2017-2018学年新疆维吾尔自治区阿克苏市农一师高级中学高二第二次月考数学（理）试题 16页

第一师高级中学 2017-2018 学年第一学期高二年级第 二次月考 数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 1．4 名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法 共有( ) A. 4 种 B. 16 种 C. 64 种 D. 256 种 2．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　) A. 至少有 1 个黑球与都是黑球 B. 至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 C. 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 D. 至少有 1 个黑球与都是红球 3．下列选项中，说法正确的是( ) A. 命题“ ”的否定是“ ” B. 命题“ 为真”是命题“ 为真”的充分不必要条件 C. 命题“若 ,则 ”是假命题 D. 命题“在 中，若 ，则 ”的逆否命题为假命题 4.已知方程(k2－1)x2＋3y2＝1 是焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是（） A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B. (－∞，－1)∪(1，＋∞) C. （—2，2） D. （—1，1） 5．五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（） A. 36 种 B. 60 种 C. 72 种 D. 108 种 6．根据此程序框图输出 S 的值为 ，则判断框内应填入的是( ) A. B. C. D. 7．矩形 中， ， 为 的中点，在矩形 内随机取一 点，则取到的点到 的距离大于 1 的概率为 A. B. C. D. 温馨提示： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟 2、本试卷命题范围： 3、请考生将选择题答案填涂在答题卷卡规定位置，否则视为无效答案。 4、正式开考前，请在规定位置填写姓名、班号，正式开考后才允许答题。 2, 0x R x x∃ ∈ − ≤ 2, 0x R x x∃ ∈ − > p q∨ p q∧ 2 2am bm≤ a b≤ ABC 1sin 2A < 6A π< 11 12 8?i ≤ 6?i ≤ 8?i ≥ 6?i ≥ ABCD 2, 1AB BC= = O AB ABCD O 8 π 1 8 π− 4 π 1 4 π− 8．若命题：“ ”为假命题，则实数 的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 9．已知 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．安排 3 名志愿者完成 5 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安 排方式共有（ ） A. 90 种 B. 150 种 C. 180 种 D. 300 种 11．已知 , 分别在 轴和 轴上运动， 为原点， ,点 的轨 迹方程为（ ）. A. B. C. D. 12．椭圆的焦点为 ，过点 作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦 长为 ， 的周长为 20，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题 13．若命题“ ，使 ”是真命题，则 的取值范围是__________． 14．已知椭 圆的右焦点为 ，过点的直线交 于 ， 两点，若 的 中 点 坐 标 为 ，则 的方程为__________． 15.若 的展开式中所有二项式系数和为 64，展开式中的常数项是__________． 16．如图，已知过椭圆 的左顶点 作直线 交 轴于点 ，交 椭圆于点 ，若 是等腰三角形，且 ，则椭圆的离心率为. 2 0 0 0, 2 0x R ax ax∃ ∈ − − > a ( ),0−∞ [ ]8,0− ( ), 8−∞ − ( )8,0− ,a b R∈ 1 1a b− > − log 1ab < 3AB = ,A B y x O 1 2 3 3OP OA OB= +   P 2 2 14 x y+ = 2 2 14 yx + = 2 2 19 x y+ = 2 2 19 yx + = 1 2,F F 1F MN 32 5 2MF N∆ 2 2 5 3 5 4 5 17 5 [ ]2,3x∀ ∈ 2 0x a− ≥ a 2 12 n x x  −   ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( ),0A a− l y P Q AOP∆ 2PQ QA=  解答题 17．雾霾天气对城市环境造成很大影响，按照国家环保部发布的标准：居民区的 PM2.5（大气 中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物）年平均浓度不得超过 35 微克/立方米.某市环保部门加 强了对空气质量的监测，抽取某居民区监测点的 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据， 制成茎叶图，如图： （Ⅰ）完成如下频率分布表，并在所给的坐标系中画出 的频率分布直方图； （Ⅱ）从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的天数中，随机抽取 2 天，求 恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率. 18．一个包装箱内有 6 件产品，其中 4 件正品，2 件次品。现随机抽出两件产品.（要求罗列 出所有的基本事件） （1）求恰好有一件次品的概率。 （2）求都是正品的概率。 （3）求抽到次品的概率。 19．已知 ,在 的展开式中，第二项系数是第三项系数的 ． (1)求 的值； (2)若 ，求 的值． *Nn∈ ( )2 nx + 1 5 n ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 22 1 1 1n n nx a a x a x a x+ = + + + + + + + naaa +++ 21 20．已知函数 （1）求函数 的最小值 （ 2 ） 已 知 ， 命 题 关 于 的 不 等 式 对 任 意 恒 成 立 ； 命 题 ： ，若“ ”为真，“ ”为假，求实数 的取值范围. 21．如果点 在运动过程中总满足关系式 . （1）说明点 的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程； （2） 是坐标原点，直线 ： 交点 的轨迹于不同的 两点，求弦长|AB|（含 字母 k）及 面积的最大值. 22．已知椭圆 E: 经过点 P(2,1)，且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足 ，直线 PM、PN 分别交 椭圆于 A，B．探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点， 请说明理由． ( ),M x y ( ) ( )2 22 22 2 2 3x y x y− + + + + = M O l 2y kx= + M ,A B AOB∆ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 OM NO=  一、选择题 1．4 名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法 共有( ) A. 4 种 B. 16 种 C. 64 种 D. 256 种 【答案】B 【解析】根据题意，每个同学可以在两个课外活动小组中任选 1 个，即有 2 种选法， 则 4 名同学一共有 种选法； 故选：B. 2．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　) A. 至少有 1 个黑球与都是黑球 B. 至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球 C. 恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球 D. 至少有 1 个黑球与都是红球 【答案】C 【解析】试题分析： 本题主要考查互斥事件。 试题解析： 依题意，从装有 个红球和 个黑球的口袋中任意取 个球 至少有 个黑球包含都是黑球，故至少有 个黑球与都是黑球不是互斥事件，故 A 错误， 至少有 个黑球包含 黑 红，至少有 个红球包含 黑 红，两者不是互斥事件，故 错误， 恰有 个黑球与恰有 个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故 正确 D 至少有 个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故 错误， 故答案为 3．下列选项中，说法正确的是( ) A. 命题“ ”的否定是“ ” B. 命题“ 为真”是命题“ 为真”的充分不必要条件 C. 命题“若 ,则 ”是假命题 D. 命题“在 中，若 ，则 ”的逆否命题为真命题 【答案】C 【解析】A 命题“ ”的否定是 ．故选项错误。 B 命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件，故选项错误。 2 2 2 2 16× × × = 2, 0x R x x∃ ∈ − ≤ 2, 0x R x x∃ ∈ − > p q∨ p q∧ 2 2am bm≤ a b≤ ABC 1sin 2A < 6A π< 2, 0x R x x∃ ∈ − ≤ 2, 0x R x x∀ ∈ − ≤ p q∨ p q∧ C 命题“若 ，当 m=0 时，a,b 的关系是任意的。故是假命题。选项正确。 D 命题“在 中，若 ，则 ”的逆否命题为，若 则 .故选项 错误。 故答案为 C. 4．已知方程(k2－1)x2＋3y2＝1 是焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是（A）． 【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】方程(k2－1)x2＋3y2＝1 可化为 . 由椭圆焦点在 y 轴上，得 解之得 k>2 或 k<－2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞). 5．五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（） A. 36 种 B. 60 种 C. 72 种 D. 108 种 【答案】A 【解析】间接法做：甲与乙相邻的情况（不考虑丙的位置）减去甲乙相邻且甲丙相邻的情况： 种故选 A 6．根据此程序框图输出 S 的值为 ，则判断框内应填入的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】第一次循环 ， ， 2 2am bm≤ ABC 1sin 2A < 6A π< 6A π≤ 1sin 2A ≥ 2 2 2 11 1 1 3 x y k + = − 2 2 1 0 { 1 1 1 3 k k − > <− 2 4 3 2 4 3 2 36A A A− × = 11 12 8?i ≤ 6?i ≤ 8?i ≥ 6?i ≥ 1 2S = 4i = 第二次循环 ， ， 第三次循环 ， ， 此时输出 ，所以应填写 7．矩形 中， ， 为 的中点，在矩形 内随机取一点，则取 到的点到 的距离大于 1 的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图所示，由几何概型可知所求概率为 ．故本题选 ． 8．若命题：“ ”为假命题，则实数 的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得：对于∀ ， 恒成立， 当 a=0 时，命题成立， 否则，结合二次函数的性质应满足： ， 求解关于实数 a 的不等式可得： ， 综上可得：实数 的取值范围是 . 9．已知 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“ ”，则 ，即 . 所以 ,充分性成立； 1 1 3+ =2 4 4S = 6i = 3 1 11+ =4 6 12S = 8i = S 6?i ≤ ABCD 2, 1AB BC= = O AB ABCD O 8 π 1 8 π− 4 π 1 4 π− 212 1 12 12 1 4 π π× − × × = −× D 2 0 0 0, 2 0x R ax ax∃ ∈ − − > a ( ),0−∞ [ ]8,0− ( ), 8−∞ − ( )8,0− x R∈ 2 2 0ax ax− − ≤ ( ) ( )2 0 { 4 2 0 a a a < ∆ = − − × × − ≤ 8 0a− ≤ < a [ ]8,0− ,a b R∈ 1 1a b− > − log 1ab < 1 1a b− > − 1 b 1 0a − > − > 1a b> > log log 1a ab a< = 若“ ”，则 ，有 或 .必要性不成立. 故“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选 A. 10．安排 3 名志愿者完成 5 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安 排方式共有（ ） A. 90 种 B. 150 种 C. 180 种 D. 300 种 【解析】按每个人工作的项目数，分两种情况：（1）1+1+3,所以先选分组，再排列 ，（2）2+2+1，先分组，为均分组，再排列， ，总方法数 150, 选 B. 11．已知 , 分别在 轴和 轴上运动， 为原点， ,点 的轨 迹方程为（ ）. A. B. C. D. 【解析】设动点 坐标为 由 得： 即 故选 A． 12．椭圆的焦点为 ，过点 作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦 长为 ， 的周长为 20，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【解析】∵△MF2N 的周长=MF1+MF2+NF1+NF2=2a+2a=4a=20，∴a=5， 又由椭圆的几何性质，过焦点的最短弦为通径长 ∴MN= = ， log 1ab < log loga ab a< 1a b> > 0 1a b< < < 1 1a b− > − log 1ab < 3 3 5 3 60C A = 2 2 1 35 3 1 32 2 90C C C AA ⋅ = 3AB = ,A B y x O 1 2 3 3OP OA OB= +   P 2 2 14 x y+ = 2 2 14 yx + = 2 2 19 x y+ = 2 2 19 yx + = P 0 0P x y A a B b（ ， ），（ ， ），（ ，）， 1 2 3 3OP OA OB= +   1 20 03 3x y a b= +（ ， ） （ ， ） （ ，） 33 2a y b x∴ = =． ， 2 23 9AB a b= ∴ + =   ， ， 2 2 33 92y x ∴ + =  （ ） ， 2 2 14 x y+ = 1 2,F F 1F MN 32 5 2MF N∆ 2 2 5 3 5 4 5 17 5 22b a 22b a 32 5 ∴b2=16，c2=a2﹣b2=9， ∴c=3，∴e= = ， 故选 B． 一、填空题 13．若命题“ ，使 ”是真命题，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由题意得 在 上恒成立， 而当 时， ， ∴ 。故实数 的取值范围是 。 答案： 14．已知椭圆 的右焦点为 ，过点的直线交 于 ， 两点，若 的中 点坐标为 ，则 的方程为__________． 【答案】 【解析】由条件可求出直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ， 可设 点坐标为 ，由 的中点坐标为 可得 点坐标为 ， 将 、 两点坐标代入椭圆方程并两式相减化简得 ，又 ， 所以 ，故答案为 ． c a 3 5 [ ]2,3x∀ ∈ 2 0x a− ≥ a ( ],4−∞ 2a x≤ [ ]2,3 [ ]2,3x∈ 24 9x≤ ≤ 4a ≤ a ( ],4−∞ ( ],4−∞ 15 ．若 的 展 开 式 中 所 有 二 项 式 系 数 和 为 64 ，展开 式 中 的 常 数 项 是 __________． 【答案】 240 【 解 析 】 由 二 项 式 定 理 性 质 可 知 ， 二 项 式 系 数 和 为 ， 所 以 ， 则 原 式 为 ，根据二项展开式可知通项公式为 ，令 ，则 ，所以展开式中的常数项为 240. 16．如图，已知过椭圆 的左顶点 作直线 交 轴于点 ，交 椭圆于点 ，若 是等腰三角形，且 ，则椭圆的离心率为. 【答案】 . 【解析】 试题分析：由于 为等腰三角形，且 ，故有 ，则点 的坐标 为 ， 设 点 的 坐 标 为 ， ， ， ， 则 有 ， 解 得 ， 即 点 的 坐 标 为 ， 将 点 的 坐 标 代 入 椭 圆 的 方 程 得 ， 解 得 ， 即 ， ， . 2 12 n x x  −   2 64n = 6n = 6 2 12x x  −   ( )6 6 6 3 1 6 62 12 2 r rr r r r rT C x C xx − − − +  = =   2r = 2 4 3 6 2 240T C= = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( ),0A a− l y P Q AOP∆ 2PQ QA=  2 5 5 AOP∆ 90AOP∠ =  AO OP a= = P ( )0,a Q ( ),x y ( ) ( ) ( ), 0, ,PQ x y a x y a= − = − ( ) ( ) ( ),0 , ,QA a x y a x y= − − = − − − PQ =  2QA ( )2 2 x a x y a y  = ⋅ − −  − = − 2 3 3 x a ay  = −  = Q 2 ,3 3 a a −   Q 2 2 2 2 2 1 1 13 3 aa a b    − ⋅ + ⋅ =       2 25a b= ( )2 2 25a a c= − 2 2 4 5 c a ∴ = 2 5 5 ce a ∴ = = 二、解答题 17．雾霾天气对城市环境造成很大影响，按照国家环保部发布的标准：居民区的 PM2.5（大气 中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物）年平均浓度不得超过 35 微克/立方米.某市环保部门加 强了对空气质量的监测，抽取某居民区监测点的 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据， 制成茎叶图，如图： （Ⅰ）完成如下频率分布表，并在所给的坐标系中画出 的频率分布直方图； （Ⅱ）从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的天数中，随机抽取 2 天，求 恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】试题分析：（Ⅰ）统计茎叶图数据，求得各组频数和频率，并作出分频表 频率分布直方图； （Ⅱ）先求得 天任取 天，包含的基本事件有 个基本事件， 符合条件的共 个基本事件 所求概率为： . 试题解析：（Ⅰ）频率分频表频率分布直方图如下图所示： （Ⅱ）设 PM2.5 的 24 小时平均浓度在 内的三天记为 ， PM2.5 的 34 小时平均浓度在 内的两天记为 ， ∴5 天任取 2 天，包含的基本事件有： ； ； ； ，共 10 个基本事件， 设事件 恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米，则包含 的基本事件有 ； ； ；共 6 个基本事件， ∴ ，∴从 5 天中随机抽取 2 天，恰好有一天超过 75 微克/立方米的 概率 . 18．一个包装箱内有 6 件产品，其中 4 件正品，2 件次品。现随机抽出两件产品.（要求罗列 出所有的基本事件） （1）求恰好有一件次品的概率。 （2）求都是正品的概率。 （3）求抽到次品的概率。 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】试题分析：（1）写出所有的基本事件，找所研究事件所含的基本事件；（2）写出 都是正品的基本事件计算即可；（3）根据对立事件计算较简单，抽到次品与都是正品互为对 立事件。 试题解析：将六件产品编号，ABCD(正品),ef（次品）,从 6 件产品中选 2 件，其包含的基本 事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df） （ef）共有 15 种， （1）设恰好有一件次品为事件 A，事件 A 中基本事件数为：Ae）（Af）（Be）（Bf）（Ce）（Cf） （De）（Df）共有 8 种，则 P（A）＝ （2）设都是正品为事件 B，事件 B 中基本事件数为：（AB）（AC）（AD）（BC）（BD）（CD）共 6 种，则 P（B）＝ （3）设抽到次品为事件 C，事件 C 与事件 B 是对立事件，则 P（C）＝1－P(B)＝1－ 19．已知 ,在 的展开式中，第二项系数是第三项系数的 ． (1)求 的值； (2)若 ，求 的值． 【答案】（1）6（2）63 【解析】试题分析：（1）利用二项展开式定理写出其第二项系数与第三项系数，再利用两系 数间关系可求得 的值；（2）赋值法，分别令 即可求出结果． 试题解析：解：（1）由题得 , 解得 （2） , 令 ，得 . 又令 ，得 所以 20．已知函数 （1）求函数 的最小值 （ 2 ） 已 知 ， 命 题 关 于 的 不 等 式 对 任 意 恒 成 立 ； 命 题 ： ，若“ ”为真，“ ”为假，求实数 的取值范围. 【答案】(1) 的最小值为 (2) 【解析】试题分析：（1）借助于单调性即可求最小值； *Nn∈ ( )2 nx + 1 5 n ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 22 1 1 1n n nx a a x a x a x+ = + + + + + + + naaa +++ 21 n 0, 1x x= = − 1 2 212 25n nC C= × 6n = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )66 2 6 0 1 2 62 1 1 1 1 1x x a a x a x a x + = + + = + + + + + + +   0x = 6 0 1 6 2 64a a a+ + + = = 1x = − 0 1a = 1 2 3 6 63a a a a+ + + + = （2）运用（1）中求出的 f（x）的最小值代入不等式 f（x）≥m2+2m-2，求出对任意 x∈R 恒成立的 m 的范围，根据复合命题“p 或 q”为真，“p 且 q”为假时，建立不等式关系即可的 实数 m 的取值范围． 试题解析： (1)利用函数的单调性得 的最小值为 （2）若 为真，则 ，所以 若 假，则 恒成立，则 解的 所以 或 所以 . 21．如果点 在运动过程中总满足关系式 . （1）说明点 的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程； （2） 是坐标原点，直线 ： 交点 的轨迹于不同的 两点，求 面积 的最大值. 【答案】(1)椭圆， （2） 【解析】试题分析：(1)可表示 与 的距离之和等于常数 ，由椭圆 的定义可知：此点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆， ，即得方程（2）由 得 ， 由 及 韦 达 定 理 可 表 示 ， 换 元 ， ∴ 即可得最大值. 试题解析： ( ),M x y ( ) ( )2 22 22 2 2 3x y x y− + + + + = M O l 2y kx= + M ,A B AOB∆ 2 2 13 x y+ = 21 3k = ± ( ) ( )2 22 22 2 2 3x y x y− + + + + = ( ),x y ( ) ( )2,0 , 2,0− 2 3 3, 2a c= = 2 2 1{ 3 2 x y y kx + = = + ( )2 21 3 12 9 0k x kx+ + + = 0∆ > ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 6 12 42 1 3 kS x x x x x x k −= × − = + − = + 2 1( 0)t k t= − > 2 6 6 43 4 3 tS t t t = =+ + (1) 可表示 与 的距离之和 等于常数 ，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆， 故轨迹方程为 . （2）由 得 ， ∵ , ， ， 令 ，则 ， ∴ 当且仅当 即 时有最大值. 22．已知椭圆 E: 经过点 P(2,1)，且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足 ，直线 PM、PN 分别交 椭圆于 A，B．探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点， 请说明理由． 【答案】（1） ；（2）直线 AB 过定点 Q（0，﹣2）. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果， 再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得 到结果。 ( ) ( )2 22 22 2 2 3x y x y− + + + + = ( ),x y ( ) ( )2,0 , 2,0− 2 3 3, 2a c= = 2 2 13 x y+ = 2 2 1{ 3 2 x y y kx + = = + ( )2 21 3 12 9 0k x kx+ + + = ( ) ( )2 2 212 36 1 3 36 36 0k k k∆ = − + = − > 2 1k > 1 2 1 22 2 12 9,1 3 1 3 kx x x xk k −+ = =+ + ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 6 12 42 1 3 kS x x x x x x k −= × − = + − = + 2 1( 0)t k t= − > 2 2 1k t= + 2 6 6 3 43 4 23 tS t t t = = ≤+ + 2 3 3t = 21 3k = ± 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 OM NO=  2 2 18 2 x y+ = （Ⅰ）由椭圆的离心率 e= ，则 a2=4b2， 将 P（2，1）代入椭圆 ， 则 ，解得：b2=2，则 a2=8， ∴椭圆的方程为： ； （Ⅱ）当 M，N 分别是短轴的端点时，显然直线 AB 为 y 轴，所以若直线过定点，这个定点一 点在 y 轴上， 当 M，N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，设 A（x1，y1）、B（x2，y2）， 由 消去 y 得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，·则△=16（8k2﹣t2+2）＞0， x1+x2= ，x1x2= ， 又直线 PA 的方程为 y﹣1= （x﹣2），即 y﹣1= （x﹣2）， 因此 M 点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ）， 由 ，则 + =0， 化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0， 则（2﹣4k）× ﹣（2﹣4k+2t）（ ）+8t=0， 当且仅当 t=﹣2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，﹣2）. 2 2 31 2 c b a a = − = 2 2 2 2 14 x y b b + = 2 2 1 1 1b b + = 2 2 18 2 x y+ = 2 2 1{ 8 2 x y y kx t + = = + 2 8 4 1 kt k − + 2 2 4 8 4 1 t k − + 1 1 1 2 y x − − 1 1 1 2 kx t x + − − ( ) 1 1 1 2 2 2 k x t x − − − ( ) 2 2 1 2 2 2 k x t x − − − OM NO=  ( ) 1 1 1 2 2 2 k x t x − − − ( ) 2 2 1 2 2 2 k x t x − − − 2 2 4 8 4 1 t k − + 2 8 4 1 kt k − +