高中数学选修2-3教学课件：离散型随机变量的期望与方差(一)上课用 22页

设离散型随机变量 可能取的值为 为随机变量 的 概率分布列 ，简称为 的 分布列 . 取每一个值 的概率 则称表 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律 . 但在实际应用中，我们还常常希望 直接通过数字 来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有 期望与方差 . 思考下面的问题 : 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 某射手射击所得环数 的分布列如下： 在 100 次射击之前 , 试估计该射手 100 次射击的平均环数 . 分析： 平均环数 = 总环数  100 所以 , 总环数约等于 （ 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100 . 故 100 次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32. 一般地 , 一般地： 对任一射手 , 若已知他的所得环数 的分布列，即已 知 则可以预计他任意 n 次射击的 平均环数是 记为 我们称 为此射手射击所得环数的 期望 ，它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。 更一般地 关于 平均的意义 , 结论一证明 结论二证明 数学期望的定义 : 一般地，随机变量 的概率分布列为 则称 为 的 数学期望 或均值，简称为 期望 . 它 反映了离散型随机变量取值的平均水平 . 结论 1 ： 则 ; 结论 2 ：若 ξ~ B ( n ， p ) ，则 E ξ= np. 练习一 ( 巩固定义 ) 所以， 的分布列为 结论 1 ： 则 练习一 ( 巩固定义 ) 练习二 1 、随机变量 ξ 的分布列是 ξ 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 (1) 则 Eξ= . 2 、随机变量 ξ 的分布列是 2.4 (2) 若 η=2ξ+1 ，则 Eη= . 5.8 ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 Eξ=7.5, 则 a = b = . 0.4 0.1 3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，则他罚球 1 次的得分 ξ 的期望为 ． 1. 一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取 2 个，则其中含红球个数的数学期望是 . 1.2 2. （ 1 ）若 E(ξ)= 4.5 , 则 E( － ξ)= . （ 2 ） E(ξ － Eξ)= . 0.7 ( 详细解答过程见课本例 1) -4.5 0 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望 , 那么一般地 , 若 ξ~ B ( n ， p ) ，则 E ξ=? ∴ E ξ =0×C n 0 p 0 q n + 1×C n 1 p 1 q n-1 + 2×C n 2 p 2 q n-2 + 　　　 …+ k ×C n k p k q n-k +…+ n ×C n n p n q 0 ∵ P (ξ= k )= C n k p k q n-k 证明： = np (C n-1 0 p 0 q n-1 + C n-1 1 p 1 q n-2 + … + 　 　 C n-1 k-1 p k-1 q (n-1)-(k-1) +…+ C n-1 n-1 p n-1 q 0 ) = np ( p + q ) n-1 = np ξ 0 1 … k … n P C n 0 p 0 q n C n 1 p 1 q n-1 … C n k p k q n-k … C n n p n q 0 (∵ k C n k = n C n-1 k-1 ) 结论 2 ：若 ξ~ B ( n ， p ) ，则 E ξ= np 期望在生活中的应用广泛 , 见课本第 72 页例 2. 例 3 不一定 , 其含义是在多次类似的测试中 , 他的平均成绩大约是 90 分 思考 1 思考 2 例 2 . 一次单元测验由 20 个选择题构成 , 每个选择题有 4 个选项 , 其中有且仅有一个选项正确 , 每题选对得 5 分 , 不选或选错不得分 , 满分 100 分 . 学生甲选对任一题的概率为 0.9, 学生乙则在测验中对每题都从 4 个选项中随机地选择一个 . 求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值 . 解 : 设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是 ξ 和 η , 则 ξ ～ B(20 , 0.9) , η ～ B(20 , 0.25) ， 所以 Eξ ＝ 20×0.9 ＝ 18 ， Eη ＝ 20×0.25 ＝ 5 ． 由于答对每题得 5 分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是 5ξ 和 5η. 这样，他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5ξ) ＝ 5Eξ ＝ 5×18 ＝ 90 ， E(5η) ＝ 5Eη ＝ 5×5 ＝ 25 ． 思考 : 学生甲在这次测试中的成绩一定会是 90 分吗 ? 他的均值为 90 分的含义是什么 ? 思考 1. 某商场的促销决策： 统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利 2 万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利 10 万元；如遇下雨可则损失 4 万元。 6 月 19 日气象预报端午节下雨的概率为 40% ，商场应选择哪种促销方式？ 解 : 因为商场内的促销活动可获效益 2 万元 设商场外的促销活动可获效益  万元 , 则  的分布列 P  10 － 4 0.6 0.4 所以 E =10×0.6 ＋ (-4) ×0.4=4.4 因为 4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销 . 思考 2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现 1 ，你赢 8 元；出现 2 或 3 或 4 ，你输 3 元；出现 5 或 6 ，不输不赢．这场 赌博 对你是否有利 ? 对你不利 ! 劝君莫参加赌博 . 1. 一次英语单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分，学生甲选对任一题的概率为 0.9 ，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩 的期望。 巩固应用 2. 决策问题： 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25 ，有大洪水的概率为 0.01 ，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60000 元，遇到小洪水时要损失 10000 元。为保护设备，有以下种方案： 方案 1 ：运走设备，搬运费为 3800 元。 方案 2 ：建保护围墙，建设费为 2000 元，但围墙只能 挡住小洪水。 方案 3 ：不采取措施，希望不发生洪水。 试比较哪一种方案好。 3. （ 07 全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为： 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元，分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元，分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元， 表示经销一件该商品的利润。 （ 1 ）求事件 A ：”购买该商品的 3 位顾客中，至少有一位采用 1 期付款” 的概率 P(A) ； （ 2 ）求 的分布列及期望 E 。 0.03 0.97 P 1000 － a 1000 E = 1000 － 0.03a≥0.07a 得 a≤10000 故最大定为 10000 元。 4 、若保险公司的赔偿金为 a （ a ＞ 1000 ）元，为使保险公司收益的期望值不低于 a 的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？ 5 、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是 0.7, 若枪内只有 5 颗子弹 , 求射击次数的期望。 ( 保留三个有效数字 ) 0.3 4 0.3 3 ×0.7 0.3 2 ×0.7 0.3× 0.7 0.7 p 5 4 3 2 1 E = 1.43 1 、本节课学习了离散型随机变量 ξ 的期望及公式： （ 1 ） E ( a ξ+ b )= aEξ+b ; （ 2 ）若 ξ ～ B （ n , p ），则 E ξ= np 2 、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。 彩球游戏 准备一个布袋，内装 6 个红球与 6 个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸 6 个球，输赢的规则为： 6 个全红 赢得 100 元 5 红 1 白 赢得 50 元 4 红 2 白 赢得 20 元 3 红 3 白 输 100 元 2 红 4 白 赢得 20 元 1 红 5 白 赢得 50 元 6 个全白 赢得 100 元 你动心了吗 ?