专题16+圆锥曲线的基本量问题-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破 9页

专题16 圆锥曲线的基本量问题 ‎【自主热身，归纳总结】‎ ‎1、双曲线－＝1的渐近线方程为________．‎ ‎【答案】： x±2y＝0　‎ 把双曲线方程中等号右边的1换为0，即得渐近线方程．‎ 该双曲线的渐近线方程为－＝0，即x±2y＝0.‎ ‎2、 已知椭圆C的焦点坐标为F1(-4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，则椭圆C的标准方程为  ．‎ ‎【解析】 AF1+ AF2=，椭圆C的标准方程为．‎ ‎3、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，)，则双曲线C的焦距为________．‎ ‎【答案】. 4　‎ 解法1 与双曲线x2－＝1有公共的渐近线的双曲线C的方程可设为x2－＝λ，又它经过点P(－2，)，故4－1＝λ，即λ＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，故a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4.‎ 解法2 因为双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，且双曲线C过点P(－2，)，它在渐近线y＝－x的下方，而双曲线C与x2－＝1具有共同的渐近线，所以双曲线C的焦点在x轴上，设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，从而解得从而c＝2，故双曲线C的焦距为4.‎ ‎4、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是  ．‎ ‎【解析】 由，得． ‎ ‎【变式2】、已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．‎ ‎【答案】 －1‎ ‎　解法1　由抛物线方程可得，焦点为F；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c)．故＝c，将y＝c代入椭圆方程可得x＝±.又抛物线通径为2p，所以2p＝＝4c，所以b2＝a2－c2＝2ac，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1.‎ 解法2　由抛物线方程以及直线y＝可得，Q.又＝c，即Q(2c，c)，代入椭圆方程可得＋＝1，化简可得e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2，e2＝3＋2＞1(舍去)，即e＝＝－1(负值舍去)．‎ 解后反思 本题是典型的在两种曲线的背景下对圆锥曲线的几何性质的考查．这类问题首先要明确不同曲线的几何性质对应的代数表示．本题有两个解法，解法1将直线y＝c与抛物线、椭圆相交所得弦长求出后，利用等量关系求离心率，其所得等量关系比解法2简单．‎ ‎【变式3】、如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为 .‎ ‎【答案】： ‎ 思路分析1：由于，故可将Q点的坐标用A，P的坐标表示出来，利用点Q在椭圆上，得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。‎ 解法1因为是等腰三角形，所以，故，又，所以 ‎，由点在椭圆上得，解得，故离心率。‎ 思路分析2：由于点Q是直线AP与椭圆的交点，故将直线AP方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点Q的坐标，再由得到点Q的坐标，由此得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。‎ 解法2 因为是等腰三角形，所以，故设直线与椭圆方程联立并消去得：，从而，即，又由，得，故，即，故。‎ ‎【关联1】、在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．‎ ‎【答案】. (1，)　‎ ‎【解析】：双曲线的渐近线为y＝x，y＝－x，依题意有－>－1，即bb>0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．‎ 规范解答 (1)由题意知，＋＝1,2a＝4. (2分)‎ 解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1. (4分)‎ ‎(2) 解法1 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则ON的中点坐标为，PM的中点坐标为.‎ 因为四边形POMN是平行四边形，所以即(6分)‎ 由点M，N是椭圆C上的两点，‎ 所以(8分)‎ 解得或 (12分)‎ 由得由得 所以点M，点N(2,0)；或点M(－2,0)，‎ 点N.(14分)‎ 解法2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为四边形POMN是平行四边形，所以＝＋，‎ 所以(x2，y2)＝＋(x1，y1)，即(6分)‎ 由点M，N是椭圆C上的两点，‎ 所以 (8分)‎ 用②－①得x1＋2y1＋2＝0，即x1＝－2－2y1，‎ 代入(1)中得3(－2－2y1)2＋4y＝12，整理得2y＋3y1＝0，所以y1＝0或y1＝－，于是或(12分)‎ 由得由得 所以点M，点N(2,0)；或点M(－2,0)，‎ 点N.(14分)‎ 解法3 因为四边形POMN是平行四边形，所以＝，‎ 因为点P，所以|MN|＝|OP|＝＝，且kMN＝kOP＝，(6分)‎ 设直线MN方程为y＝x＋m(m≠0)，‎ 联立得3x2＋3mx＋m2－3＝0，(*)‎ 所以Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)>0，即m2－12<0，从而m∈(－2，0)∪(0,2)，‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，(8分)‎ 且|MN|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，‎ 又知|MN|＝，所以·＝，‎ 整理得m2－9＝0，所以m＝3或m＝－3.(12分)‎