高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：第四章综合检测 13页

第四章综合检测 时间120分钟，满分150分。‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)‎ ‎1．点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C．2 D. ‎[解析]　B点坐标为(0,2,3)，‎ ‎∴|OB|＝＝.∴应选B.‎ ‎2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．m＜ B．m＜0‎ C．m＞ D．m≤ ‎[答案]　A ‎[解析]　(－1)2＋12－‎4m＞0，∴m＜，故选A.‎ ‎3．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)‎ A．(1，－2)，5 B．(1，－2)， C．(－1,2)，5 D．(－1,2)， ‎[答案]　D ‎[解析]　圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为.‎ ‎4．直线l：y＝k(x＋)与圆C：x2＋y2＝1的位置关系是(　　)‎ A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交 ‎[答案]　D ‎[解析]　方法一：圆C的圆心(0,0)到直线y＝k(x＋)的距离d＝，‎ ‎∵d2＝＜＜1，‎ ‎∴所判断的位置关系为相交．‎ 方法二：直线l：y＝k(x＋)过定点(－，0)，而点(－，0)在圆C：x2＋y2＝1内部，故直线l与圆C相交．‎ ‎5．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－1 B．±1‎ C．－2 D．±2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵圆心坐标为(－，0)，‎ ‎∴|－|＝1，∴a＝±2.‎ ‎6．圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值为(　　)‎ A. B. C．5 D．10‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　圆C1与圆C2的圆心坐标分别为(0,0)，(3，－1)，则圆心距d＝，故2r＝，r＝.‎ ‎7．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0‎ C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵点(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，‎ ‎∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．‎ 设切线的斜率为k，‎ 又∵圆心为(2,0)，∴·k＝－1，解得k＝，‎ ‎∴切线方程为x－y＋2＝0.‎ ‎8．(2012－2013·江苏苏州模拟)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)‎ A．－1或 B．1或3‎ C．－2或6 D．0或4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d＝，故＝，解得a＝4，或a＝0.‎ ‎9．(2012～2013·北京东城区高三期末检测)直线l过点(－4,0)，且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为(　　)‎ A．5x＋12y＋20＝0‎ B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0‎ C．5x－12y＋20＝0‎ D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意，得圆心C(－1,2)，半径r＝5，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＋4＝0，解方程组得或即此时与圆C的交点坐标是(－4，－2)和(－4,6)，则|AB|＝8，即x＋4＝0符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，圆心C到直线l的距离d＝＝，又|AB|＝2，‎ 所以2＝8，解得k＝－，‎ 则直线l的方程为－x－y＋4×(－)＝0，‎ 即5x＋12y＋20＝0.‎ ‎10．(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于(　　)‎ A．3 B．2 C. D．1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　圆x2＋y2＝4的圆心O(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，弦AB的长|AB|＝2＝2.‎ ‎11．(2012－2013·山东威海模拟)若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为(　　)‎ A．－或 B. C．－或 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　方法一：∵|PQ|＝2×1×sin60°＝，圆心到直线的距离d＝＝，‎ ‎∴＝，解得k＝±.‎ 方法二：利用数形结合．如图所示，∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2＋y2＝1上，故不妨设P(0,1)，在等腰三角形POQ中，∠POQ＝120°，∴∠QPO＝30°，故∠PAO＝60°，∴k＝，即直线PA的斜率为.同理可求得直线PB的斜率为－.‎ ‎12．若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是(　　)‎ A．(0，] B．[，]‎ C．[0，] D．[0,1]‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　曲线y＝－表示的图形是一个半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范围是[0,1]，故选D.‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　设点P(0，b,0)，则 ＝‎ ，解得b＝－.‎ ‎14．(2012－2013·江苏扬州安宜高中期中)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　由(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay－1＝0，又因公共弦长为2，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即＝1.又a＞0，所以a＝1.‎ ‎15．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(0,5)，则过P作圆C的切线有且只有________条．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　由C(1，－2)，r＝2，‎ 则|PC|＝＝5>r＝2，‎ ‎∴点P在圆C外，∴过P作圆C的切线有两条．‎ ‎16．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．‎ ‎[答案]　(x－2)2＋(y－2)2＝2‎ ‎[解析]　∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝3，∵A到l的距离5，‎ ‎∴所求圆B的直径2r2＝2，即r2＝.‎ 设B(m，n)，则由BA⊥l得＝1，‎ 又∵B到l距离为，∴＝，‎ 解出m＝2，n＝2.‎ 故其方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.‎ 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．‎ ‎[解析]　∵AB的中点是(1,3)，kAB＝＝－，‎ ‎∴AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，‎ 即2x－y＋1＝0.‎ 令x＝0，得y＝1，‎ 即圆心C(0,1)．‎ ‎∴所求圆的半径为|AC|＝＝.‎ ‎∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.‎ ‎18．(本小题满分12分)(2012～2013·宁波高一检测)如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A‎1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．‎ ‎[解析]　以D为原点建立如图所示坐标系，‎ 则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．‎ 由于M为BD1的中点，所以M(，，)，取A‎1C1中点O1，则O1(，，a)，‎ 因为|A1N|＝3|NC1|，所以N为O‎1C1的中点，‎ 故N(，a，a)．‎ 由两点间的距离公式可得：‎ ‎|MN|＝ ‎＝a.‎ 规律总结：空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离公式求解．‎ ‎19．(本小题满分12分)已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.‎ ‎(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；‎ ‎(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值．‎ ‎[解析]　(1)∵圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为(3,0)．‎ ‎∵直线x－my＋3＝0与圆相切，‎ ‎∴＝2，解得m＝±2.‎ ‎(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝.‎ 由＝2得，‎ ‎2＋‎2m2‎＝‎20m2‎－160，‎ 解得m2＝9，故m＝±3.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4,0)，点P(x，y)为线段MN的中点．‎ ‎(1)求点P(x，y)的轨迹方程；‎ ‎(2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　(1)∵点P(x，y)是MN的中点，‎ ‎∴故 将用x，y表示的x0，y0代入到x＋y＝4中得(x－2)2＋y2＝1.此式即为所求轨迹方程．‎ ‎(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2,0)为圆心，以1为半径的圆．‎ 点Q到直线3x＋4y－86＝0的距离d＝＝16.‎ 故点P到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.‎ ‎21．(本小题满分12分)如图所示，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M，N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧，点M在点O正北方向，且|MO|＝‎3 km，点N到l1，l2的距离分别为‎4 km和‎5 km.‎ ‎(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；‎ ‎(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑到环境问题，要求校址到点O的距离大于‎4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于 km.求校址距离点O的最近距离．(注：校址视为一个点．)‎ ‎[解析]　(1)以城市开发中心O为原点，分别以l2、l1为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．‎ 根据题意，得M(0,3)，N(4,5)，‎ 故kMN＝＝，MN的中点为(2,4)，‎ ‎∴线段MN的垂直平分线方程为y－4＝－2(x－2)．‎ 令y＝0，得x＝4，故圆心A的坐标为(4,0)，半径r＝＝5.‎ ‎∴圆A的方程为(x－4)2＋y2＝25，‎ ‎∴的方程为(x－4)2＋y2＝25(0≤x≤4,3≤y≤5)．‎ ‎(2)设校址选在点B(a,0)(a＞4)，‎ 则≥时0≤x≤4恒成立，‎ 又y2＝25－(x－4)2，‎ 所以(8－‎2a)x＋a2－17≥0①对0≤x≤4恒成立．‎ 令f(x)＝(8－‎2a)x＋a2－17，‎ ‎∵a＞4，∴8－‎2a＜0.‎ ‎∴f(x)在[0,4]上为减函数，‎ 要使①恒成立，当且仅当 时，即 ‎∴a≥5，‎ 即校址距离点O的最近距离为‎5 km.‎ ‎22．(本小题满分12分)已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1.‎ 求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b ‎＋4取得最小值时，圆的方程．‎ ‎[分析]　根据条件可以判断出圆P被x轴截得的劣弧的圆心角为90°，建立起r，a，b之间的方程组，然后解出相应的a，b，r间的关系，最后借助于一元二次函数解决．‎ ‎[解析]　如下图所示，圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.‎ ‎∵圆P被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，‎ ‎∴∠APB＝90°.‎ 取AB的中点D，连接PD，‎ 则有|PB|＝|PD|，∴r＝|b|.‎ 取圆P截y轴的弦的中点C，连接PC，PE.‎ ‎∵圆截y轴所得弦长为2，‎ ‎∴|EC|＝1，∴1＋a2＝r2，‎ 即2b2－a2＝1.‎ 则a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2.‎ ‎∴当b＝1时，a2－b2－2b＋4取得最小值2，‎ 此时a＝1，或a＝－1，r2＝2.‎ 对应的圆为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，‎ 或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎∴使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时，对应的圆为 ‎(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2.‎ 规律总结：(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．‎ ‎(2)当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有()2＋d2＝r2.‎