专题57 推理与证明-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过 22页

‎（十八）推理与证明 ‎1．合情推理与演绎推理 ‎（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.‎ ‎（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.‎ ‎（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.‎ ‎2．直接证明与间接证明 ‎（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.‎ ‎（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.‎ ‎3．数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ 一、推理 ‎1．推理 ‎（1）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．推理一般包含两个部分：一是前提，是指已知的事实(或假设)；二是结论，是由已知判断推出的新的判断，即推理的形式为“前提结论”.‎ ‎（2）分类：推理．‎ ‎2．合情推理 ‎（1）定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理.‎ ‎（2）特点：‎ ‎①合情推理的结论是猜想，不一定正确；‎ ‎②合情推理是发现结论的推理.‎ ‎（3）分类：合情推理．‎ ‎（4）归纳推理和类比推理的定义、特征及步骤 名称 归纳推理 类比推理 定义 根据某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理 特征 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 步骤 ‎①通过观察部分对象发现某些相同性质 ‎ ‎②从已知的一个明确表达的一般性命题（猜想）中推出相似性或一致性 ‎ ‎①找出两类事物之间的相同性质 ‎ ‎②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)‎ ‎3．演绎推理 ‎（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎（2）特点：‎ ‎①演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确；若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的.‎ ‎②演绎推理是证明结论的推理．‎ ‎（3）模式：三段论是演绎推理的一般模式，即 ‎①大前提——已知一般的原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.‎ ‎【注】三段论常用的格式为：‎ 大前提：M是P.‎ 小前提：S是M.‎ 结论：S是P.‎ 二、证明 ‎1．直接证明——综合法与分析法 ‎（1）综合法 ‎①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．‎ ‎②框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证的结论)‎ ‎③思维过程：由因导果．‎ ‎（2）分析法 ‎①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．‎ ‎②框图表示：(其中P表示要证明的结论)‎ ‎③思维过程：执果索因．‎ ‎2．间接证明——反证法 ‎（1）定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.‎ ‎（2）反证法中的矛盾主要是指以下几方面：‎ ‎①与已知条件矛盾；‎ ‎②与假设矛盾；‎ ‎③与定义、公理、定理矛盾；‎ ‎④与公认的简单事实矛盾；‎ ‎⑤自相矛盾．‎ 三、数学归纳法 ‎（1）概念：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ‎ ‎①(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立； ‎ ‎②(归纳递推)假设时命题成立，证明当时命题也成立.‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.‎ 上述证明方法叫做数学归纳法.‎ ‎（2）框图表示：‎ ‎（3）用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．因此必须注意以下两点：‎ ‎①验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此，“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．‎ ‎②递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题成立，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次．‎ 考向一 合情推理 常见的类比、归纳推理及求解策略：‎ ‎（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：‎ ‎①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；‎ ‎②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．‎ ‎（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.‎ 典例1 有一个奇数组成的数阵排列如下：‎ ‎1 　 3 　 7 　 13 　 21 　 …‎ ‎5 9 15 23 … …‎ ‎11 17 25 … … …‎ ‎19 27 … … … …‎ ‎29 … … … … …‎ ‎… … … … … …‎ 则第30行从左到右第3个数是________．‎ ‎【答案】1051‎ ‎【技巧点拨】解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：‎ ‎①明确各行、各列数的排列顺序；‎ ‎②分别归纳各行、各列中数的规律；‎ ‎③按归纳出的规律写出第n行第m个数.解决此类问题一般需要转化为求数列的通项公式或前n项和等.‎ ‎1．设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知，四面体S−ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S−ABC的体积为V，则R等于 A． B．‎ C． D．‎ 考向二 演绎推理 ‎（1）演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.‎ ‎（2）演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析 推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.‎ 典例2 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点．因为在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中 A．大前提错误 B．小前提错误 ‎ C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【答案】A ‎2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ．‎ 考向三 直接证明 利用综合法、分析法证明问题的策略：‎ ‎（1）综合法的证明步骤如下：‎ ‎①分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；‎ ‎②转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.‎ ‎（2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可.‎ ‎（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径.‎ 典例3 已知，求证：.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎∴只需要证，‎ 即，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．‎ ‎【名师点睛】①逆向思考是用分析法证明的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．‎ ‎②证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.‎ ‎3．已知，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 考向四 间接证明 ‎1．用反证法证明不等式要把握的三点 ‎（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．‎ ‎（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.‎ ‎（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.‎ ‎2．反证法的一般步骤 用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤： ‎（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； ‎（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾； ‎（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立. 即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.‎ 典例4 用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是 A．自然数a，b，c中至少有两个偶数 B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 ‎【答案】B ‎ ‎【名师点睛】反证法证明含“至少”、“至多”型命题时，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.需注意“至少有一个”的否定为“一个都没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”.‎ ‎4．设是公比为q的等比数列．‎ ‎（1）推导的前n项和公式；‎ ‎（2）设q≠1，证明：数列不是等比数列．‎ 考向五 数学归纳法 应用数学归纳法的常见策略：‎ ‎（1）应用数学归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由n=k到n=k＋1时等式两边变化的项．‎ ‎（2）应用数学归纳法证明不等式，关键是由n=k成立证n=k＋1时也成立．在归纳假设后应用比较法、综合法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧．‎ ‎（3）应用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”，是不完全归纳与数学归纳法的综合应用，关键是先由合情推理发现结论，然后再证明结论的正确性.‎ 典例5 用数学归纳法证明+++>时，由k到k+1，不等式左边的变化是 A．增加项 B．增加和两项 C．增加和两项同时减少项 D．以上结论都不对 ‎【答案】C ‎【解析】n=k时，左边=+++；‎ ‎5．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an=0有一根为Sn－1(n∈N*)．‎ ‎（1）求a1，a2；‎ ‎（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．‎ ‎1．“有些指数函数是减函数，是指数函数，所以是减函数”上述推理 A．大前提错误 B．小前提错误 ‎ C．推理形式错误 D．以上都不是 ‎2．用反证法证明命题“若，则全为”，其反设正确的是 A．至少有一个不为 B．至少有一个为 C．全不为 D．中只有一个为 ‎3．若数列是等差数列，则数列（）也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列是等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知若，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．袋子里有编号为的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．‎ 甲说：“我无法确定.”‎ 乙说：“我也无法确定.”‎ 甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” ‎ 根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中 A．一定有3号球 B．一定没有3号球 ‎ C．可能有5号球 D．可能有6号球 ‎6．对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： ‎ ‎，仿此，若的“分裂数”中有一个是73，则m的值为 A．8 B．9 ‎ C．10 D．11‎ ‎7．如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为， 且到与的距离之比为，则的面积与的关系是 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师 B．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师 C．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师 D．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师 ‎9．图一是美丽的“勾股树”，它是分别以一个直角三角形的每一边向外作正方形而得到的.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．用数学归纳法证明“，”，则当时，应当在时对应的等式的左边加上 A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知函数，.‎ ‎（1）用分析法证明：；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎12．已知数列{an}的各项均为正数，，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）求函数f (x)=1＋x−ex的单调区间，并比较与e的大小；‎ ‎（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明.‎ ‎1．(2017年高考新课标II卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎2．（2017年高考北京卷）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎3．(2016年高考新课标II卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .‎ ‎4．(2015年高考山东卷)观察下列各式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎……‎ 照此规律，当时，‎ ‎ .‎ ‎5．(2015年高考湖南卷)设a>0，b>0，且.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）与不可能同时成立.‎ 变式拓展 ‎1．【答案】C ‎【规律总结】类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a′，b′，c′(a，b，c分别与a′，b′，c′相似或相同)，所以B类事物可能具有性质d′(d与d′相似或相同).‎ ‎2．【答案】丙 ‎【解析】若甲是获奖歌手，则四句全是假话，不合题意；‎ 若乙是获奖歌手，则甲、乙、丁都是真话，丙说假话，不合题意；‎ 若丁是获奖歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不合题意；‎ 当丙是获奖歌手时，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，符合题意.‎ 故答案为丙.‎ ‎3．【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎.‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 所以， ‎ 因此.‎ ‎4．【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎∴‎ ‎（2）假设是等比数列，则对任意的k∈N*，，‎ 即，，‎ ‎∵a1≠0，‎ ‎∴.‎ ‎∵q≠0，‎ ‎∴，‎ ‎∴q=1，这与已知矛盾．‎ ‎∴假设不成立，故不是等比数列．‎ ‎5．【答案】（1）a1=，a2=；（2）见解析.‎ SnSn－1－2Sn+1=0，解得Sn=.‎ 由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=.‎ 猜想Sn=(n∈N*)．‎ 下面用数学归纳法证明这个结论．‎ ‎①当n=1时，结论成立．‎ ‎②假设n=k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk=，‎ 当n=k+1时，Sk+1====.‎ 即当n=k+1时结论成立．‎ 由①②知Sn=对任意的正整数n都成立．‎ 考点冲关 ‎1．【答案】C ‎【解析】∵大前提的形式：“有些指数函数是减函数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】由反证法的定义：证明命题“若，则全为”，其反设为至少有一个不为.本题选择A选项.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】数列是等差数列，，且也为等差数列，正项数列是等比数列，设首项为，公比为，， 是等比数列，故选D.‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是时，则等号右边的数为，‎ 因此，令，则，n=10.本题选择C选项.‎ ‎5．【答案】D ‎【名师点睛】本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题 难度不大，认真审题是关键.‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由题意可得的“分裂数”为个连续奇数，设的“分裂数”中第一个数为，则由题意可得：，∴当时，，即73是的“分裂数”中的第一个数，故本题选B.‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】在平面几何中类比几何性质时，一般为：由平面几何点的性质，类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质，类比推理空间几何中面积的性质.‎ ‎∵，∴，∴，∴‎ ‎，∴，∵，∴，∴，即.‎ 故由：“”，类比到关于△OEF的面积与的结论是：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8．【答案】C 本题选择C选项.‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为，选D.‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】当n=k 时，左边为，‎ 当n=k+1时，左边为，‎ 所以左边增加的项为，选A.‎ ‎11．【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ 要证，‎ 只需证，‎ 只需证， ‎ 只需证，‎ 因为恒成立， ‎ 所以成立.‎ ‎（2）因为，当且仅当时取等号，‎ 又，‎ 所以由（1）得.‎ ‎【思路点拨】（1）要证原不等式成立，先将函数的表达式代入原不等式，两边乘以，可以得到一个显然成立的结论，由此证得原不等式成立.‎ ‎（2）利用（1）的结论，将（1）右边的二次函数配方，求出其最小值，由此可证得，而，由此可得.‎ ‎12．【答案】（1）f (x)的单调递增区间为(−∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)，0得0