数学理卷·2018届湖南省邵阳市洞口一中高三上学期第一次月考（2017 9页

洞口一中2017年下学期高三年级第一次月考试题 ‎ 数 学（理）‎ 时间:120分钟 满分：150分 命题： 审题： ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.复数的虚部是（ ）A． B．- C． D．‎ ‎2. 集合错误！未找到引用源。，则集合错误！未找到引用源。（ ）‎ A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。‎ ‎3.把“正整数除以正整数后的余数为”记为，例如．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》. 执行右边的该程序框图后，则输出的值为（ ） A.14 B‎.17 C.22 D.23‎ ‎4. 函数的图象大致是（ ）‎ ‎5.已知双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1的一条渐近线方程为y＝－x，则此双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.洞口县的工业生产总值2015年和2016年连续两年持续增加，并且2015年的年增长率为p，2016年的年增长率为q，请你计算洞口县2015年到2016年这两年工业生产总值的年平均增长率为( )‎ A. B. C. D.－1‎ ‎7.某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )‎ ‎8.在错误！未找到引用源。的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )‎ A. －7 B. ‎7 C. －28 D. 28‎ ‎9.已知命题：，；命题：，，则下列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D．‎ ‎10.洞口县雪峰辣妹子食品厂生产的蜜桔罐头，其产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎ 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )‎ A. B.错误！未找到引用源。 C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.计算 ；‎ ‎14.已知向量，，的夹角为，则___ ；‎ ‎15.以下四个命题中： ‎ ‎①2017年5月，在邵阳市第三次高考模拟考试中，共有高三理科学生15000名，本次测试中，数学成绩错误！未找到引用源。服从正态分布错误！未找到引用源。，已知错误！未找到引用源。，若按成绩用分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15份；‎ ‎②已知命题，则：；‎ ‎③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；‎ ‎④设，则“”是“”的充要条件.‎ 其中真命题的序号为 ；‎ ‎16.设函数,若恰有2个零点，则实数的取值范围 是 ‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）设数列{an}(n＝1，2，3…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1、a2＋1、a3成等差数列. ‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn。‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝错误！未找到引用源。.‎ ‎(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；‎ ‎(2)设H为CD上一点，满足＝2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为错误！未找到引用源。，求二面角H－PB－C的余弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的 ‎64本少得多，是世界上人均读书最少的国家。”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符。‎ 为此，洞口一中为了提高全校教职员工（含退休教工和家属）的读书兴趣，将在2017年国庆节期间举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富学校图书馆，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对我校教职员工中看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：‎ ‎（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；‎ ‎（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；‎ ‎（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点 F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为．‎ ‎（1）求a，b的值； ‎ ‎（2）椭圆C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数的图象在点处的切线方程为． ‎ ‎（1）用分别表示、；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22.（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系错误！未找到引用源。中, 以坐标原点错误！未找到引用源。为极点, 以 错误！未找到引用源。轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线错误！未找到引用源。,曲线错误！未找到引用源。为参数).‎ ‎（1）将直线错误！未找到引用源。化成直角坐标方程, 将曲线错误！未找到引用源。化成极坐标方程；‎ ‎（2）若平行于直线错误！未找到引用源。的直线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到引用源。相切, 求出的错误！未找到引用源。普通方程.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 ‎ 设函数.‎ ‎ （1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ 洞口一中2017年下学期高三年级第一次月考 数学（理） 答案 题次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B D C D D B C C A A ‎3、【解析】：该程序框图的程序最终输出的是除以3和5所得余数都是2，即为的形式，由于程序中是从10开始循环的，因此输出结果是17．故选B．‎ ‎8、【解析】：由题意，，令，，故常数项为．故选B．‎ ‎9、 因命题是假命题,故是真命题,而命题是真命题,故是真命题,所以选C.‎ ‎10、【解析】：因,经检验直线经过点,故应选C.‎ ‎11、【解析】由题意，即所以，，由得，故选A.‎ ‎13、 14、‎ ‎16、 若函数在时与轴有一个交点所以,并且当时所以,函数有一个交点所以且所以；若函数与函数没有交点, 有两个交点当,与轴无交点,无交点,所以不满足题意,当时,的两个交点都是满足题意的，综上的取值范围是 ‎17、【解析】(Ⅰ)、 由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)‎ 即an＝2an－1(n≥2)从而a2＝‎2a1，a3＝‎2a2＝‎4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列即a1＋a3＝2(a2＋1)所以a1＋‎4a1＝2(‎2a1＋1)，解得a1＝2所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列故an＝2n……………….6分 ‎(Ⅱ)、由(Ⅰ)得所以Tn＝…………12分 ‎18、解析：(Ⅰ)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1BD＝，又BC＝，∴CD＝2，∴BC⊥BD，因为PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD.因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面PBC. ………………6分 ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠BPC为PC与底面PBD所成的角．所以tan∠BPC＝，所以PB＝，PD＝1，又＝2及CD＝2，可得CH＝，DH＝.以D点为坐标原点，DA，DC，DP分别x，y，z轴建立空间坐标系，则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.设平面HPB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则由得取n＝(1，－3，－2)，设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则由得取m＝(1，1，2)．‎ 所以cos〈m·n〉＝＝－，所以二面角H－PB－C余弦值为.………12分 ‎19、‎ ‎20、解、（1）、 ………………4分 ‎（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)．由（Ⅰ），知C的方程为＋＝1．由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1．由……….6分 消去x并化简整理，得(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0．由韦达定理，得y1＋y2＝－，‎ ‎∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－＋2＝，‎ ‎∴P(，－)………………9分 ‎∵点P在C上，∴＋＝1，化简得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝．当t＝时，L的方程为x－y－＝0；当t＝－时，L的方程为x＋y－＝0．故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时L的方程为x±y－＝0．………………12分 ‎21、解：（1）、因为，由题设，则有 ，解得. ‎ ‎ ……………4分 ‎ ‎（2）、由（1）知，，令， 所以 ，当时，，或 ………………7分 ‎①、当时，有，当时，，是减函数.‎ 又因为，所以时，，所以，故时，不恒成立；………………9分 ‎②、当时，有 当时，，则在上为增函数．所以，当时，，即.………………11分 综上所述，所求的取值范围为 . ………………12分 ‎ ‎22、解：（1）、直线错误！未找到引用源。：错误！未找到引用源。,则 错误！未找到引用源。的直角坐标方程为：错误！未找到引用源。,曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。：错误！未找到引用源。,即错误！未找到引用源。,曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程为错误！未找到引用源。.（2）、设直线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到引用源。相切, 由（1）知曲线错误！未找到引用源。的圆心为错误！未找到引用源。半径为错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。,解得错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。的方程为错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。,即错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。‎