2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版） 第七章 立体几何与空间向量 第5节 空间直角坐标系与空间向量 17页

第5节　空间直角坐标系与空间向量 考试要求　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.‎ 知 识 梳 理 ‎1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 ‎(或平行向量)‎ 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2.空间向量的有关定理 ‎(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.‎ ‎(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ ‎(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.‎ ‎3.空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直 ‎，记作a⊥b.‎ ‎②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律：‎ ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 加法 a＋b ‎(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)‎ 减法 a－b ‎(a1－b1，a2－b2，a3－b3)‎ 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝ ‎[微点提醒]‎ ‎1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.‎ ‎2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.‎ ‎3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.‎ ‎4.若向量α的投影向量是γ，则向量α－γ与向量γ垂直，当向量γ与向量α起点相同时，终点间的距离最小.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)空间中任意两非零向量a，b共面.(　　)‎ ‎(2)对任意两个空间向量a，b，则a·b＝0，则a⊥b.(　　)‎ ‎(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.(　　)‎ ‎(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.(　　)‎ 解析　对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(选修2－1P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.－a－b＋c D.a－b＋c 解析　由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝1＋＝1＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ 答案　A ‎3.(选修2－1P118A6改编)已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.‎ 解析　a＋b＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)，‎ a－b＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)，‎ ‎∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2 θ－sin2 θ)＋(sin2 θ－cos2 θ)＝0，‎ ‎∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是.‎ 答案　 ‎4.(2018·济宁一中月考)在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)‎ A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 解析　由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，‎ ‎∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.‎ ‎∴AB∥CD.‎ 答案　B ‎5.(2019·北京四中月考)已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.‎ 解析　a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，‎ ‎∴|b|＝＝2.‎ 答案　2 ‎6.(2019·杭州二中月考)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.‎ 解析　∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.‎ 答案　 考点一　空间向量的线性运算 ‎【例1】 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；(2)＋.‎ 解　(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋ ‎＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c.‎ 又＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，‎ 所以＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 规律方法　(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.‎ ‎(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.‎ 提醒　空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.‎ ‎【训练1】 在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.‎ 解　＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝＋ ‎＝－＋＋ ＝＋＝－＋＋ ‎＝＋＋.‎ 考点二　共线定理、共面定理的应用 ‎【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ 证明　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.‎ ‎(2)因为＝－＝－＝(－)＝，‎ 因为E，H，B，D四点不共线，‎ 所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ 规律方法　(1)证明空间三点P，A，B共线的方法 ‎①＝λ(λ∈R)；‎ ‎②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).‎ ‎(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ‎①＝x＋y；‎ ‎②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；‎ ‎③∥(或∥或∥).‎ ‎(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.‎ ‎【训练2】 如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1).‎ ‎(1)向量是否与向量，共面？‎ ‎(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？‎ 解　(1)因为＝k，＝k，‎ 所以＝＋＋ ‎＝k＋＋k ‎＝k(＋)＋ ‎＝k(＋)＋ ‎＝k＋＝－k ‎＝－k(＋)‎ ‎＝(1－k)－k，‎ 所以由共面向量定理知向量与向量，共面.‎ ‎(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，‎ MN在平面ABB1A1内，‎ 当0