专题11 数列求和及数列的简单应用（仿真押题）-2017年高考数学（文）命题猜想与仿真押题 11页

‎1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 017＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B．0‎ C．－1 D．2‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：∵an＋1＝(an－1)2，又a1＝1，∴a2＝0，a3＝1，a4＝0，…，∴数列{an}的奇数项为1，∴a2 017＝1，故选A.‎ ‎2．已知正项数列{an}的前n项的乘积Tn＝(n∈N*)，bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中的最大值是(　　)‎ A．S6 B．S5‎ C．S4 D．S3‎ ‎【答案】：D ‎ 3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，则a2 017的值为(　　)‎ A．4 033 B．4 029‎ C．4 249 D．4 209‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：根据题意，不妨设f(x)＝x，则a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1，∴a2 017＝4 033.‎ ‎4．等差数列{an}中的a4，a2 016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，则loga1 010＝(　　)‎ A. B．2‎ C．－2 D．－ ‎【答案】：D ‎【解析】：因为f′(x)＝3x2－12x＋4，而a4和a2 016为函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，所以a4和a2 016为f′(x)＝3x2－12x＋4＝0的根，所以a4＋a2 016＝4，又a4，a1 010，a2 016成等差数列，所以2a1 010＝a4＋a2 016，即a1 010＝2，所以loga1 010＝－，故选D.‎ ‎5．已知数列{an}满足···…·＝(n∈N*)，则a10＝(　　)‎ A．e26 B．e29‎ C．e32 D．e35‎ ‎【答案】：C ‎6．设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】：D ‎【解析】：由S15＝＝15a8>0，得a8>0.由S16＝＝<0，得a9＋a8<0，所以a9<0，且d<0.所以数列{an}为递减数列．所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正．所以<0，<0，…，<0.又0a2>…>a8>0，所以0<<<…<.所以最大的项为，故选D.‎ ‎7．数列{an}满足：a1 ＝1，且对任意的m，n∈N*都有：‎ am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D ‎【解析】　法一　因为an＋m＝an＋am＋mn，则可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，则可猜得数列的通项an＝，‎ ‎∴＝＝2，‎ ‎∴＋＋＋…＋＝‎ ‎2 ‎＝2＝.故选D.‎ 法二　令m＝1，得an＋1＝a1＋an＋n＝1＋an＋n，∴an＋1－an＝n＋1，‎ 用叠加法：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝，‎ 所以＝＝2.‎ 于是＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2＝，故选D.‎ ‎8．设a1，a2，…，a50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有(　　)‎ A．11个 B．12个 C．15个 D．25个 ‎【答案】　A ‎【解析】　(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a＋a＋…＋a＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.‎ ‎9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝(　　)‎ A．1 300 B．2 600 C．0 D．2 602‎ ‎【答案】　B ‎ 10．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C ‎【解析】　f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，‎ a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，an＋1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，∴Sn＝＝1－.则数列{an}的前n项和的取值范围是.‎ ‎11．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A ‎12．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足＝ax，且f′(x)g(x)1，所以q＝2.则a1＝1.‎ 故数列{an}的通项为an＝2n－1.‎ ‎16．已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1＝1，且a2b2＝12，S3＋b2＝20.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝Sncos(anπ)(n∈N*)，求{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则a2b2＝(3＋d)q＝12，‎ S3＋b2＝3a2＋b2＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20，3d＋q＝11，q＝11－3d，‎ 则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d－3d2＝12，‎ 即3d2－2d－21＝0，‎ ‎(3d＋7)(d－3)＝0.‎ ‎∵{an}是单调递增的等差数列，∴d>0，‎ ‎∴d＝3，q＝2，an＝3＋(n－1)×3＝3n，bn＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知cn＝Sncos 3nπ ‎＝ ‎①当n是偶数时，‎ Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－S1＋S2－S3＋S4－…－Sn－1＋Sn＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝6＋12＋18＋…＋3n＝.‎ ‎②当n是奇数时，‎ Tn＝Tn－1－Sn ‎＝－n2－n ‎＝－(n＋1)2.综上可得，‎ Tn＝ ‎17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.‎ ‎(1)求证：{lgan}是等差数列；‎ ‎(2)设Tn是数列的前n项和，求Tn；‎ ‎(3)求使Tn>(m2－5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．‎ ‎ ‎ ‎(2)解　由(1)知，Tn＝‎ ‎3 ‎＝3 ‎＝3－.‎ ‎(3)解　∵Tn＝3－，‎ ‎∴当n＝1时，Tn取最小值.‎ 依题意有> (m2－5m)，解得－10，解得n>9或n<－10.‎ 因为n∈N*，所以使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.‎