2021高考数学一轮复习课后限时集训74参数方程理北师大版 3页

课后限时集训74‎ 参数方程 建议用时：45分钟 ‎1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.‎ ‎(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；‎ ‎(2)求直线AM的参数方程．‎ ‎[解]　(1)由已知，点M的极角为，‎ 且点M的极径等于，‎ 故点M的极坐标为.‎ ‎(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．‎ 故直线AM的参数方程为 (t为参数)．‎ ‎2．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．‎ ‎[解]　(1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.‎ 同理曲线C2的普通方程为＋＝1.‎ C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．‎ ‎(2)当t＝时，P(－4,4)，又Q(8cos θ，3sin θ)．‎ 故M，‎ 又C3的普通方程为x－2y－7＝0，‎ 则M到直线C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|‎ ‎＝|3sin θ－4cos θ＋13|‎ 3‎ ‎＝|5sin(θ－φ)＋13|.‎ 所以d的最小值为.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N.‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ ‎[解]　(1)由ρsin2θ＝2acos θ，得ρ2sin2θ＝2aρcos θ，‎ 即曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax；‎ 由(t为参数)可知直线l过点(－2，－4)，且倾斜角为，∴直线l的斜率等于1，∴直线l的普通方程为y＋4＝x＋2，即y＝x－2.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y2＝2ax得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.‎ 设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，‎ ‎∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，‎ 即8(4＋a)2＝5×8(4＋a)．解得a＝1(舍去a＝－4)．‎ ‎4．(2019·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2＋y2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ－sin θ)＝6.‎ ‎(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出d的最大值．‎ ‎[解]　(1)由题意知，曲线C2的方程为2＋2＝1，其参数方程为(φ为参数)．直线l的直角坐标方程为2x－y－6＝0.‎ ‎(2)设P(cos φ，2sin φ)，φ∈[0,2π)，则点P到直线l的距离d＝＝，‎ 所以当sin＝－1时，‎ d取得最大值2，‎ 因为φ∈[0,2π)，‎ 3‎ 所以φ＝，‎ 则点P的坐标是.‎ 3‎