高考理科数学专题复习练习 6.2等差数列及其前n项和 4页

第六章数列 ‎6.2等差数列及其前n项和 专题2‎ 等差数列的性质 ‎■(2015江西八所重点中学高三联考,等差数列的性质,选择题,理4)数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),若p-q=5,则ap-aq=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.10 B.15 C.-5 D.20‎ 解析:利用通项与求和的关系求解.由数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),得an=Sn-Sn-1=4n-5,n≥2,且a1=-1也符合,所以ap-aq=4(p-q)=20,故选D.‎ 答案:D ‎■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,等差数列的性质,选择题,理4)已知数列{an}的首项a1=1,且an-an+1=anan+1(n∈N*),则a2 015=(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:依题意得an+1=,所以对∀n∈N*,an≠0,所以=1,数列是以=1为首项、1为公差的等差数列,=1+(n-1)×1=n,即an=,a2015=,故选D.‎ 答案:D 专题3‎ 等差数列前n项和公式与最值 ‎■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,等差数列前n项和公式与最值,解答题,理18)已知数列{an}为等差数列,首项a1=1,公差d≠0.若,…,,…成等比数列,且b1=1,b2=2,b3=5.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式bn;‎ ‎(2)设cn=log3(2bn-1),求和Tn=c1c2-c2c3+c3c4-c4c5+…+c2n-1c2n-c2nc2n+1.‎ 解:(1)=a1·a5⇒(1+d)2=1×(1+4d)⇒d=2.‎ ‎∵=a1=1,=3,∴q=3,‎ ‎=1+(bn-1)×2=2bn-1=1×3n-1,‎ ‎∴bn=.‎ ‎(2)cn=log3(2bn-1)=n-1,‎ Tn=c2(c1-c3)+c4(c3-c5)+c6(c5-c7)+…+c2n(c2n-1-c2n+1)‎ ‎=-2(c2+c4+…+c2n)‎ ‎=-2[1+3+5+…+(2n-1)]=-2n2.‎ ‎■(2015银川二中高三一模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理3)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn是其前n项的和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(　　)‎ A.2 B.-2 C. D.-‎ 解析:因为S1,S2,S4成等比数列,故=S1S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-,故选D.‎ 答案:D ‎■(2015银川一中高三二模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理4)等差数列{an}中,已知a1=-12,S13=0,使得an>0的最小正整数n为(　　)‎ A.10 B.9 C.8 D.7‎ 解析:依题意得S13==13a7=0,故a7=0,d==2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14.由an=2n-14>0,得n>7.因此,使得an>0的最小正整数是8,故选C.‎ 答案:C ‎■(2015东北三省三校高三第一次联考,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理4)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n=(　　)‎ A.6 B.7 C.10 D.9‎ 解析:因为=7,故由a1>0及二次函数对称性可知当n=7时,Sn最大.故选B.‎ 答案:B ‎6.3等比数列及其前n项和 专题2‎ 等比数列的性质 ‎■(2015银川高中教学质量检测,等比数列的性质,选择题,理4)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a10=9,则a5+a7(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.有最小值6 B.有最大值6‎ C.有最大值9 D.有最小值3‎ 解析:利用等比数列的性质,结合基本不等式求解.因为{an}是各项均为正数的等比数列,a5a7=a2a10=9,所以a5+a7≥2=2=6,当且仅当a5=a7=3时取等号,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,等比数列的性质,选择题,理10)已知数列{an}为等比数列,且a2 013+a2 015=dx,则a2 014(a2 012+2a2 014+a2 016)的值为(　　)‎ A.π B.2π C.π2 D.4π2‎ 解析:依题意,a2013+a2015=×(π×22)=π,又因为数列{an}为等比数列,故a2014(a2013+2a2014+a2016)=+2a2013a2015+=(a2013+a2015)2=π2,故选C.‎ 答案:C 专题3‎ 等比数列前n项和公式 ‎■(2015江西八所重点中学高三联考,等比数列前n项和公式,填空题,理16)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数,例如:9的因数有1,3,9,g(9)=9,10的因数有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+g(3)+…+g(22 015-1)=　　　　　. ‎ 解析:利用归纳推理得数列的通项公式,结合等比数列的求和公式求解.由题意可得g(1)=1,g(2)+g(22-1)=g(2)+g(3)=4,g(22)+g(22+1)+…+g(23-1)=g(4)+g(5)+g(6)+g(7)=16=42,g(23)+g(23+1)+…+g(24-1)=g(8)+g(9)+…+g(14)+g(15)=64=43,……,则g(22014)+g(22014+1)+…+g(22015-1)=42014,所以g(1)+g(2)+g(3)+…+g(22015-1)=1+4+42+…+42014=.‎ 答案:‎ ‎6.4数列求和 专题1‎ 分组求和与并项求和 ‎■(2015银川高中教学质量检测,分组求和与并项求和,填空题,理15)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则a1+a2+…+a51=　　　　　. ‎ 解析:利用分组求和法求解.当n为正奇数时,an+2-an=0,又a1=1,则所有奇数项都是1;当n为正偶数时,an+2-an=2,又a2=2,则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列,所以a1+a2+…+a51=(a1+a3+…+a51)+(a2+a4+…+a50)=26a1+25a2+×2=676.‎ 答案:676‎ 专题3‎ 裂项相消求和 ‎■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,裂项相消求和,解答题,理17)等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a7=-9,S9=-.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn>-.‎ ‎(1)解:设数列{an}的公差为d,‎ 则由已知条件可得 解得 所以an=-.‎ ‎(2)证明:由(1)可知Sn=-.‎ 故bn=-=-,‎ Tn=-+…++…+=-.‎ 又因为,‎ 所以Tn>-.‎ ‎■(2015辽宁大连高三双基测试,裂项相消求和,解答题,理17)数列{an}满足an+1=,a1=1.‎ ‎(1)证明:数列是等差数列;‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn,并证明:+…+.‎ 解:(1)证明:∵an+1=,‎ ‎∴,化简得=2+,‎ 即=2,故数列是以1为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知=2n-1,所以Sn==n2.‎ 证法一:+…++…+‎ ‎>+…+‎ ‎=+…+=1-.‎ 证法二:(用数学归纳法)当n=1时,左边==1,‎ 右边=,不等式成立.‎ 假设当n=k时,不等式成立,即+…+.‎ 则当n=k+1时,则+…+.‎ 又∵=1--1+‎ ‎=>0,‎ ‎∴+…+,‎ ‎∴原不等式成立.‎ ‎■(2015江西八所重点中学高三联考,裂项相消求和,解答题,理17)已知f(x)=2sinx,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{an},n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.‎ ‎(1)解:∵|f(x)|=2,∴x=kπ+,x=2k+1,k∈Z,‎ 又∵x>0,∴an=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)证明:∵bn=(n∈N*),‎ bn=‎ ‎=,‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn<+…+,‎ ‎∴Tn<,得证.‎ ‎■(2015银川二中高三一模,裂项相消求和,填空题,理16)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且Sn=2Sn-1+1(n≥2,且n∈N*),数列{bn}是等差数列,且b1=a1,b4=a1+a2+a3,设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,则T10=　　　　　. ‎ 解析:因为Sn=2Sn-1+1,Sn+1=2Sn+1,两式相减得an+1=2an,故数列{an}为首项为1、公比为2的等比数列,故an=2n-1.又b1=1,b4=1+2+4=7,故d==2,故bn=1+2(n-1)=2n-1,故cn=,故T10=+…+.‎ 答案:‎ ‎■(2015东北三省三校高三二模,裂项相消求和,解答题,理17)已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*).‎ ‎(1)证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎(2)数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列的前n项和,若Tn