2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练29+等比数列及其前N项和 8页

课时分层训练(二十九)　‎ 等比数列及其前n项和 ‎ (对应学生用书第229页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列　　　　B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 D　[由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D．]‎ ‎2．(2018·三湘名校联盟模拟)在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有(　　) 【导学号：00090171】‎ A．3盏灯 B．192盏灯 C．195盏灯 D．200盏灯 C　[由题意设顶层的灯盏数为a1，‎ 则有S7＝＝381，解得a1＝3，∴a7＝a1×26＝3×26＝192，∴a1＋a7＝195.故选C．]‎ ‎3．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)‎ A．－3 B．－1 ‎ C．1　　　　　 D．3‎ D　[两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3，即q＝3.]‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ A．2 B．1‎ C． D． C　[法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，‎ ‎∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，‎ ‎∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C．‎ 法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，‎ 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，‎ 解得q＝2，‎ ‎∴a2＝a1q＝，故选C．]‎ ‎5．(2017·合肥二次质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，则下列说法正确的是(　　)‎ A．{an}是单调递减数列 B．{Sn}是单调递减数列 C．{a2n}是单调递减数列 D．{S2n}是单调递减数列 C　[设等比数列{an}的公比为q，则a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因为a2＝12，所以q4＝，则q2＝，所以数列{a2n}是首项为12，公比为的等比数列，则数列{a2n}为单调递减数列，故选C．]‎ 二、填空题 ‎6．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝__________.‎ ‎1　[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.]‎ ‎7．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.‎ ‎1　121　[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，‎ ‎∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，‎ ‎∴数列是公比为3的等比数列，‎ ‎∴＝3.‎ 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，‎ ‎∴S5＋＝×34＝×34＝，‎ ‎∴S5＝121.]‎ ‎8．(2017·深圳二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．‎ ‎ 【导学号：00090172】‎ ‎2n－＋1　[依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]‎ 三、解答题 ‎9．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝21，求S3.‎ ‎[解]　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1. 1分 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.① 2分 ‎(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②‎ 联立①和②解得(舍去)， 5分 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1. 7分 ‎(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.‎ 解得q＝－5或q＝4. 10分 当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21. 11分 当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6. 12分 ‎10．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.‎ ‎(1)求a4的值；‎ ‎(2)证明：为等比数列．‎ ‎[解]　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，‎ 即4＋5 ‎＝8＋1，‎ 解得a4＝.‎ ‎(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，‎ ‎4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，‎ 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．‎ ‎∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，‎ ‎∴4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，‎ ‎∴＝＝＝＝，‎ ‎∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·淮北模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则＝(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ A　[∵等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，‎ ‎∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，∵等比数列{an}中，a＝a1a3，‎ ‎∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.故选A．]‎ ‎2．(2018·长沙模拟)一个等比数列{an}的前3项的积为2，后3项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有________项. 【导学号：00090173】‎ ‎12　[设首项为a1，共有n项，公比为q.‎ 前3项之积为aq3＝2，后3项之积为aq3n－6＝4，‎ 两式相乘得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2，‎ 又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，‎ ‎∴aq＝64，则(aqn－1)n＝642，‎ ‎∴2n＝642，∴n＝12.]‎ ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N*)，‎ n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1. 2分 因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列． 5分 ‎(2)由(1)知an＝n－1，‎ 由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，‎ 得bn＋1－bn＝n－1. 7分 可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)‎ ‎＝2＋ ‎＝3·n－1－1(n≥2). 10分 当n＝1时也满足，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·n－1－1(n∈N*). 12分