数学理卷·2018届湖北省孝感高中等鄂东南示范高中教改联盟高三上学期期中联考（2017 10页

‎2017年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟期期中联考 高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集是实数集都是的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，则的大小关系是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 设角为锐角的三个内角，则点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第三象限 ‎5. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.‎ 吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？ （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7. 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9. 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A．，的最小值为 B．，的最小值为 ‎ C．，的最小值为 D．，的最小值为 ‎10.已知点，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点，那么曲线关于曲线的关联点的个数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点点标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎12. 函数与的图象关于直线对称，分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则 ．‎ ‎14.对于任意两集合，定义且，‎ 记，则 ．‎ ‎15.若表示不超过的最大整数（如：等等），‎ 则 ．‎ ‎16.方程的实数解的个数为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角所对应的边分别为，且.‎ ‎（1）求角和角的大小；‎ ‎（2）若，将函数的图象向右平移个单位后又向上平移了 个单位，得到函数的图象，求函数的解析式及单调递减区间.‎ ‎18. 已知数列满足，其中为的前项和.‎ ‎（1）求及数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且的前项和为，求 的最大值和最小值.‎ ‎19.如图，五面体中，平面为直角梯形，‎ ‎.‎ ‎（1）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直与轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点.‎ ‎ ①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；‎ ‎②设过点垂直于的直线为 ，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数与在处有相同的切线，求的值；‎ ‎（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围.‎ ‎ （3）若，恒有成立，求实数的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线和公共弦的长度.‎ ‎23.设函数 . ‎ ‎（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；‎ ‎（2）若集合，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BACDD 6-10: CDAAB 11、A 12：D 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）中，因为，‎ 所以，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 即，即，所以，‎ 综上可得.‎ ‎（2）因为，所以，所以，‎ 令，‎ 故函数的单调递减区间为.‎ ‎18.解：（1）数列满足，则，‎ 即数列为以1为首项，以为公比的等比数列，‎ 所以，所以.‎ ‎（2）在数列中，，‎ 为的前项和，则 ‎ ‎，‎ 显然时，时.‎ ‎19.解：（1）证明：取的中点，连接，‎ 因为分别是的中点，所以且，‎ 因为，所以且，所以,‎ 又平面平面，所以平面.‎ ‎（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 不妨设，‎ 则，‎ ‎,‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ 令，得，‎ 同理可求平面的一个法向量为，‎ 平面和平面为同一个平面，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）由题意椭圆的焦距为2，且过点，‎ 所以，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）①设，则直线的方程为，‎ 令得，因为，因为，‎ 所以，因为在椭圆上，所以，‎ 所以为定值，‎ ‎②直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 则直线的方程为，‎ 所以直线过定点.‎ ‎21.解：（1）函数在处的切线方程为 ，‎ 由得，由得；‎ ‎（2），‎ 因为在定义域内部单调，所以在内有至少一个实根且曲线与不相切，‎ 因为，于是，‎ 所以知，所以，‎ ‎（3）当时，由得，当时；‎ 当时，，‎ 令，则问题转化为：当时，恒成立，当时，恒成立，‎ 而，当时，函数是单调函数，最小值为，‎ 为使恒成立，注意到，所以，即，‎ 同理，当时，，‎ 综上，当，即的最大值为2.‎ ‎22.（1）曲线的普通方程为.‎ ‎ 曲线的直角坐标方程：配方为.‎ ‎（2）公共弦长为.‎ ‎23.解：（1），此时.‎ ‎（2）的范围为.‎