数学理卷·2018届吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）（2018 9页

‎ 长春市普通高中2018届高三质量监测（二） 数学理科 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知，，则李国波录 A. 　　 B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数为纯虚数，则 A. B. C. 或 D. ‎ ‎3.设命题，则是 A.　 B. ‎ C.　 D. ‎ ‎4. 已知平面向量，则 A. 　　 B. C. D. ‎ ‎5. 已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则 ‎ A. 　 B. C. D. ‎ ‎6. 已知动点满足线性条件，定点，则直线斜率的最大值为 A. 　　B. C. 　D. ‎ ‎7. 已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△内切圆的半径为 A.　 　 B. C. D. ‎ ‎8. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是 A. 　　 B. 是图象的一个对称中心 ‎ C. 　 D. 是图象的一条对称轴 ‎9. 若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为 A.　 　 B. C. D. ‎ ‎10. 如图，格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为 A. ‎ B. ‎ C. 　 ‎ D. ‎ ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是 A. 　　 B. C.　 D. ‎ ‎12. 若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是 A. 　 B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎13. 的展开式中含项的系数为___________.‎ ‎14. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为_____.‎ 是 否 否 是 开始 ‎ ‎ 输出 结束 输出 ‎ ‎ ‎15. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为，球的半径为，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为，则 ___________.‎ ‎16.在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为，则 ________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在△中，内角的对边分别为，其面积.‎ ‎(1)求的值； ‎ ‎ (2) 设内角的平分线交于，，，求 .‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.‎ ‎0.008‎ ‎0.004‎ ‎0.003‎ ‎0.002‎ ‎0.001‎ 频率/组距 ‎ 100 150 200 250 300 350 400质量（克）‎ ‎ (1) 现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，记随机变量表示质量在内的芒果个数，求的分布列及数学期望.‎ ‎ (2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：‎ A：所以芒果以元/千克收购；‎ B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.‎ 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设是线段上的动点，是否存在这样的点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知直线过抛物线：的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若点，过点的直线与抛物线相交于,两点，设直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求证：函数有唯一零点；‎ ‎（2）若对任意，恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.‎ 已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若过点的直线与交于,两点，与交于两点，求的取值范围.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的解集；‎ ‎(2) 若的最小值为,正数满足，求证：.‎ 长春市普通高中2018届高三质量监测（二）‎ 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. A【命题意图】本题考查集合的运算. ‎ ‎ 【试题解析】A .故选A. ‎ ‎2. B【命题意图】本题考查复数的分类. ‎ ‎【试题解析】B .故选B. ‎ ‎3. C【命题意图】本题考查含有一个量词的命题的否定.‎ ‎【试题解析】C　由含有一个量词的命题的否定. 故选C. ‎ ‎4. A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.‎ ‎【试题解析】A　由题意知，，所以.故选A.‎ ‎5.C【命题意图】本题主要考查等比数列知识.‎ ‎ 【试题解析】C 由得，解得，从而. 故选C.‎ ‎6. C【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识. ‎ ‎【试题解析】C　根据可行域，当取时，直线的斜率最大为3.故选 C. ‎ ‎7. D【命题意图】本题考查椭圆的定义的应用.‎ ‎【试题解析】D　由题意知的周长为，面积为，由内切圆的性质可知，其半径为.故选D. ‎ ‎8. C 【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质. ‎ ‎【试题解析】C　由题意可知，故，.故选C. ‎ ‎9. B【命题意图】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用. ‎ ‎【试题解析】B 由直线与曲线围成区域的面积为，从而所求概率为.故选B. ‎ ‎10. D【命题意图】本题主要考查三视图问题. ‎ ‎【试题解析】D 可在正方体中画出该三棱锥的直观图，进而算出其最长棱长为.故 选D. ‎ ‎11. B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识. ‎ ‎【试题解析】B　由双曲线定义可知，从而，双曲线的离心率 取值范围为.故选B. ‎ ‎12. A【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识. ‎ ‎【试题解析】A　由题意知，令，的两根一正一负，由的图象可知，，解得. 故选A. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 40【命题意图】本题考查二项展开式系数的算法.‎ ‎【试题解析】由可知含的项为，因此的系数为40.‎ ‎14. 13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识. ‎ ‎【试题解析】由输入，代入程序框图计算可得输出的的值为13. ‎ ‎15. 【命题意图】本题考查球的相关知识.‎ ‎【试题解析】设，则，，代入，‎ 又，即. ‎ ‎16. 【命题意图】本题考查数列通项公式的算法. ‎ ‎【试题解析】由题意可知 三、解答题 ‎17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. ‎ ‎ 【试题解析】（1），可知，即. （6分）‎ ‎（2）由角平分线定理可知，，，‎ 在中，，在中，‎ 即，则. （12分）‎ ‎ 18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时利用统计学中的决策方案考查学生的数据处理能力. ‎ ‎【试题解析】解：（1）9个芒果中，质量在和内的分别有6个和3个.‎ 则的可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望. （6分）‎ ‎（2）方案A： ‎ 方案B：‎ 低于‎250克：元 高于或等于‎250克元 总计元 由，故B方案获利更多，应选B方案. （12分）‎ ‎19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【试题解析】解：（1）连结，，则由余弦定理可知，‎ 由直棱柱可知， ‎ ‎ （6分）‎ ‎（2）以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，‎ 建立坐标系. ‎ ‎（），，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，又，则，故长为1.（12分）‎ ‎20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.‎ ‎【试题解析】（1）由题意可知，，抛物线的方程为. （4分）‎ ‎（2）已知点，设直线的方程为：‎ ‎，，则，，‎ 联立抛物线与直线的方程消去得 可得，，代入可得.‎ 因此可以为定值，且该定值为. （12分）‎ ‎21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.‎ ‎【试题解析】（1） ，‎ 易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，‎ 因此，即在区间上恰有一个零点，‎ 由题可知在上恒成立，即在上无零点，‎ 则在上存在唯一零点. （4分）‎ ‎（2）设的零点为，即. 原不等式可化为，‎ 令，则，由（1）可知在上单调递减，‎ 在上单调递增，故只求，‎ 下面分析，设，则，‎ 可得，即 若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能. ‎ 因此，即求所求. （12分）‎ ‎22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.‎ ‎【试题解析】 （1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ‎ ；（5分）‎ ‎ （2）设直线的参数方程为（为参数）‎ 又直线与曲线：存在两个交点，因此. ‎ 联立直线与曲线：可得则 联立直线与曲线：可得，则 即. （10分）‎ ‎23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.‎ ‎【试题解析】（1）由图像可知：的解集为. （5分）‎ ‎（2）图像可知的最小值为1， ‎ 由均值不等式可知，‎ 当且仅当时，“”成立，即. （10分）‎