数学卷·2018届河北省保定市博野中学高二上学期第二次月考数学试卷（理科） （解析版） 17页

‎2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（上）第二次月考数学试卷 （理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．已知某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩．现抽取农田480亩估计全乡农田粮食平均亩产量，则采用（　　）抽样比较合适．‎ A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎2．根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0‎ ‎3．某班学生父母年龄的茎叶图如图，左边是父亲年龄，右边是母亲年龄，则该班同学父亲的平均年龄比母亲的平均年龄大（　　）‎ A．2.7岁 B．3.1岁 C．3.2岁 D．4岁 ‎4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（　　）‎ A．1﹣ B．‎ C．1﹣ D．与a的取值有关 ‎5．在箱子里装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子里；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x+y是10的倍数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎7．用秦九韶算法计算函数f（x）=2x5+3x4+2x3﹣4x+5当x=2时的函数值为（　　）‎ A．100 B．125 C．60 D．64‎ ‎8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎9．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（　　）‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 ‎10．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　）‎ A．180 B．90 C．45 D．360‎ ‎12．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接答在答题纸上）‎ ‎13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取　　名学生．‎ ‎14．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]‎ 后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为　　．‎ ‎15．我校开展“爱我河南，爱我方城”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，计算的平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是　　．‎ ‎16．若（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+…+a2014+a2016等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=，cosC=‎ ‎（Ⅰ）求a：b：c；‎ ‎（Ⅱ）若|+|=，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知数列{an}满足a1=4，an+1=3an﹣2（n∈N+）‎ ‎（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎19．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．‎ ‎（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．‎ ‎（Ⅱ） 第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）‎ ‎20．现有3个人去参加某娱乐活动，该活动有甲乙两个游戏可供参加之选择，为增加趣味项，约定：每个人通过投掷一枚质地均匀的骰子决定自已去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎（1）求这4个人恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎（3）用X、Y分别表示着4个人中取参加甲乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望．‎ ‎21．有5名学生的数学和化学成绩如表所示：‎ 学生学科 A B C D E 数学成绩（x）‎ ‎88‎ ‎76‎ ‎73‎ ‎66‎ ‎63‎ 化学成绩（y）‎ ‎78‎ ‎65‎ ‎71‎ ‎64‎ ‎61‎ ‎（1）如果y与x具有相关关系，求线性回归方程；‎ ‎（2）预测如果某学生数学成绩为79分，他的化学成绩为多少（结果保留整数）？‎ ‎==，‎ ‎=﹣．‎ ‎22．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．‎ ‎（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；‎ ‎（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（上）第二次月考数学试卷 （理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．已知某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩．现抽取农田480亩估计全乡农田粮食平均亩产量，则采用（　　）抽样比较合适．‎ A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】农田粮食平均亩产量，受到家土地的影响，抽取农田480亩估计全乡农田粮食平均亩产量，应该用分层抽样法．‎ ‎【解答】解：∵农田粮食平均亩产量，受到家土地的影响，‎ ‎∴抽取农田480亩估计全乡农田粮食平均亩产量，应该用分层抽样法，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（　　）‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎﹣0.5‎ ‎0.5‎ ‎﹣2.0‎ ‎﹣3.0‎ A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．‎ ‎【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．某班学生父母年龄的茎叶图如图，左边是父亲年龄，右边是母亲年龄，则该班同学父亲的平均年龄比母亲的平均年龄大（　　）‎ A．2.7岁 B．3.1岁 C．3.2岁 D．4岁 ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据，计算平均数即可．‎ ‎【解答】解：由茎叶图可知，20位母亲的年龄平均数为 ‎=×（35+36+37+38+38+40+44+43+42+41+45+46+41+41+43+44+50+51+50+52）=42.85，‎ ‎20位父亲的年龄平均数为 ‎=×（39+38+39+39+42+44+41+45+43+49+42+48+48+47+50+55+54+51+54+53）=46；‎ 所以父亲的平均年龄比母亲的平均年龄大 ‎﹣=46﹣42.85=3.15≈3.2（岁）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（　　）‎ A．1﹣ B．‎ C．1﹣ D．与a的取值有关 ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解．‎ ‎【解答】解：利用几何概型求解，‎ 图中阴影部分的面积为：‎ ‎，‎ 则他击中阴影部分的概率是：‎ ‎=1﹣，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．在箱子里装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子里；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x+y是10的倍数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】所有的读数（x，y）共有10×10=100个，其中满足x+y是10的倍数的用列举法求得共计10个，从而求得x+y是10的倍数的概率．‎ ‎【解答】解：所有的读数（x，y）共有10×10=100个，其中满足x+y是10的倍数的有（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（5，5），‎ ‎（9，1）、（8，2）、（7，3）、（6，4）、（10，10），共计10个，‎ 故x+y是10的倍数的概率为 =，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），‎ 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，‎ 解得：a=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．用秦九韶算法计算函数f（x）=2x5+3x4+2x3﹣4x+5当x=2时的函数值为（　　）‎ A．100 B．125 C．60 D．64‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f（x）=（（（（2x+3）x+2）x+0）x﹣4）x+5．从内到外的顺序依次计算一次多项式当x=2时的值：v0；v1；v2；v3；v4；v5．即可得出．‎ ‎【解答】解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：‎ f（x）=（（（（2x+3）x+2）x+0）x﹣4）x+5．‎ 从内到外的顺序依次计算一次多项式当x=2时的值：‎ v0=2；‎ v1=2×2+3=7；‎ v2=v1×2+2=16；‎ v3=v2×2+0=32；‎ v4=v3×2﹣4=60；‎ v5=v4×2+5=125．‎ 所以，当x=2时，多项式的值等于125．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4．‎ ‎【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，‎ 因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序．‎ 故输出的n的值为4．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（　　）‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】分类讨论，最前排甲；最前只排乙，最后不能排甲，根据加法原理可得结论．‎ ‎【解答】解：最前排甲，共有=120种，最前只排乙，最后不能排甲，有=96种，‎ 根据加法原理可得，共有120+96=216种．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，‎ ‎∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，‎ ‎∴△≥0‎ ‎∴a2+b2≥π 试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}‎ ‎∴S=（2π）2=4π2，‎ 而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，‎ ‎∴s=4π2﹣π2=3π2，‎ 由几何概型公式得到P=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　）‎ A．180 B．90 C．45 D．360‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．‎ ‎【解答】解：由于（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，故n=10，‎ 故（+）10展开式的通项公式为 Tr+1=•2r•，令5﹣=0，求得 r=2，‎ ‎∴展开式中的常数项是•22=180，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】等可能事件．‎ ‎【分析】从条件知质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，本题考查的是独立重复试验，因此质点P移动5次后位于点（2，3）质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．‎ ‎【解答】解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，‎ 因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为 故选B ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接答在答题纸上）‎ ‎13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取　60　名学生．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．‎ ‎【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，‎ 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，‎ 故答案为：60．‎ ‎　‎ ‎14．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为　71　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分 ‎【解答】解：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，‎ 设[70，80）的小长方形面积为x，则（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，‎ 解得x=0.3，即该组频率为0.3，‎ 所以本次考试的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．‎ 答案：71‎ ‎　‎ ‎15．我校开展“爱我河南，爱我方城”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，计算的平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是　1　．‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】由题意，得到作品A的所有成绩，由平均数公式得到关于x的等式解之．‎ ‎【解答】解：由题意，作品A去掉一个最高分和一个最低分后，得到的数据为89，89，92，93，90+x，92，91，‎ 由平均数公式得到=91，解得x=1；‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．若（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+…+a2014+a2016等于　﹣22015　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，可得：当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，‎ ‎∴当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，‎ 当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，‎ 当x=0时，22015=a0．‎ ‎∴a2+a4+…+a2014+a2016=﹣22015．‎ 故答案为：﹣22015．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=，cosC=‎ ‎（Ⅰ）求a：b：c；‎ ‎（Ⅱ）若|+|=，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π﹣（A+C）]展开即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（ I ）依题设：sinA===，‎ sinC===，‎ 故cosB=cos[π﹣（A+C）]‎ ‎=﹣cos （A+C）‎ ‎=﹣（cosAcosC+sinAsinC）‎ ‎=﹣（﹣）‎ ‎=．‎ 故sinB===，‎ 从而有：sinA：sinB：sinC=：： =4：5：6‎ 再由正弦定理易得：a：b：c=4：5：6．‎ ‎（ II ） 由（ I ）知：不妨设：a=4k，b=5k，c=6k，k＞0．故知：||=b=5k，||=a=4k．‎ 依题设知：||2+||2+2||||cosC=46⇒46k2=46，又k＞0⇒k=1．‎ 故△ABC的三条边长依次为：a=4，b=5，c=6．‎ 故有S△ABC=absinC==．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}满足a1=4，an+1=3an﹣2（n∈N+）‎ ‎（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（I）由an+1=3an﹣2（n∈N+），变形为an+1﹣1=3（an﹣1），即可证明．‎ ‎（II）由（I）可得log3（an﹣1）=n．可得bn=1+2+…+n=．可得==2．利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】（I）证明：∵an+1=3an﹣2（n∈N+），‎ ‎∴an+1﹣1=3（an﹣1），‎ ‎∴数列{an﹣1}为等比数列，a1﹣1=3．‎ ‎∴an﹣1=3n，‎ ‎∴．‎ ‎（II）解：由（I）可得log3（an﹣1）=n．‎ ‎∴bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1）=1+2+…+n=．‎ ‎∴==2．‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=+…+‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎19．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．‎ ‎（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．‎ ‎（Ⅱ） 第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．‎ ‎【分析】（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，利用列举法求出基本事件个数，并找出可使|a﹣b|＞1发生的基本事件个数．由此能求出事件“|a﹣b|＞1”的概率．‎ ‎（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，利用几何概型能求出此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，‎ 从这6次射击成绩中随机抽取两个，‎ 基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，‎ ‎{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，‎ ‎{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个，…‎ 其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．‎ 故．…‎ ‎（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，‎ 则着弹点就不能落在分别以6为中心，‎ 半径为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分…‎ 因为，…‎ 满足题意部分的面积为，…‎ 故所求概率为．…‎ ‎　‎ ‎20．现有3个人去参加某娱乐活动，该活动有甲乙两个游戏可供参加之选择，为增加趣味项，约定：每个人通过投掷一枚质地均匀的骰子决定自已去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎（1）求这4个人恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎（3）用X、Y分别表示着4个人中取参加甲乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）依题意这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为，由此能求出这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．‎ ‎（2）设“这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数“为事件B，则B=A3∪A4，又A3，A4互斥，由此能求出 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．‎ ‎（3）由题意ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．‎ ‎【解答】解：（1）依题意这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，‎ 去参加乙游戏的概率为，‎ 设“这4个人中恰好有i人去参加甲游戏“为事件Ai（i=0，1，2，3，4），‎ ‎∴这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：‎ P（A3）==．‎ ‎（2）设“这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数“为事件B，‎ 则B=A3∪A4，又A3，A4互斥，‎ ‎∴P（B）=P（A3）+P（A4）=+=．‎ ‎（3）由题意ξ的所有可能取值为0，2，4，‎ 由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，‎ 故P（ξ=0）=P（A2）=，‎ P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，‎ P（ξ=4）=P（A0+A4）=，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎2‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎∴E（ξ）=0×+2×+4×=．‎ ‎　‎ ‎21．有5名学生的数学和化学成绩如表所示：‎ 学生学科 A B C D E 数学成绩（x）‎ ‎88‎ ‎76‎ ‎73‎ ‎66‎ ‎63‎ 化学成绩（y）‎ ‎78‎ ‎65‎ ‎71‎ ‎64‎ ‎61‎ ‎（1）如果y与x具有相关关系，求线性回归方程；‎ ‎（2）预测如果某学生数学成绩为79分，他的化学成绩为多少（结果保留整数）？‎ ‎==，‎ ‎=﹣．‎ ‎【考点】可线性化的回归分析；线性回归方程；回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】（1）根据最小二乘法，计算出回归系数，可得线性回归方程；‎ ‎（2）根据（1）中线性方程，将x=79代入计算，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得： =（88+76+73+66+63）=73.2；‎ ‎=（78+65+71+64+61）=67.8；‎ ‎∴=27174， =25054，‎ ‎∴==≈0.625，‎ ‎=﹣=22.05，‎ ‎∴线性回归方程=0.625x+22.05‎ ‎（2）当x=79时， =0.625×79+22.05=71.425，‎ 即当某学生数学成绩为79分，他的化学成绩约为71．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．‎ ‎（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；‎ ‎（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由△DSB的中位线定理，得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．‎ ‎（Ⅱ）法一：由DC⊥SA，DC⊥DA，得DC⊥平面SAD，从而AM⊥DC，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM⊥平面SDC，进而SC⊥AM，由SC⊥AN，能证明平面SAC⊥平面AMN．‎ 法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明平面SAC⊥平面AMN．‎ ‎（Ⅲ）法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ，由已知得∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．‎ 法二：分别求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．‎ ‎【解答】（选修2一1第109页例4改编）‎ ‎（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，‎ ‎∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点． ‎ ‎∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．‎ ‎∴ME∥SB．…‎ 又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，‎ ‎∴SB∥平面ACM．…‎ ‎（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，‎ ‎∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．‎ 又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．‎ ‎∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…‎ 由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．‎ 又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…‎ ‎（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 由SA=AB，可设AB=AD=AS=1，‎ 则．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴，即有SC⊥AM…‎ 又SC⊥AN且AN∩AM=A．∴SC⊥平面AMN． 又SC⊂平面SAC，‎ ‎∴平面SAC⊥平面AMN．…‎ ‎（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．‎ 作FQ⊥AC于Q，连结MQ．‎ ‎∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．‎ ‎∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．‎ ‎∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．‎ ‎∴∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角． …‎ 设SA=AB=a，在Rt△MFQ中，，‎ ‎∴．‎ ‎∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为． …‎ ‎（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，‎ ‎∴是平面ABCD的一个法向量，．‎ 设平面ACM的法向量为，，‎ 则即，∴‎ 令x=﹣1，则．…‎ ‎，‎ 由作图可知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角 ‎∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．…‎ ‎　‎