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- 2021-06-21 发布
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大庆一中2018--2019学年度上学期高二期末测试
文科数学试卷
一、选择题(共12小题;共60分)
1. 一支田径队有男运动员 人,女运动员 人,为了解运动员的健康情况,从男运动员中任意抽取 人,从女生中任意抽取 人进行调查.这种抽样方法是
A.简单随机抽样法 B. 抽签法 C. 随机数表法 D.分层抽样法
2. 已知 ,其中 , 是实数, 是虚数单位,则 的共轭复数为
A. B. C. D.
3. 命题“若 ,,则 ”的逆否命题是
A. 若 ,,则
B. 若 ,,则
C. 若 且 ,,则
D. 若 或 ,,则
4. 当 时,比较 和 的大小并猜想
A. 时, B. 时,
C. 时, D. 时,
5. 在正方形 内随机生成 个点,其中在正方形 内切圆内的点共有 个,利用随机模拟的方法,估计圆周率 的近似值为
A. B. C. D.
6. 已知命题 ,;命题,.则下列判断正确的是
A. 是假命 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题
7. 直线 与圆 相交于 , 两点,则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 从集合 中随机选取一个数记为 ,从集合 中随机选取一个数记为 ,则直线 不经过第四象限的概率为
A. B. C. D.
9. 执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 ,则输出 的值为
A. B. C. D.
10. 设 为抛物线 的焦点, 、 、 为该抛物线上三点,若 ,则 等于
A. B. C. D.
11. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12. 已知点 分别为双曲线 的左、右焦点, 为双曲线左支上的任意一点,若 的最小值为 ,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题(共4小题;共20分)
13. 用反证法证明命题:“若 , 且 ,则 和 中至少有一个小于 ”时,应假设 .
14. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 中的两边 , 互相垂直,则三角形三边长之间满足关系:.若三棱锥 的三个侧面 ,, 两两互相垂直,则三棱锥的三个侧面积 ,, 与底面积 之间满足的关系为 .
15. 若关于 的不等式 对任意 恒成立,则实数 的取值范围是 .
16. 已知 为椭圆 上的动点, 为圆 的一条直径,则 的最大值为 .
三、解答题(共6小题;共70分)
17. 用综合法或分析法证明:
(1)如果 ,则 ;
(2).
18. 已知复数 ,试求:当实数 取什么值时,复数 为:
(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
19. 某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 分为优秀, 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部 人中随机抽取 人为优秀的概率为 .
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,是否有 的把握认为“成绩与班级有关系”.
参考公式与临界值表:.
20. 某公司经营一批进价为每件 百元的商品,在市场调查时发现,此商品的销售单价 (百元)与日销售量 (件)之间有如下关系:
相关公式:,.
(1)求 关于 的回归直线方程;
(2)借助回归直线方程请你预测,销售单价为多少百元(精确到个位数)时,日利润最大?
21. 已知抛物线 ,直线 与 交于 , 两点,且 ,其中 为原点.
(1)求抛物线 的方程;
(2)点 坐标为 ,记直线 , 的斜率分别为 ,,证明: 为定值.
22. 已知椭圆 : 的半焦距为 ,原点 到经过两点 , 的直线的距离为 .
(1)求椭圆 的离心率;
(2)如图, 是圆 : 的一条直径,若椭圆 经过 , 两点,求椭圆 的方程.
文科数学期末考试试题----答案
第一部分
1. D 2. D 3. D 4. D 5. C 6. C 7. A 8. A 9. C 10. B
11. C 【解析】(1)假设甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手的话都是错误的,与已知矛盾,故甲未获奖.(2)假设乙获奖,则甲、乙、丁三人的话都正确,与已知矛盾,故乙未获奖.(3)假设丙获奖,则甲、丙对,乙、丁错,符合题意.(4)假设丁获奖,则甲、丙、丁都错,乙正确,不符合题意,故丁未获奖.
12. B 【解析】设 ,根据双曲线定义:,所以 ,因为 的最小值为 ,所以(提示:根据“对勾函数”的特征) 或 ,此时 或 ,所以双曲线的离心率为 或 ,而离心率为 时,不符合题意.所以离心率为 .
第二部分
13. 和 都大于等于 14.
15. 或 16.
【解析】设圆 的圆心为 ,可得:,.
所以 .
由 为椭圆 上的动点,所以 最大值为 , 的最大值为 .
第三部分
17. (1) 当 时,有 ,
所以 ,
所以 .
(2) 要证 ,
只要证 ,
即 ,这是显然成立的,
所以,原不等式成立.
18. (1) 当复数 为实数时,
所以
所以 .
所以当 时,复数 为实数.
(2) 当复数 为虚数时,
所以
所以 且 .
所以当 时,复数 为虚数.
(3) 当复数 为纯虚数时,
所以
所以不存在实数 ,使复数 为纯虚数.
19. (1)
(2) ,没有 的把握认为成绩与班级有关.
20. (1) 因为 ,,所以,
.
于是得到 关于 的回归直线方程 .
(2) 销售价为 时的利润为 ,
当 时,日利润最大.
21. (1) 将 代入 ,得.
其中 ,设 ,,则 ,.
所以 .
由已知,,解得 ,所以抛物线 的方程为 .
(2) 由(1)知,,.
,
同理 ,,所以
22. (1) 过点 , 的直线方程为 ,则原点 到该直线的距离为
由 ,得 ,解得离心率为 .
(2) 方法一:
由(1)知,椭圆 的方程为
依题意,圆心 是线段 的中点,且 .
易知, 与 轴不垂直,设其方程为 ,代入 得
设 ,,则
由 ,得 ,解得 .
从而 .于是
由 ,得 ,解得 .
故椭圆 的方程为 .
方法二:
由(1)知,椭圆 的方程为
依题意,点 ,,关于圆心 对称,且 .
设 ,,则 ,,
两式相减并结合 ,,得
易知 与 轴不垂直,则 ,所以 的斜率 .
因此直线 的方程为 ,代入 得
所以 ,.于是
由 ,得 ,解得 .故椭圆 的方程为 .