数学理卷·2017届河北省衡水市冀州中学高三下学期寒假开学检测（2017 9页

河北冀州中学 ‎2016——2017学年下学期开学考试 高三年级理科数学试题 考试时间120分钟 试题分数150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1．满足条件的集合的个数是 （ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2．已知随机变量服从正态分布，且函数不存在零点的概率为0.08，则随机变量 （ ） ‎ A.0.08 B.0.42 C.0.84 D.0.16‎ ‎3．偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为 （ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4．若等差数列满足，则的前2016项之和 （ ）‎ A．1506 B．1508 C．1510 D．1512‎ ‎5．若，，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎6．在平面直角坐标系中，“直线与直线平行”是“”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎7．如图，正方体中，为棱的中点，‎ 用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则 剩余几何体的正视图（也称主视图）是 ( ) ‎ 8． 已知向量、，，，且，若在中，， ， ‎ ‎ 为中点，则的长为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、在矩形中，，在边上任取一点，的最大边是的概率是 A． B． C． D． （ ）‎ ‎10、已知，把数列的各项排成如图所示的 三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则 （ ） ‎ A．67 B．69 C．73 D．75‎ ‎11、过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，以为直径的圆的方程为，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎12、设函数，若是的极大值点，则的取值范围为A. B. C. D. （ ） ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若、满足约束条件，则的最大值　　　　．‎ ‎14．如图，是棱长均为1的正四棱锥，顶点 在平面内的正投影为点，点在平面 内的正投影为点，则 　　　　．‎ ‎15．　　　　．‎ ‎16．对于函数，有如下三个命题：‎ ‎①的单调递减区间为 ‎②的值域为 ‎③若，则方程在区间内有3个不相等的实根 其中，真命题是　　　　．（将真命题的序号填写在横线上）‎ 三.解答题：本题共小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分分) ‎ 中，角的对边分别为，已知. ‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）点为边上的一点，记，若， ‎ ‎，，求与的值。‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设猜中的概率分别为，且是否猜中互不影响．‎ ‎（1）求恰好获得4元的概率；‎ ‎（2）设获得的金额为元，求的分布列；‎ ‎（3）设获得的金额为元，获得的金额为元，判断所获得的金额的期望能否超过的期望与的期望之和．　‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图：四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，，点是的中点，点在边上移动．‎ ‎（1）证明：当点在边上移动时，总有；‎ ‎（2）当等于何值时，与平面所成角 的大小为45°．‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 给定椭圆：，称圆为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的短轴长为2，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，与其“伴随圆”交于、两点，‎ 当时，求面积的最大值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数,函数在 上为增函数，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值 ；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅲ）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分．‎ ‎22、（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点、．‎ ‎（I）若，求线段的中点的直角坐标；‎ ‎（II）若直线的斜率为，且过已知点，求的值．‎ ‎23、（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）‎ 已知函数（）．‎ ‎（I）若不等式的解集为或，求的值．‎ ‎（II）若对，，求实数的取值范围．‎ 开学考试理科数学答案 一、选择题:C B B D B B A D D A B A 二、填空题13、4；14、；15、；16、①②‎ ‎17.（Ⅰ）由已知，得 ，‎ ‎，， ‎ ‎. .…………..………………...4分 ‎ ‎（Ⅱ）在中，, ‎ ‎，. .………….. .…………...8分 为钝角，为锐角，，‎ 在中，由余弦定理，‎ 得，‎ 所以. .…………...…………...…………..…………...12分 ‎18．解：（1）恰好获得4元的概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎（2）的可能取值为0，4，6，12，‎ ‎，‎ ‎， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（3）的可能取值为0，4，6；的可能取值为0，4．‎ 因为，．．．．．．．8分 ‎，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 所以，‎ 所以，又，．．．．．．．．．．．11分 由于，所以所获得的金额的期望能超过的期望与的期望之和．．12分 ‎19、（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，‎ 建立如图所示空间坐标系 nku.com则可得P（0，0，1），B（0，1，0），‎ F（0，，），D（，0，0）‎ ‎ 设BE=x，则E（x，1，0） ∴=（x，1，﹣1） ‎ 得=x•0+1×+（﹣1）×=0‎ 可得，即AF⊥PE成立； ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）求出=（，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为 则，得 ‎ ‎∵PA与平面PDE所成角的大小为45°，=（0，0，1）‎ ‎∴sin45°==，得= ‎ 解之得x=或x= ∵BE=x， ‎ ‎∴BE=，即当CE等于时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．．．．．．．．12分 ‎ ‎20．解：（Ⅰ）由题意得，，又∵b=1，∴a2=3，‎ ‎∴椭圆C的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，‎ ‎①当CD⊥x轴时，由，得|AB|=．‎ ‎②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．．．．．．．．．．．6分 设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=．‎ 当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，‎ ‎=（1+k2）[﹣]，=，．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎=3+，=3+，≤3+=4，‎ 当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，‎ 此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 i21、解(1)因为，又 只需，且 所以...................3分 ‎(2)当m=0时，（x>0）...................4分 资当02e-1时,‎ ‎.....................7分 3． ‎....................8分 ‎................9分 ‎ ..........................10分 ‎， ....................12分 ‎22、解：（I）由曲线（为参数），‎ 可得的普通方程是． …………………………2分 当时，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线的普通方程，得， ……………………………3分 得，则线段的中点对应的，‎ 故线段的中点的直角坐标为． ……………………………5分 ‎（II）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简得 ‎， …………………………………7分 则，………………………9分 由已知得，故． ……………………………10分 ‎23．解：（I）；‎ 法一：由已知得，……2分 当，即，得；……3分 当，即，……4分 由已知的解集为或，则显然．……5分 法二：由已知易得的图象关于直线对称，……3分 又的解集为或，则，即．……5分 ‎（II）法一：不等式恒成立，即恒成立．‎ ‎……6分 当时，即恒成立，得，解得；……7分 当，即恒成立，得，解得；……8分 当，即恒成立，得，解得．……9分 综上得．……10分 法二：不等式恒成立，即恒成立，‎ 由图象可知在处取得最小值，……8分 而在处取得最大值，故，得．……10分