=·
=·
=
因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,
所以=1,
即m2=1+k2,
所以|MN|=,
则S△MON=|MN|×1=
令1+2k2=t,则t≥1,
S△MON=·
=
=
=.
因为t≥1,
所以0<≤1,
所以4,且||QA|-|QM||=|PM|=4<|MA|,
所以Q点的轨迹是以M,A为焦点的双曲线.
当A在圆M内,且与M不重合时,|MA|<4,且|QA|+|QM|=|MP|=4>|MA|,
所以Q点的轨迹是以M,A为焦点的椭圆.
当A在圆M上时,l过定点M,l与PM的交点Q就是点M,
所以点Q的轨迹就是一个点.
当A与M重合时,l与PM的交点Q就是PM的中点,所以点Q的轨迹就是圆.
综上所述,Q点的轨迹可能是①②④⑥四种.
(2)因为A(5,0)在圆M内,
由(1)知,点Q的轨迹是以M,A为焦点的椭圆,且|MA|=2=2c,|MP|=4=2a,
所以b=,
由椭圆的几何性质可知,Q为短轴端点时,S△MQA最大,
所以S△MQA的最大值为·2c·b=.