数学文卷·2018届广西陆川县中学高三开学考试（2018 10页

广西陆川县中学2018年春季期高三开学基础知识竞赛 文科数学试题 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数的实部和虚部互为相反数，那么实数等于（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3. 已知平面向量，若与垂直，则（ ）‎ A． B．1 C．D．2‎ ‎4.已知实数满足约束条件，则的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎5.已知数列的通项公式是，前项和为，则数列的前11项和为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6.向量，，且∥，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于 ‎ （A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎8.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎10.已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎11.是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎12.设函数，其中，，存在使得 成立，则实数的值是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分； ‎ ‎13.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于______‎ ‎14.若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为________ ‎ ‎15.已知P为圆C：上任一点，Q为直线上任一点，‎ 则 的最小值为_________‎ ‎16.等比数列满足：，成等比数列，若唯一，则的值等于_______‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知内接于单位圆，角且的对边分别为，且 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）若求的面积．‎ ‎18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求出表中，及图中的值；‎ ‎（2）若该校高三学生有240人，试估计高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；‎ ‎（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，已知，，底面，且，，为的中点，在上，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎20. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点到直线的距离为2.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）椭圆下顶点为，直线（）与椭圆相交于不同的两点，当时，求的取值范围.‎ ‎21. 已知.（1）若函数的图象在点处的切线平行于直线，求的值；‎ ‎（2）讨论函数在定义域上的单调性；‎ ‎（3）若函数在上的最小值为，求的值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的倾斜角；‎ ‎（2）设点和交于两点，求.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式/的解集；‎ ‎（2）设，证明：.‎ 参考答案（文科）‎ 一、1 C2. A 3. B 4．B 5．D 6．C7．B 8．D 9．A 10．D 11．A 12．A 二、13. 4 14. -1 15. 16. ‎ ‎17．解：‎ ‎（1）‎ 又 …………4分 所以，即 …………6分 ‎（2）由（1）知，‎ ‎， …………8分 由，得 因此 …………12分 ‎18.【答案】‎ ‎（1）由分组内的频数是10，频率是0.25知，，‎ 所以.‎ 因为频数之和为40，所以，.‎ ‎，因为是对应分组的频率与组距的商，所以 ‎.‎ ‎（2）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间的人数为60人.‎ ‎（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间 内的人为，在区间内的人为，则任选2人共有，，，，，，，，，，，，，，15种情况，而两人都在内只能是一种，所以所求概率为.‎ ‎19.【答案】‎ ‎（1）证明：∵ 底面，底面，故；‎ 又，，因此平面，又平面，‎ 因此平面平面.‎ ‎（2）证明：取的中点，连接，则，且，又，故.又，，，又.‎ ‎∴，，且，故四边形为平行四边形，‎ ‎∴，又平面，平面，故平面.‎ ‎（3）解：由底面，∴的长就是三棱锥的高，.‎ 又，‎ 故.‎ ‎20.【答案】‎ ‎（1）设椭圆的右焦点为，依题意有 又，得，又，∴‎ ‎∴，∴椭圆的方程.‎ ‎（2）椭圆下顶点为，由消去，得 ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点 ‎∴，即 设，，则，‎ ‎∴‎ ‎∴中点坐标为 ‎∵，∴，∴，即，得 把代入，‎ 得，解得，∴的取值范围是.‎ ‎21.【答案】‎ ‎（1）‎ 由题意可知，故.‎ ‎（2）‎ 当时，因为，∴，故在为增函数；‎ 当时，由，得；由，得，‎ 所以增区间为，减区间为，‎ 综上所述，当时，在为增函数；当时，的减区间为，增区间为.‎ ‎（3）由（2）可知，当时，函数在上单调递增，‎ 故有，所以不合题意，舍去.‎ 当时，的减区间为，增区间为.‎ 若，即，则函数在上单调递减，‎ 则，∴不合题意，舍去.‎ 若，即时，函数在上单调递增.‎ ‎，所以不合题意，舍去.‎ 若，即时，，‎ 解得，综上所述，‎ ‎22.解：（1）由消去参数，得 即的普通方程为 由，得①‎ 将代入①得 所以直线的斜率角为.‎ ‎（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)‎ 即(为参数)，‎ 代入并化简得 设两点对应的参数分别为.‎ 则，所以 所以.‎ ‎23.（1）解：①当时，原不等式化为解得；‎ ‎②当时,原不等式化为解得，此时不等式无解；‎ ‎③当时，原不等式化为解.‎ 综上，或 ‎（2）证明，因为.‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，即证，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以成立.‎ 所以原不等式成立.‎