高中数学选修2-2教案第一章 1_1 10页

‎1．1　归纳推理 明目标、知重点 ‎1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．‎ ‎2．了解归纳推理在数学发展中的作用．‎ ‎1．归纳推理的定义 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理．‎ ‎2．归纳推理的思维过程 大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．‎ ‎3．归纳推理具有如下的特点 ‎(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；‎ ‎(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；‎ ‎(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．‎ ‎[情境导学]‎ 佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠．”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去．带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．‎ 想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理．‎ 探究点一　归纳推理 思考1　在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？‎ 答　根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．‎ 思考2　观察下面两个推理，回答后面的两个问题：‎ ‎(1)哥德巴赫猜想：‎ ‎6＝3＋3‎ ‎8＝3＋5‎ ‎10＝3＋7‎ ‎12＝5＋7‎ ‎14＝7＋7‎ ‎16＝5＋11‎ ‎……‎ ‎1 000＝29＋971‎ ‎1 002＝139＋863‎ ‎……‎ 猜想：任何一个不小于6的偶数都可写成两个奇质数之和．‎ ‎(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．‎ 问题　①思考2中的两个推理在思维方式上有什么共同特点？‎ ‎②其结论一定正确吗？‎ 答　①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理)‎ ‎②其结论不一定正确．‎ 小结　归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．‎ 探究点二　归纳推理在数列中的应用 例1　已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．‎ 解　当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝＝；‎ 当n＝3时，a3＝＝；当n＝4时，a4＝＝.‎ 通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝.‎ 反思与感悟　归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．‎ 归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式．‎ 跟踪训练1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)‎ ‎(1)求a2，a3，a4，a5；‎ ‎(2)归纳猜想通项公式an.‎ 解　(1)当n＝1时，知a1＝1，‎ 由an＋1＝2an＋1得a2＝3，‎ a3＝7，a4＝15，a5＝31.‎ ‎(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，‎ a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，‎ 可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．‎ 探究点三　归纳推理在图形变化中的应用 例2　在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．‎ 答案　10　 解析　观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.‎ 将以上(n－1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋ ‎＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]‎ ‎＝[n(n＋1)(2n＋1)＋]‎ ‎＝.‎ 反思与感悟　解本例的关键在于寻找递推关系式：f(n)＝f(n－1)＋，然后用“叠加法”求通项．图形中的归纳推理问题主要涉及某固定图形的个数，所以可以转化成数列问题来求解，也可从图形的变化规律入手来求解．‎ 跟踪训练2　在平面内观察：‎ 凸四边形有2条对角线，‎ 凸五边形有5条对角线，‎ 凸六边形有9条对角线，‎ ‎…‎ 由此猜想凸n(n≥4且n∈N＋)边形有几条对角线？‎ 解　凸四边形有2条对角线，‎ 凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，‎ 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，‎ ‎……‎ 于是猜想凸n边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线．因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4且n∈N＋)．‎ 探究点四　归纳推理在算式问题中的应用 例3　观察下列等式，并从中归纳出一般法则．‎ ‎(1)1＝12，‎ ‎1＋3＝22，‎ ‎1＋3＋5＝32，‎ ‎1＋3＋5＋7＝42，‎ ‎1＋3＋5＋7＋9＝52，‎ ‎……‎ ‎(2)1＝12，‎ ‎2＋3＋4＝32，‎ ‎3＋4＋5＋6＋7＝52‎ ‎4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，‎ ‎5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，‎ ‎……‎ 解　(1)对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n项的和，等号的右端是项数的平方；对于(2)，等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n－1，等号的右端是项数的平方．‎ ‎∴(1)猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．‎ ‎(2)猜想结论：n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)．‎ 反思与感悟　对于运算式的猜测和推广，这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共同结构特点，其次是式子中出现的字母之间的关系，还有化简或运算的结果等等．另外要注意对较为复杂的运算式，不要化简，这样便于观察运算规律和结构上的共同点．‎ 跟踪训练3　在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中有怎样的不等式成立？‎ 答案　＋＋…＋≥(n≥3且n∈N＋)．‎ ‎1．已知 ＝2，＝3，＝4，…，若 ＝6(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________.‎ 答案　6　35‎ 解析　本题考查归纳推理能力，由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中，a＝6，b＝62－1＝35.‎ ‎2．将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2 3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎……………………‎ 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．‎ 答案　 解析　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，‎ 即个，‎ 因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，‎ 即为个．‎ ‎3．已知正项数列{an}满足Sn＝(an＋)，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.‎ 解　a1＝S1＝(a1＋)，又因为a1>0，所以a1＝1.‎ 当n≥2时，Sn＝(an＋)，Sn－1＝(an－1＋)，‎ 两式相减得：‎ an＝(an＋)－(an－1＋)，‎ 即an－＝－(an－1＋)．‎ 所以a2－＝－2，又因为a2>0，所以a2＝－1.‎ a3－＝－2，又因为a3>0，所以a3＝－.‎ a4－＝－2，又因为a4>0，所以a4＝2－.‎ 将上面4个式子写成统一的形式：a1＝－，‎ a2＝－，a3＝－，a4＝－，‎ 由此可以归纳推测：an＝－.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ 归纳推理的一般步骤 ‎(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；‎ ‎(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想．注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围．‎ 一、基础过关 ‎1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于(　　)‎ A．47 B．65 C．63 D．128‎ 答案　B 解析　5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，‎ 归纳可得：x＝26＋1＝65.‎ ‎2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)‎ A．f(x) B．－f(x)‎ C．g(x) D．－g(x)‎ 答案　D 解析　由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．‎ ‎3．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．‎ 答案　f(2n)> 解析　f(4)＝f(22)>，‎ f(8)＝f(23)>，‎ f(16)＝f(24)>，‎ f(32)＝f(25)＝.‎ ‎4．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：________________________________________________.‎ 答案　sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝ ‎5．观察分析下表中的数据：‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_______________________________________．‎ 答案　F＋V－E＝2‎ 解析　观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.‎ ‎6．设x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈N＋)的个位数字是________．‎ 答案　7‎ 解析　当n＝1时，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝9－2＝7，‎ 当n＝2时，x4＋x－4＝(x2＋x－2)2－2＝49－2＝47.‎ ‎∴猜想x2n＋x－2n的个位数字是7.‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．‎ 解　当n＝1时，S1＝a1＝1；‎ 当n＝2时，＝－2－S1＝－3，‎ ‎∴S2＝－；‎ 当n＝3时，＝－2－S2＝－，‎ ‎∴S3＝－；‎ 当n＝4时，＝－2－S3＝－，‎ ‎∴S4＝－.‎ 猜想：Sn＝－(n∈N＋)．‎ 二、能力提升 ‎8．如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为________．‎ 答案　①‎ 解析　观察图中每一行，每一列的规律，从形状和颜色入手．每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白．‎ ‎9．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．‎ 答案　an＝3n－1(n∈N＋)‎ 解析　观察新产生的一个三角形的周围伴随三个着色三角形的产生．∴an＝3n－1.‎ ‎10．观察下列等式 ‎12＝1‎ ‎12－22＝－3‎ ‎12－22＋32＝6‎ ‎12－22＋32－42＝－10‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为______________________．‎ 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1· 解析　观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.‎ ‎11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．‎ ‎(1)a1＝a，an＋1＝；‎ ‎(2)对一切的n∈N＋，an>0，且2＝an＋1.‎ 解　(1)由已知可得a1＝a，‎ a2＝＝，a3＝＝，‎ a4＝＝.‎ 猜想an＝(n∈N＋)．‎ ‎(2)∵2＝an＋1，‎ ‎∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，‎ ‎∴a1＝1.又2＝a2＋1，‎ ‎∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0，‎ ‎∵对一切的n∈N＋，an>0，∴a2＝3.‎ 同理可求得a3＝5，a4＝7，‎ 猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．‎ ‎12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．‎ ‎(1)3条直线最多将平面分成多少部分？‎ ‎(2)设n条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n＋1)与f(n)的关系；‎ ‎(3)求出f(n)．‎ 解　(1)3条直线最多将平面分成7个部分．‎ ‎(2)f(n＋1)＝f(n)＋n＋1.‎ ‎(3)f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋2＝.‎ 三、探究与拓展 ‎13．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1、b2、b3，并归纳出计算公式．‎ 解　b1＝＝(r＋p)；‎ b2＝＝[()2r＋p＋p]；‎ b3＝＝[()3r＋p＋p＋p]．‎ 归纳得bn＝[()nr＋p＋p＋…＋p]．‎