数学理·吉林省长春市普通高中2017届高三上学期第一次教学质量监测理数试题+Word版含解析] 21页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B 考点：复数几何意义 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎2.已知集合，则（为自然数集）为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，则，故选C.‎ 考点：集合运算.‎ ‎【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.‎ ‎(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则 很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.‎ ‎(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.‎ ‎3.是边长为1的等比三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，的边长为1，，所以，，则，因为，故选D.‎ 考点：平面向量数量积运算.‎ ‎【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）‎ A．164石 B．178石 C．189石 D．196石 ‎【答案】C 考点：抽样中的用样本去估计总体.‎ ‎5.命题：“，使”，这个命题的否定是（ ）‎ A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，命题的否定为，，故选B.‎ 考点：逻辑问题中的特称命题的否定 ‎【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题. 6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：直到型循环结构程序框图运算.‎ ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎7.已知递减等差数列中，，成等比，若为数列的前项和，则的值为（ ）‎ A．-14 B．-9 C．-5 D．-1‎ ‎【答案】A 考点：等差数列和等比数列的基本量的求取 ‎8.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为 ‎，故选C.‎ 考点：三视图 ‎【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎9.已知原点到直线的距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有多少条？‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】C 考点：相离两圆的公切线 ‎10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D.‎ 考点：函数图像 ‎【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ ‎11.双曲线的左右焦点分别为，为右支上一点，且，，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，，则.又因为，则，即.则渐近线方程为，故选B.‎ 考点：双曲线的定义及渐近线 ‎12.已知实数满足，实数满足，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A 考点：导数的几何意义 ‎【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.展开式中的常数项是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：常数项为.‎ 考点：二项展开式系数 ‎【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎14.动点满足，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，‎ 准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.‎ 考点：三棱锥的外接球 ‎【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎16.如图，直角中，，，作的内接正方形，再做的内接正方形，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列，其前项和为 .‎ ‎【答案】‎ 考点：归纳推理 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）在中，为锐角且，，，，求.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求函数单调区间（2）先根据得，再根据A范围得；由平方可得AC，可得BC边上中线长AM=3，由余弦定理可得BC，最后在三角形ABM中根据余弦定理得，即得 考点：三角函数的化简以及恒等变换公式，正弦定理 ‎【思路点睛】　三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等 ‎18.（本小题满分12分）‎ 某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455，已知当年产量低于350时，单位售价为20元/，若当年产量不低于350而低于550时，单位售价为15元/，当年产量不低于550时，单位售价为10元/.‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）试估计年销售额的期望是多少？‎ ‎【答案】（1）（2）6525‎ 试题解析：解：(1) 由已知，，‎ 即，有.（6分）‎ 由（1）结合直方图可知 考点：频率分布直方图，数学期望 ‎【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，且平面.‎ ‎（1）求的长度；‎ ‎（2）求与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用空间向量求线段长度，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量的模求线段长度（2）求线面角，也可利用空间向量，即首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，根据向量数量积求直线与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求线面角的正弦值，再根据诱导公式求余弦值 ‎ ‎ ‎(2)因为，则，‎ ‎ 因为面的一个法向量，令与面成角为，‎ 则，故.（12分）‎ 考点：利用空间向量求线段长度及线面角 ‎【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 以边长为4的等比三角形的顶点以及边的中点为左、右焦点的椭圆过两点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点，求证直线与的交点在一条直线上.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先建立直角坐标系，使椭圆方程为标准方程，则（2）研究圆锥曲线的定值问题，一般方法为以算代证，即先求两直线交点坐标，再确定交点所在定直线：由对称性可知两直线交点必在垂直于x轴的直线上，因此运算目标为求交点横坐标为定值，设的方程为，，则： ，：，消去y得，再利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得，，代入化简得 设，‎ 则： ①‎ ‎： ②‎ ‎②-①得 则，即. ‎ 考点：直线和椭圆的位置关系及定值 ‎【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、‎ 定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，，当时，与的图象在处的切线相同.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）令，若存在零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）4（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据导数几何意义得，分别求导得，，即得（2）研究函数零点问题，一般利用变量分离法转化为对应函数值域问题：即求函数的值域，先求函数导数，再研究导函数零点，设，则，而，所以在上为减函数，在上为增函数，.‎ 令 考点：导数几何意义，利用导数求函数值域 ‎【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，为圆上一点，点在直线的延长线上，过点作圆的切线交的延长线于点，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求圆的半径.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线段成比例，一般利用三角形相似：由弦切角定理得，再由=，可得，可得 ，（2）先由得，再由直角三角形得，解得AB=8，即得 考点：三角形相似 ‎【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，求与的公共点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用同角三角函数关系消参数得（2）利用先将的直角坐标方程化为极坐标方程，再将代入求得，所以与的公共点的极坐标为 考点：参数方程化为普通方程，直角坐标方程与极坐标方程互化 ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）2（2）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，再分别求各段最大值，比较三个最大值的最大得的值；（2）先化简条件，再利用基本不等式化简，最后确定等号能取到 试题解析：(1) 由于，‎ 所以. （5分）‎ 考点：绝对值定义，利用基本不等式求最值 ‎【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎ ‎