热点10 等差数列与等比数列-2017年高考数学二轮核心考点总动员 14页

‎2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇 热点10 等差数列与等比数列 ‎【热点考法】本热点考题形式为选择题、填空题、或解答题，主要考查等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式和前n项和公式，考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，考查运算求解能力、函数与方程思想，难度为基础题或中等难度，分值为5至12分.‎ ‎【热点考向】‎ 考向一 等差数列与等比数列的基本量的求解 ‎【解决法宝】等差（比）数列的通项公式、前项和公式中一共包含（或）与这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中和（或）是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．注意方程思想的应用．讨论等差数列前项和的最值时，不要忽视为整数的条件和的情形．等比数列前项和公式时，注意分类讨论．‎ 例1．【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），7】公差不为0的等差数列的部分项构成等比数列，且，，，则为（ ）‎ A．20 B．22 C．24 D．28‎ ‎【分析】利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解 . ‎ 考向二 判断和证明等差数列、等比数列 ‎【解决法宝】1.等差数列的判定：‎ ‎①定义法：（为常数）(n∈N*){}是等差数列；‎ ‎②等差中项法：{}是等差数列；‎ ‎③通项公式法：（为常数）{}是等差数列；‎ ‎④前n项和公式法：（为常数）{}是等差数列．其中用来证明方法的有①②．‎ ‎2.等比数列的判定：‎ ‎①定义法：（）{}是等比数列；‎ ‎②等比中项法：（）{}是等比数列；‎ ‎③通项公式法：{}是等比数列；‎ ‎④前n项和公式法：{}是等比数列，其中用来证明方法的有①②．‎ 例2．【河南八市重点高中2017届高三上学期第一次测评，18】（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足. （1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若是数列的前项和，求证：.‎ ‎【分析】(1)令先求出，当时，由可得，两边同减去可得，从而可证数列是等比数列；先求出数列的通项公式，即可求数列的通项公式；（2）由，所以，用裂项相消法求和求出，放缩可证不等式成立.‎ ‎【解析】（1）当时，，解得，当时，，即 ‎，即，因为，故，所以 是首项为-2，公比为2的等比数列，所以…………………………6分 ‎（2）由（1）知，所以，‎ 所以…………12分 考向三 等差数列与等比数列的性质 ‎【解决法宝】条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差数列与等比数列性质的类比、联系与区别．等差数列（等比数列）中若出现的是通项与数列和的关系，则优先考虑：（1）等差数列性质：①已知，，则；②；（2）等比数列性质：①已知，，则；②；利用性质可简化计算.‎ 例3．【江西南昌市2017届摸底考试，11】设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：（1）；（2）；（3）是数列中的最大项；（4）使成立的最大自然数等于4031，其中正确的结论为（ ）‎ A．（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）‎ ‎【分析】利用等比数列的性质即可判断各结论的正误.‎ 例4 【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，10】已知等差数列的前 项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质与前n项和公式，即可求出结果.‎ ‎【解析】＝，故选A．‎ 考向四 与等数列、等差数列有关的综合问题 ‎【解决法宝】1.新定义数列问题，认真阅读定义，利用新定义将问题转化为熟悉的数列问题，再利用熟悉的数列方法，处理之,对新概念的理解是解题的关键.‎ 2. 等比数列与等差数列的应用问题，认真阅读试题，将应用题化为等比或等差数列问题，再利用等比数列或等差数列的有关知识和方法解决之.‎ 3. 对等比数列与等差数列的综合问题，利用等比数列与等差数列的有关知识方法，转化为函数问题或不等式问题，再利用相关的数学知识和方法求解.‎ 例5【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，17】（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的.‎ ‎（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）;‎ ‎（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）.‎ ‎【分析】(1)由题意可知，从2016年开始到2025年每年人口数成等差数列无增长，从2026年开始到2035年每年人口数组成一个等比数列，由等差数列与等比数列的通项公式写出即可；(2)求出从2016年到2035年的人口总数，求其平均值即可.‎ ‎【解析】（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎ ‎ ‎ 当 时，数列是以公比为 的等比数列，又 ‎ ‎ ‎ 因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万）的表达式为 ‎ ‎ ‎（2）设为数列的前项和，则从 年到年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得： 万 新政策实施到年年人口均值为 ‎ 故到年不需要调整政策． ‎ ‎【热点集训】‎ 一、选择题：‎ ‎1．【福建省泉州市2016届高三下学期3月质量检查】《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布 A.30尺 B.90尺 C.150尺 D.180尺 ‎【答案】B ‎【解析】问题模型为一等差数列，首项5，末项1，项数30，其和为，选B.‎ ‎2.【河南百校联考2017届高三9月质检，3】在等差数列中，，公差为，则“”是“成等比数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎3．【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，4】已知等比数列中，，，则（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，所以＝＝，故选B．‎ ‎4．【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，4】等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）‎ A．29 B．31 C．33 D．36‎ ‎【答案】B ‎5.【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为（ ）‎ A. 　　 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，不妨设，，则公差，其中，因此，，即当时，取得最大值. 故选B.‎ ‎6.【湖北黄石2017届高三9月调研，7】设等差数列的前项和为，且 ‎，则（ ）‎ A．52 B．78 C．104 D．208‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C.‎ ‎7．【山东潍坊2017届高三上学期期中，6】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（ ）‎ A．60里 B．48里 C.36里 D．24里 ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C.‎ ‎ 8．【河北衡水中学2017届高三摸底联考，7】已知为等差数列，为其前项和，公差为，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，所以，故选B.‎ ‎9．【河北唐山市2017届高三摸底考试，3】在等比数列中，，则（ ）‎ A．255 B．256 C．511 D．512‎ ‎【答案】. ‎ ‎10.【北京市石景山区2016届高三第一学期期末】已知数列是等差数列，，则前项和中最大的是（ ）‎ A. B.或 C.或 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知，，由得，所以，，，所以是中的最大值．故选B．‎ ‎11.【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，3】等比数列中，已知对任意正整数，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎12.【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，3】已知等比数列共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】奇数项之积为，偶数项之积为，得，，则，则，故选C.‎ ‎13.【山东省济南一中2016届高三上学期期中】已知等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 15．【河南百校联考2017届高三9月质检，11】在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为（ ）‎ A．12 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，则，求导得导函数零点，为唯一一个极小值点，也是最小值点，所以时取最小值为，选C.‎ ‎16．【北京市朝阳区2016届高三第一学期期末】在各项均为正数的等比数列中，若 ‎，则的最小值是 ． ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是，故填：.‎ ‎17.【安徽百校论坛2017届高三上学期第2联考，16】已知函数满足，且，则数列的前20项和为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，即，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，则，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，其前项的和为.‎ ‎18.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，8】已知数列满足若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎19.【北京市海淀区2016届高三第一学期期中】对于数列 ‎，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ‎ ‎⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t的最大值为　　　 ； ‎ ‎⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a的取值范围是　　　　　‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎20.【四川巴中市2017届“零诊”，17】(本小题满分12分)在等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，则，∴，‎ ‎∴，解得，∴数列的通项公式为；‎ （2） ‎∵数列是首项为，公比为的等比数列，∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎21.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，17】（本小题满分12分）‎ 设为等差数列的前项和，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）an＝2n；（Ⅱ）＋2n．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设公差为d，依题意有 解得，a1＝d＝2．所以，an＝2n． ‎ ‎（Ⅱ）bn＝＋＝＋＝－＋2，‎ Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋2n＝＋2n ‎ ‎ 22．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，17】（本小题满分12分）‎ 设数列是公差大于0的等差数列，为数列的前项和.已知，且，，构成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，设是数列的前项和，证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析 ‎【解析】（1）设数列的公差为，则.‎ ‎∵，∴，即.……………………………………………………………2分 又，，成等比数列，‎ ‎∴，解得，.………………………………………………………4分 ‎∴.……………………………………………………………………………………5分 ‎（2）由，得.…………………………………………………………6分 则，………………………………………………………………7分 所以，………………………………………8分 两式相减得：‎ ‎，………………………………………………………………10分 故，……………………………………………………………………………………………11分 因为，所以.……………………………………………………………………12分 ‎23.【河南八市重点高中2017届高三上学期第一次测评，18】（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足. （1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若是数列的前项和，求证：.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；；(2)见解析.‎ ‎ ‎