高中数学选修2-2公开课课件2_1_1 合情推理 41页

第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 　合情推理 从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先生 . 先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字 . 学到这里，儿子就告诉父亲说： “我已经学会了写字，不 用先生再教了 .” 于是， 财主就把教书先生给辞退了 . 一天，财主要邀请一位姓万的朋友，叫儿子写张请帖 . 财主的儿子怎么写的 ? 1. 理解归纳推理、类比推理的概念，掌握归纳 推理、类比推理的方法技巧 . ( 重点 ) 2. 掌握归纳法的步骤，体会归纳推理、类比推理 在数学发现中的作用． ( 难点 ) 探究点 1 归纳推理 【1】1742 年哥德巴赫 (Goldbach ,1690 ～ 1764, 是德国一位中学教师 , 也是一位著名的数学家 , 1725 年当选为俄国彼得堡科学院院士 ) 观察到 : 猜想 : 任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和 . 任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和 . 哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想的过程： 具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论 【3】 成语“一叶知秋” 【2】 统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验 , 进而对整体作出推断 . 意思是从一片树叶的凋落 , 知道秋天将要来到 . 比喻由细微的迹象看出整体形势的变化 , 由部分推知全体 . 由某类事物的 具有某些特征 , 推出 该类事物的 都具有这些特征的推理 , 或者由 概括出 的推理 , 称为 归纳推理 （简 称归纳） . 归纳推理 特点：部分→ 整体，个别→ 一般 . 铜、铁、铝、金、银等金属都能导电， 猜想 : 所有金属都导电 . 又如 猜想 : 部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 分析： 数列的通项公式表示的是数列 { a n } 的第 n 项 a n 与序号 n 之间的对应关系 . 为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项 . 例 1. 已知数列 { a n } 的第 1 项 a 1 =1, 且 ( n =1, 2, … ) ，试归纳出这个数列的通项公式 . 解 : 当 n =1 时， a 1 =1; 当 n =2 时， 当 n =3 时， 当 n =4 时， 观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数 . 由此猜想，这个数列的通项公式为 春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了手 , 他由此受到启发从而发明了锯 . 探究点 2 类比推理 类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这样得到的 . 鱼类 潜水艇 蜻蜓 直升机 形状，沉浮原理 外形，飞行原理 仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的 . 可能有生命存在 有生命存在 温度适合生物的生存 一年中有四季的变更 有大气层 大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 一年中有季节的变更 有大气层 行星、围绕太阳运行、绕轴自转 行星、围绕太阳运行、绕轴自转 火星 地球 火星上是否有生命？ 火星与地球类比的思维过程： 火星 地球 存在类 似特征 地球上有生命存在 猜测火星上也可能有生命存在 类比推理的过程（步骤） 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 , 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 . 类比推理 (1) 类比推理是由特殊到特殊的推理 . (2) 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象 , 我们可以从不同的角度出发确定类比对象 , 基本原则是要根据当前问题的需要 , 选择适当的类比对象 . (1) 类比是从人们已经掌握的事物的属性 , 推断正在研究中的事物的属性 , 它以已有知识为基础 , 类比出新的结论 . (2) 是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性 . (3) 类比的结果具有猜测性 . 类比推理的特点 例 2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质 . 分析： 实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且 “ 0 ” 和 “ 1 ” 分别在加法和乘法中占有特殊的地位 . 因此，我们可以从上述 4 个方面来类比这两种运算 . 解： （ 1 ）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数 . (2) 从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即 (3) 从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程 都有唯一解 (4) 在加法中，任意实数与 0 相加都不改变大小；乘法中的 1 与加法中的 0 类似，即任意实数与 1 的积都等于原来的数 . 即 三角形 思考： 你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？ 例 3 ：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想． 分析： 考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象 . Ａ Ｂ Ｃ a b c D P E F s 1 s 2 s 3 解： 如上图，在 Rt△ABC 中，∠ C=90°. 设 a , b , c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得 类比勾股定理的结构，我们猜想 成立 . 归纳推理 由 部分到整体 、 特殊到一般 的推理 ; 以观察分析为基础 , 推测新的结论 ; 具有发现的功能 ; 结论不一定成立 类比推理 由 特殊到特殊 的推理 ; 以旧的知识为基础 , 推测新的结论 ; 具有发现的功能 ; 结论不一定成立 【 总结提升 】 提出猜想 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 从具体问题出发 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理 . 合情推理 归纳推理 类比推理 例 4 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片 . 按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上 . 1 2 3 1. 每次只能移动 1 个金属片； 2. 较大的金属片不能放在较小的金属片上面 . 试推测：把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针 , 最少需要移动多少次 ? 分析： 我们从移动 1,2,3,4 个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动 n 个金属片所需的次数 . 解： 当 n=1 时，只需把金属片从 1 号针移到 3 号针，用符号（ 13 ）表示，共移动了 1 次 . 当 n=2 时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用 2 号针作为“中间针”，移动顺序是： （ 1 ）把第 1 个金属片从 1 号针移到 2 号针； （ 2 ）把第 2 个金属片从 1 号针移到 3 号针； （ 3 ）把第 1 个金属片从 2 号针移到 3 号针； 用符号表示为 ：（ 12 ）（ 13 ）（ 23 ） 共移动了 3 次 . 当 n=3 时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为 n=2 的情形，移动顺序是： （ 1 ）把上面两个金属片从 1 号针移到 2 号针； （ 2 ）把第 3 个金属片从 1 号针移到 3 号针； （ 3 ）把上面两个金属片从 2 号针移到 3 号针； 其中（ 1 ）和（ 3 ）都需要借助中间针 . 用符号表示为 ： （ 13 ）（ 12 ）（ 32 ）；（ 13 ）；（ 21 ）（ 23 ）（ 13 ） 共移动了 7 次 . 当 n=4 时，把上面 3 个金属片作为一个整体，移动顺序是： （ 1 ）把上面 3 个金属片从 1 号针移到 2 号针； （ 2 ）把第 4 个金属片从 1 号针移到 3 号针； （ 3 ）把上面 3 个金属片从 2 号针移到 3 号针； 用符号表示为 ： （ 12 ）（ 13 ）（ 23 ）（ 12 ）（ 31 ）（ 32 ）（ 12 ）；（ 13 ）；（ 23 ）（ 21 ）（ 31 ）（ 23 ）（ 12 ）（ 13 ）（ 23 ） . 共移动了 15 次 . 至此，我们得到依次移动 1,2,3,4 个金属片所需次数构成的数列 . 1,3,7,15. 观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律： 由此我们猜想：若把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针，最少需要移动 a n 次，则数列 { a n } 的通项公式为： 思考： 把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针 , 怎样移动才能达到最少的移动次数呢 ? 通过探究上述 n=1,2,3,4 时的移动方法，我们可以归纳出对 n 个金属片都适用的移动方法 . 当移动 n 个金属片时，可分为下列 3 个步骤： （ 1 ）把上面（ n-1 ）个金属片从 1 号针移到 2 号针； （ 2 ）把第 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针； （ 3 ）把上面 (n-1) 个金属片从 2 号针移到 3 号针 . 这样就把移动 n 个金属片的任务，转化为移动两次（ n-1 ）个金属片和移动一次第 n 个金属片的任务 . 而移动（ n-1 ）个金属片需要移动两次（ n-2 ）个金属片和移动一次第（ n-1 ）个金属片，移动（ n-2 ）个金属片需要移动两次（ n-3 ）个金属片和移动一次第（ n-2 ）个金属片 …… 如此继续 . 直到转化为移动 1 个金属片的情形 . 根据这个过程，可得递推公式 从这个递推公式出发，可以证明（ 1 ）式是正确的 . 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠 . 费马猜想： 同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠，你能举一个例子吗？ 半个世纪之后，欧拉发现： 猜想： 不是质数，从而推翻了费马的猜想 B C 3. （ 2014 ·新课标全国卷 I ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 ________. 解 ： 由丙可知，乙至少去过一个城市，由甲说可知甲去过 A ， C 且比乙多，故乙只去过一个城市，且没有去过 C 城市，故乙只去过 A 城市 . A 1. 归纳推理、类比推理的定义 . 2. 推理的一般思维过程 : 观察、分析 概括、推广、类比 提出猜想 3. 归纳、类比推理的特点 归纳推理 由 部分到整体 、 特殊到一般 的推理 ; 以观察分析为基础 , 推测新的结论 ; 具有发现的功能 ; 结论不一定成立 类比推理 由 特殊到特殊 的推理 ; 以旧的知识为基础 , 推测新的结论 ; 具有发现的功能 ; 结论不一定成立 没有礁石，就没有美丽的浪花；没有挫折，就没有壮丽的人生 .