高中数学北师大版新教材必修一同步课件：7-3　频率与概率 36页

§3 　频率与概率 必备知识 · 自主学习 1. 概率的概念和性质 (1) 概率的定义 : 在相同条件下 , 大量重复进行同一试验时 , 随机事件 A 发生的频 率通常会在某个 _____ 附近摆动 , 即随机事件 A 发生的频率具有稳定性 . 这时 , 把 这个常数叫作随机事件 A 的概率 . (2) 记法 :____. (3) 范围 :___________. 导思 1. 概率有哪些性质 ? 2. 频率和概率有什么区别和联系 ? 常数 P(A) 0≤P(A)≤1 2. 频率与概率的关系 概率是可以通过 _____ 来“测量”的 , 或者说频率是概率的一个近似 . 概率从数 量上反映了一个事件发生的可能性的大小 . 频率 【 思考 】 (1) 向上抛掷一枚均匀的硬币 100 次 , 其中正面向上的有 53 次 , 则在本次试验中硬 币正面向上的频率是多少 ? 抛掷一枚硬币 , 正面向上的概率是多少 ? 提示 : 在本次试验中硬币正面向上的频率是 , 抛掷一枚硬币 , 正面向上的概率 是 . (2) 同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗 ? 提示 : 概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量 , 是一个确定的数 , 是客观存在的 , 与每次试验无关 ; 同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都是一样的 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 某地发行福利彩票 , 其回报率为 35%. 有人花了 100 元钱买彩票 , 一定会有 35 元的回报 . ( 　　 ) (2) 小张打靶 10 次 , 中了 8 次 , 因此小张中靶的概率是 0.8. ( 　　 ) (3) 随机事件 A 发生的概率随着试验次数的增加越来越精确 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 回报率是 35%, 说的是中奖的概率是 35%, 花 100 元钱买彩票 , 可能中奖 , 也可能不中奖 . (2)×. 本次试验中小张中靶的频率是 0.8, 但概率不一定是 0.8. (3)×. 概率是客观存在的 , 它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系 . 2.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 在天气预报中 , 有“降水概率预报” . 例如 , 预报“明天降水概率为 85%”, 这是指 ( 　　 ) A. 明天该地区有 85% 的地区降水 , 其他 15% 地区不降水 B. 明天该地区约有 85% 的时间降水 , 其他时间不降水 C. 气象台的专家中 , 有 85% 的人认为会降水 , 另外 15% 的专家认为不降水 D. 明天该地区降水的可能性为 85% 【 解析 】 选 D. 概率的本质含义是事件发生的可能性大小 , 因此 D 正确 . 3. 从某自动包装机包装的袋装食盐中 , 随机抽取 20 袋 , 测得各袋的质量分别为 ( 单 位 :g): 492 　 496 　 494 　 495 　 498 　 497 　 501 　 502 　 504 　 496 497 　 503 　 506 　 508 　 507 　 492 　 496 　 500 　 501 　 499 根据频率分布估计总体分布的原理 , 该自动包装机包装的袋装食盐的质量在 497.5 g ～ 501.5 g 的概率约为 　　　　 .  【 解析 】 袋装食盐质量在 497.5 g ～ 501.5 g 的共有 5 袋 , 所以其概率约为 =0.25. 答案 : 0.25 关键能力 · 合作学习 类型一　对概率的概念的理解 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 由生物学知道生男、生女的概率均约为 0.5, 一对夫妇先后生两个小孩 , 则一定 为一男一女 B. 一次摸奖活动中 , 中奖概率为 0.2, 则摸 5 张票 , 一定有一张中奖 C. 一枚骰子掷一次得到 2 的概率是 , 则掷 6 次一定会出现一次 2 D.10 张票中有 1 张奖票 ,10 人去摸 , 无论谁先摸 , 摸到奖票的概率都是 0.1 2. 抛掷一枚质地均匀的硬币 , 如果连续抛掷 1 000 次 , 那么第 999 次出现正面朝上 的概率是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【 解析 】 1. 选 D. 一对夫妇先后生两个小孩可能是 ( 男 , 男 ),( 男 , 女 ),( 女 , 男 ),( 女 , 女 ), 所以 A 不正确 ; 中奖概率为 0.2 是说中奖的可能性为 0.2, 当摸 5 张票时 , 可能都 中奖 , 也可能中一张、两张、三张、四张 , 或者都不中奖 , 所以 B 不正确 ;C 错误 , 概 率不等同于频率 ;10 张票中有 1 张奖票 ,10 人去摸 , 每人摸到的可能性是相同的 , 即 无论谁先摸 , 摸到奖票的概率都是 0.1,D 正确 . 2. 选 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币 , 只考虑第 999 次 , 有两种结果 : 正面朝上 , 反面朝 上 , 每种结果等可能出现 , 故所求概率为 . 【 解题策略 】 从三个方面理解概率的意义 (1) 概率是随机事件发生可能性大小的度量 , 是随机事件 A 的本质属性 , 随机事件 A 发生的概率是大量重复试验中事件 A 发生的频率的近似值 . (2) 由概率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试验中发生与否是随机的 , 但随机中含有规律性 , 而概率就是其规律性在数量上的反映 . (3) 正确理解概率的意义 , 要清楚概率与频率的区别与联系 . 对具体的问题要从全局和整体上去看待 , 而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件 . 类型二　利用频率估计概率 ( 数据分析 ) 【 典例 】 下面是某批乒乓球质量检查结果表 : 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品出 现的频率 (1) 在上表中填上优等品出现的频率 ; (2) 估计该批乒乓球优等品的概率是多少 ? 【 思路导引 】 每次试验的优等品的数量除以所抽取的乒乓球的总数可得本次试验优等品出现的频率 , 然后利用 6 次试验所得频率值估计概率值 . 【 解析 】 (1) 如表所示 : 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品出 现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 (2) 从表中数据可以看出 , 这批乒乓球优等品的概率约是 0.95. 【 解题策略 】 如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次 , 则当试验的次数 n 很大时 , 可以将事件 A 发生的频率 作为事件 A 的概率的近似值 . 【 跟踪训练 】 某书业公司对本公司某教辅材料的写作风格进行了 5 次“读者问卷调查” , 结果如表 : 被调查人数 n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000 满意人数 m 999 998 1 002 1 002 1 000 满意频率 (1) 计算表中的各个频率 ; (2) 读者对该教辅材料满意的概率约是多少 ? 【 解析 】 (1) 表中各个频率依次是 0.998,0.998,0.998,0.999,1. (2) 由第 (1) 问的结果 , 可知在 5 次 “ 读者问卷调查 ” 中 , 读者对该教辅材料满意的概率约是 0.998. 类型三　概率的简单应用 ( 数据分析、数学运算 ) 【 典例 】 某超市计划按月订购一种酸奶 , 每天进货量相同 , 进货成本每瓶 4 元 , 售价每瓶 6 元 , 未售出的酸奶降价处理 , 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验 , 每天需求量与当天最高气温 ( 单位 :℃) 有关 . 如果最高气温不低于 25, 需求量为 500 瓶 ; 如果最高气温位于区间 [20,25), 需求量为 300 瓶 ; 如果最高气温低于 20, 需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划 , 统计了前三年六月份 各天的最高气温数据 , 得下面的频数分布表 : 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 . (1) 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 ; (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y( 单位 : 元 ). 当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时 , 写出 Y 的所有可能值 , 并估计 Y 大于零的概率 . 最高 气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 【 思路导引 】 (1) 计算频数→计算频率→估计概率 (2) 计算 Y 的所有可能值→计算相应的频数和频率→估计概率 【 解析 】 (1) 这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶 , 当且仅当最高气温低于 25, 由 题干中表格数据知 , 最高气温低于 25 的频率为 , 所以这种酸奶一天的 需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2) 当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时 , 若最高气温不低于 25, 则 Y=6×450-4×450=900; 若最高气温位于区间 [20,25), 则 Y=6×300+2(450-300)-4×450=300; 若最高气温 低于 20, 则 Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100. 所以 ,Y 的所有可能值为 900,300,-100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20, 由题干中表格数据知 , 最高气温不低于 20 的 频率为 , 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 【 变式探究 】 1. 估计六月份这种酸奶一天的需求量不低于 300 瓶的概率 . 【 解析 】 这种酸奶一天的需求量不低于 300 瓶 , 当且仅当最高气温不低于 20, 由题 干中表格数据知 , 最高气温不低于 20 的频率为 , 所以这种酸奶一天的需求量不低于 300 瓶的概率的估计值为 0.8. 2. 把本例 (2) 中“六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶”改为“六月份这种酸 奶一天的进货量为 300 瓶” , 写出 Y 的所有可能值 , 并估计 Y 大于 500 的概率 . 【 解析 】 当这种酸奶一天的进货量为 300 瓶时 , 若最高气温不低于 20, 则 Y=6×300-4×300=600; 若最高气温低于 20, 则 Y=6×200+2(300-200)-4×300=200. 所以 Y 的所有可能值为 600,200. Y 大于 500 当且仅当最高气温不低于 20, 由题干中表格数据知 , 最高气温不低于 20 的频率为 , 因此 Y 大于 500 的概率的估计值为 0.8. 【 解题策略 】 用频率估计概率的步骤 (1) 进行大量的随机试验得频数 . (2) 由频率计算公式得频率 . (3) 由频率与概率的关系 , 估计概率值 . 【 跟踪训练 】 (2020· 全国卷 Ⅰ) 某厂接受了一项加工业务 , 加工出来的产品 ( 单位 : 件 ) 按标准分为 A,B,C,D 四个等级 . 加工业务约定 : 对于 A 级品、 B 级品、 C 级品 , 厂家每件分别收取加工费 90 元 ,50 元 ,20 元 ; 对于 D 级品 , 厂家每件要赔偿原料损失费 50 元 . 该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务 . 甲分厂加工成本费为 25 元 / 件 , 乙分厂加工成本费为 20 元 / 件 . 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务 , 在两个分厂各试加工了 100 件这种产品 , 并统计了这些产品的等级 , 整理如下 : 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率 ; (2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润 , 以平均利润为依据 , 厂家应选哪个分厂承接加工业务 ? 【 解析 】 (1) 由试加工产品等级的频数分布表知 , 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 =0.4; 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 =0.28. (2) 由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润 65 25 -5 -75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 . 由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润 70 30 0 -70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 . 比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润 , 应选甲分厂承接加工业务 . 课堂检测 · 素养达标 1.“ 某彩票的中奖概率为 ”意味着 ( 　　 ) A. 买 100 张彩票就一定能中奖 B. 买 100 张彩票能中一次奖 C. 买 100 张彩票一次奖也不中 D. 购买彩票中奖的可能性为 【 解析 】 选 D. 概率是描述事件发生的可能性大小 . 2. 事件 A 发生的概率接近于 0, 则 ( 　　 ) A. 事件 A 不可能发生 B. 事件 A 也可能发生 C. 事件 A 一定发生 D. 事件 A 发生的可能性很大 【 解析 】 选 B. 由概率的意义可知事件 A 也可能发生 . 3. 从一批准备出厂的电视机中随机抽取 10 台进行质量检查 , 其中有 1 台是次品 , 若 用 C 表示抽到次品这一事件 , 则对 C 的说法正确的是 ( 　　 ) A. 概率为 B. 频率为 C. 概率接近 D. 每抽 10 台电视机 , 必有 1 台次品 【 解析 】 选 B. 因为只有 1 次试验 , 不能用频率去估计概率 , 所以只能说频率为 . 4. 在一次考试中 , 某班学生的及格率是 80%, 这里所说的 80% 是 　　　　 ( 填“概率”或“频率” ).  【 解析 】 80% 是及格人数与全体人数的商 , 是频率 , 而不是概率 . 答案 : 频率 5.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 在一次掷硬币试验中 , 掷 100 次 , 其中有 48 次正面朝上 , 设反面朝上为事件 A, 则事件 A 出现的频率为 　　　　 .  【 解析 】 . 答案 : 0.52