考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件-2018届高考数学（理）30个黄金考点精析精训 17页

‎2018届全品教学网高三数学30个黄金考点精析精训 考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎【考点剖析】‎ ‎1.最新考试说明：‎ ‎（1）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系．‎ ‎（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.‎ ‎2.命题方向预测：‎ ‎（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点.‎ ‎(2)题型主要以选择题、填空题的形式出现． ‎ ‎（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识.‎ ‎3.课本结论总结：‎ ‎（1）命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.‎ ‎（2）四种命题及其关系 ‎①四种命题及其关系 ‎②四种命题的真假关系 逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.‎ ‎(3)充分条件与必要条件 ‎①若，则是充分条件，是的必要条件.‎ ‎②若，且，则是充要条件 ‎4.名师二级结论：‎ ‎(1) 常见结论的否定形式 结论 是 都是 大于 小于 至少一个 至多一个 至少个 至多有个 对所有，成立 或 且 对任何，不成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少两个 至多有（）个 至少有（）个 存在某，不成立 且 或 存在某，成立 ‎ ‎ ‎(2)充要条件判定方法 ‎ ①定义法：若，则是充分条件；若，则是必要条件；若，且，则是充要条件.‎ ‎②集合法：若满足条件的集合为A，满足条件的集合为B，若AB，则是的充分不必要条件；若BA，则是必要不充分条件；若A=B则，是 充要条件。‎ 对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.‎ ③利用原命题与逆命题的真假判断 若原命题为“若则”，则有如下结论： ‎ ‎（1）若原命题为真逆命题为假，则是的充分不必要条件；‎ ‎（2）若原命题为假逆命题为真，则是的必要不充分条件；‎ ‎（3）若原命题与逆命题都为真，则是的充要条件；‎ ‎（4）若原命题与逆命题都为假，则是的既不充分也不必要条件 ‎5.课本经典习题：【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎(1)新课标A版第8 页习题1.1A组，第2题 ‎【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点，也是一个常考点.‎ ‎(2)新课标A版第12页习题1.2A组第3题 ‎【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性.‎ ‎6.考点交汇展示：‎ ‎(1)与集合交汇【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 例1设，是两个集合，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，，反之，，故为充要条件，选C.‎ ‎(2)与不等式交汇 例2【2017天津，文2】设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】‎ ‎（3）与函数交汇 例3【2017天津，理4】设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.‎ ‎（4）与平面向量结合 ‎ 例4设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由得，，得；反之不成立，故是的必要而不充分条件．‎ ‎（5）与复数交汇 例5已知是虚数单位，，则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】(a+bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，于是a2－b2＝0，2ab＝2解得a＝b＝1或a＝b＝－1 ,故选A.‎ ‎（6）与立体几何交汇 例6【2016高考山东卷】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎ (7)与数列交汇 例7【2016高考天津卷】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（ ）‎ ‎（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 ‎（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.‎ ‎(8)与平面解析几何交汇 例8【浙江省温州市2017届高三8月模拟】直线：与直线：，则“”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】或，故是充分不必要条件，故选A.‎ ‎【考点分类】‎ 热点一 命题及其关系 ‎1.原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） ‎ ‎（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假 ‎【答案】‎ ‎2.【2017北京卷】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________． ‎ ‎【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）‎ ‎【方法规律】‎ ‎1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。‎ ‎2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．‎ ‎3. 在书写命题的四种形式时，首先要将命题转化成“若p，则q”的形式，然后严格按定义书写，注意正确应用常见词语的否定.‎ ‎4.在判断四种形式的命题真假时，先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换．‎ ‎2.在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假．‎ ‎3.在书写否命题题与您否命题时，要特别注意条件的否定和结论的否定即为条件的反面和结论的反面.‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1.区分否命题与命题：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．‎ ‎2.特别要注意含有逻辑连结词的否定形式.‎ 例 写出命题“若，则，全为0”的否命题.‎ ‎【错解】若，则，全不为0.‎ ‎【错因分析】①将命题否定与否命题混淆；②命题结论否定错误, “，全为0”的否定应为“，不全为0”，而不是“，全为0”.‎ ‎【预防措施】①要正确区分命题的否定与否命题：写一个命题的否命题，既要否定条件又要否定结论，只否定结论，得到的命题是命题的否定；②对条件和结论的否定要正确，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，条件和结论的否定就是分别找条件和结论的对立面，抓住这一点就可以避免类似的错误.‎ ‎【正解】若，则，不全为0.‎ 热点二 充分条件与必要条件【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎1.“”是“”的（　　 ）‎ A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，因此选B.‎ ‎2直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）‎ 充分而不必要条件 必要而不充分条件 ‎ 充分必要条件 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.‎ ‎3.设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎【答案】C ‎4.设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）‎ 充分且不必要条件 必要且不充分条件 ‎ 充分必要条件 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D.‎ ‎【解析】当a1<0，q>1时，数列{an}递减；当a1<0，数列{an}递增时，0β”是“cosα>cosβ”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. ‎ 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】因为当α=π‎3‎>β=‎π‎6‎时，cosα>cosβ不成立；当cosπ‎6‎>cosπ‎3‎时，α>β不成立，所以“α>β”是“cosα>cosβ”的既不充分也不必要条件，故选D.‎ ‎3.【2017四川成都】已知数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【解析】若是递增数列一定有，成立，当时，满足，而不是递增数列，所以“”是“数列为递增数列”必要不充分条件，故选C.‎ ‎4.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初】若，使成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. 且 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A中，不满足 ；C中，不满足 ；B中，不满足 ；D中由可得，但由得不到，如．选D. ‎ ‎5.以下四个命题中，真命题的个数为 ( )‎ ‎①集合的真子集的个数为；‎ ‎②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；‎ ‎③设，若，则且； ‎ ‎④设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列．‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，集合的真子集的个数为24-1=15，∴①对；‎ ‎ 对于②，平面内两条直线的夹角不大于直角，而方向向量的夹角可以为钝角，故②错；‎ ‎ 对于③，∵12+i2=0但1与i都不为0，故③错；‎ 对于④，若是等差数列，可设Sn=S1+(n-1)d，a1=S1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1= d，‎ 当且仅当S1=d时是常数列，故④错.‎ ‎6.“”是“”的（ ）‎ A. ‎ 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，即，因而“”是“”的必要而不充分条件 ‎ ‎7.原命题 ：“设＞”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（　）个．‎ A．0　　 　B．1　　 　 C．2　 　　　D．4‎ ‎【答案】C ‎8.“”是“直线与直线平行”的（ ）‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当时，直线与直线可能平行或重合；若直线与直线平行，则故选 ‎9.已知，如果是的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，，即，解得或，由是的充分不必要条件知，，故选B.‎ ‎10.“实数”是“复数（为虚数单位）的模为”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件又不必要条件【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】‎ ‎11.中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，由余弦定理得，，故，即，所以是等腰三角形，反之，当是等腰三角形时，不一定有，故“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件．‎ ‎12.若且，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由知，‎ ‎，，‎ 所以 当时，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选 ‎13.“”是“直线和直线互相垂直”的 （ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】因为时，两直线分别是直线和直线两直线的斜率分别是1和-1.所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线和直线互相垂直则.所以必要性成立.故选C.‎ ‎14.下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号)‎ ‎①对于函数，若，使得，则函数关于直线对称；‎ ‎②函数有2个零点；‎ ‎③若关于的不等式的解集为，则；‎ ‎④已知随机变量服从正态分布且，则；‎ ‎⑤等比数列的前项和为，已知，则 ‎【答案】③④⑤‎ ‎【解析】①中，，使得，只是表示在两个特殊值处的函数值相等，不一定关于直线对称，故①错；‎ ‎②中，当时，或，又因不在定义域范围内，所以函数有一个零点，为故②错；全品教学网