数学文卷·2017届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考（2017 10页

‎2017届高三毕业班联考（一）‎ 文科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知复数（为虚数单位），则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图1所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为 ‎，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如右图所示，则该“堑堵”的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知是等比数列，则的值构成的集合是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.“”是“使成立”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.执行如图3所示的程序框图，输出的值为 ‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎8.若实数满足，则的最大值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限内的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数，若对函数，当时总有三个零点，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.在中，分别是的重心和外心，且，则的形状是 ‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 ‎ ‎ C. 直角三角形 D.上述三种情况都有可能 ‎12.设向量，定义一种向量运算，已知向量，点在的图象上运动，点是函数图象上的动点，且满足，（其中O是坐标原点），则函数的值域是 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.向面积为S的平行四边形ABCD内任投一点M,则的面积小于的概率为 .‎ ‎14.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 .‎ ‎15.已知函数，若正实数满足，则的最小值为 .（写出所有正确结论的序号）‎ ‎16.如果一个实数数列满足条件：（为常数，），则称这一数列为“方等差数列”，为“方等差”.给出下列关于某个方等差数列的结论：①对于任意的首项，若，则这一数列必为有穷数列；②当时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为，方公差为，则可以是这一数列中的一项；⑤若这一数列的首项为，第三项为，则这一数列的第二项必为.其中正确的结论序号为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分12分）已知函数 ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求方程的解集.‎ ‎18.（本题满分12分）诚信是立身之本，道德之基.某学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”.为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1： ‎ ‎（1）计算表1中八周水站诚信度的平均数；‎ ‎ （2）从表1水站诚信度超过91%的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；‎ ‎ （3）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“诚信为本”主题教育活动，并得到活动后一个周期的水站诚信度数据，如表2： ‎ 请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由.‎ ‎19.（本题满分12分）如图4所示，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面相互垂直，平面，且.‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）若，求异面直线所成角的正弦值.‎ ‎20.（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别是，点在椭圆上，且 ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）设点关于轴的对称点为是椭圆上不与重合的任意一点，为原点，若直线和与轴分别相交于点，证明：为定值.‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数 ‎ （1）求曲线在其与轴的交点处的切线方程；‎ ‎ （2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）若关于的方程恰有两个不同的实根，且，‎ 求证：.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 ‎ 在直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若点的极坐标为，求中点到的距离.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，且 ‎（1）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围.‎ ‎2017届高中毕业班联考试卷（一）‎ 文科数学参考答案 二．填空题：‎ ‎13. 14. . 15. 16.①③‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解：（1）由已知 …………2分 ‎ ……………………………………………4分 ‎ ‎ ……………………………………………6分 ‎ ‎（2）由（1）得……………………………………………7分 ‎ 或………………………………………9分 ‎ 或……………………………………………11分 ‎ 所以方程的解集为…………12分 ‎18.解：（1）八周诚信水站诚信度的平均数为 ‎ …………3分 ‎ （2）表1中超过91％的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为 ‎ 第二个周期有2个，分别记为从这5个数据中任取2个共有10种情况：‎ ‎ ‎ 其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况。‎ ‎ 设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A，‎ 则………………………………………………………………8分 ‎ （3）有效果………………………………………………………………10分 ‎ 理由为：（满分2分，答对 ①得1分，后3条答对任意一条得1分）‎ ‎ ① 第三个周期的四周水站诚信度呈上升趋势；‎ ‎ ②第三个周期水站诚信度的平均数为92％高于第二个周期水站诚信度 的平均数为87.75％;‎ ‎ ③第三个周期水站诚信度的平均数为92％高于第一、二个周期水站诚信度 的平均数为90.5％;‎ ④12周整体诚信度的平均数为91％高于前两个周期水站诚信度的平均数90.5％;‎ ‎…………………………………………………………12分 19. 解：（1）如图，过点作于，连接．∴，∴EH=FD, …2分 又平面BEC平面ABCD,∴EH平面ABCD,已知FD平面ABCD,∴EH//FD……………4分 ‎∴四边形为平行四边形．∴EF//HD,又HD在平面ABCD内，EF不在平面ABCD内，‎ ‎∴平面．…………………………………………………………6分 ‎ ‎（2）由（1）可得，又所以就是所成的角……8分 ‎ 设=，在中，由余弦定理得：，‎ ， …………………………………………………………6分 又由正弦定理得 … ………………………12分 ‎ ‎20.解：（1）由椭圆的定义，得，．………………………2分 ‎ 将点的坐标代入，得，解得．…………………4分 ‎ 所以，椭圆的方程是． …………………………………5分 ‎ （2） 依题意，得．设，‎ ‎ 则有，，．…………………………………6分 ‎ 直线的方程为， ……………………………7分 ‎ 令，得，所以． ………………8分 ‎ 直线的方程为，………………………………9分 ‎ 令，得，所以．…………………10分 ‎ 所以 ‎ 所以为定值． ………………………………12分 ‎ 21. 解：（1）令，得.所以，函数零点为.即切点为……1分 ‎ ‎ ，所以， ……………………2分 ‎ 所以曲线在其与x轴交点处的切线方程为 ，即. …………………………………3分 ‎ （2） 由函数得定义域为.…………………………………4分 ‎ ‎ 令，得. 所以，在区间上，；‎ ‎ 在区间上，.……………………5分 ‎ 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.………6分 ‎ ‎（3）由（1）可知在上，在上.…………7分 ‎ ‎ 由（2）结论可知，函数在处取得极大值，………………8分 ‎ 所以，方程有两个不同的实根时，‎ 必有，且， …………………………………9分 ‎ 法1：所以， …………………………………10分 ‎ 由在上单调递减可知，………………………………11分 ‎ 所以. …………………………………12分 ‎ 法2：由可得，两个方程同解.‎ 设，则，‎ 时，由得， …………………………………10分 ‎ 所以在区间上的情况如下：‎ ‎ ‎0‎ ‎ 极大 ‎ 所以，, …………………………………11分 ‎ ‎ 所以. …………………………………12分 ‎ 22. 解： (1) 曲线C：的直角坐标方程为， ‎ 将 代入曲线C：，得： ……………………3分 ‎ ‎ 设点、点所对应的参数分别为、则 ‎ |AB|= …………………6分 ‎ (2) 点P对应的直角坐标为(0,1)在直线上，AB中点M对应的参数为,‎ ‎ 所以M点坐标为，点M到点P的距离为 …………………10分 ‎23.解（1），由基本不等式得:, ………2分 ‎ 当且仅当时等号成立，由恒成立， ……………………4分 ‎ ‎（2）‎ ‎ ………………………………………6分 故要使恒成立，则………………………7分 ‎ 当时，不等式化为：，解得 当时，不等式化为：，解得 当时，不等式化为：，解得 故的取值范围 …………………………………………………………10分 ‎