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- 2021-06-21 发布
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林芝市二高2017-2018学年第一学期第一学段考试高二年级数学试卷
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1. 不等式的解集为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于方程的解为,,所以不等式的解集为,故选A.
2. 观察下列数的特点,中,其中为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析:观察下列数的特点,1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…,可知:1+1=2,1+2=3,2+3=5,∴5+8=x.得到x=13.故选:B.
考点:数列的概念及简单表示法.
3. 已知平面向量,则向量( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得,故选D.
4. 若为正数,则的最小值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为正数,故由基本不等式得:,故的最小值是25,当且仅当时等号成立,故选C.
点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
5. 已知向量,若,则( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 20
【答案】D
【解析】根据题意,向量,若,则有,即,,则,故选D.
6. 在等差数列中,,那么 ( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
【答案】B
【解析】 ,选B.
7. 中,角的对应边分别为,若,则等于( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由正弦定理有:,据此可得:.
本题选择A选项.
8. 与的等差中项是( )
A. B. C. D.
【答案】C
考点:等比中项。
9. 已知,则等于( )
A. B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】由,得:,故选C.
10. 在平行四边形中,与交于点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
11. 的内角的对应边分别为.已知,则( )
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】由余弦定理: ,即: ,
整理可得: ,三角形的边长为正数,则: .
本题选择D选项.
12. 已知等比数列中,,则项数( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】D
【解析】∵等比数列中,,∴,解得,故选D.
二、填空题:(本大题4小题,每小题5分,共20分。)
13. 已知向量,则向量的夹角的余弦值为________.
【答案】
【解析】设向量的夹角为,,∵,∴,即向量的夹角的余弦值为,故答案为.
14. 已知为等差数列,,则________.
【答案】2
【解析】试题分析:由等差数列的性质可得.
考点:等差数列的性质.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质,属容易题.法一:
根据等差数列的通项公式可将均用首相和公差表示,即可求得的值.法二根据等差数列的性质:若,则,即可求得的值.显然第二种方法比第一种简单快捷.
15. 已知等差数列的前项和, 那么________.
【答案】18
【解析】由得:,故答案为18.
16. 已知实数满足,则最小值为________.
【答案】
【解析】
由得,作出不等式对应的可行域(阴影部分),
平移直线由平移可知当直,
经过点B(1,1)时,直线的截距最大,此时z取得最小值,
将B的坐标代入,
即目标函数y的最小值为−1.
故答案为:−1.
三、解答题:(本大题6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. 等差数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)求出数列前项和的最大值.
【答案】(1);(2);(3)240
【解析】试题分析:(1)根据等差数列的定义列出关于首项和公差的一元一次方程组,解出方程组,可得其通项公式;(2)根据等差数列前项和公式可得结果;(3)利用二次函数的性质可得最大值.
试题解析:由题可知:(1)设等差数列的首项为,公差为,则,
所以
(2)由(1)可得:
(3)由(2)可得:
,
所以当时,取得最大值
点睛:本题主要考查了等差数列的通项公式,前n项和的最值,最常见的有2种方法:1、函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解;2:邻项变号法:当,时,满足的项数使得取得最小值为
18. 在四边形中,,.
(1)求的长及;
(2)求的长.
【答案】(1);(2)4
【解析】试题分析:(1)在中,对角B利用余弦定理可求得的值,已知三条边,再次根据余弦定理可求得;(2)结合(1)中的结果可得为直角三角形,故而可得的值.
试题解析:由题可知:(1)在中,,
,
∴
(2)由(1)可得:在中,
,∴
所以为直角三角形,∴
点睛:此题考查了余弦定理的应用,利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系,熟练掌握定理是解本题的关键.在中,涉及三边三角,知三(除已知三角外)求三,可解出三角形,当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,运用正弦定理求解;当涉及三边或两边及其夹角时,运用余弦定理求解.
19. 已知向量的坐标分别是,求:
(1)的夹角的余弦值;
(2) 及 .
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由向量夹角的坐标运算公式可得结果;(2)由可得模长,根据可得结果.
试题解析:由题可知(1)
,∴
(2)
20. 已知数列满足.
(1)证明数列是等差数列,并求出它的通项公式;
(2)数列满足,求的前项和.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由题意得,根据等差数列的定义可得
是等差数列,结合首项和公差可得通项公式;(2)由(1)得,利用裂项相消法可求的前项和.
试题解析:由题可知(1),∴,
∴是以首项为2,公差为1的等差数列,故
(2)由(1)可得
∴,
点睛:本题主要考查了等差数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于,其中和分别为特殊数列,裂项相消法类似于,错位相减法类似于,其中为等差数列,为等比数列等.
21. 解下列不等式:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1);(2);(3)
【解析】试题分析:(1)首先利用求根公式求出对应方程的根,即可解除一元二次不等式的解集;(2)首先将二次项系数转化为正数,利用求根公式解出对应的方程,即得结果;(3)由于对应的方程无解,并且二次项系数为正,故不等式的解集为空集.
试题解析:由题可知(1)先解,其中
∴,∴的解集为
(2)等式两边同乘得:,先解,其中
∴,∴的解集为
(3)先解,其中
∴,∴的解集为
22. 三角形的内角的对应边分别为,.
(1)求的大小;
(2)若,解三角形.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)对等式运用余弦定理将角化为边,可得;(2)结合(1)中的结论,根据三角形内角和及运用余弦定理可解出三角形.
试题解析:由题可知(1)
由余弦定理:
,
(2)由(1)可得三角形为等腰三角形
又,
又,