数学卷·2018届江西省抚州市崇仁二中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）+（解析版） 26页

‎2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中）‎ ‎1．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎2．命题“a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（　　）‎ A．a+b不是偶数，则a，b都不是偶数 B．a+b不是偶数，则a，b不都是偶数 C．a+b不是偶数，则a，b都是偶数 D．a，b都不是偶数，则a+b不是偶数 ‎3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎4．从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2006人中剔除6人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（　　）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等 D．无法确定 ‎5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =．则下列向量中与相等的向量是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则a=（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0‎ ‎9．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（　　）‎ A．i≥5 B．i≥6 C．i＜5 D．i＜6‎ ‎10．已知=（1，1，0）与=（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k=（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．‎ ‎11．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎12．已知双曲线M：x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P，若点P在焦点为（0，1）的抛物线y=mx2上，则双曲线M的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分 ‎13．有A、B、C三种零件，分别为a个、300个、200个，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A种零件被抽取20个，则a=　　．‎ ‎14．已知以坐标轴为对称轴且离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线x=y2的焦点重合，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎15．在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是　　．‎ ‎16．下列命题：‎ ‎①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．‎ ‎②“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．‎ ‎③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假．‎ ‎④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件．‎ ‎⑤△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形．‎ 判断错误的有　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题q：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．‎ ‎18．（12分）从全校参加数学竞赛的学生的试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2，最右边一组的频数是6．‎ ‎（1）成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数、频率；‎ ‎（2）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分百．‎ ‎19．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．‎ ‎（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为偶数的概率；‎ ‎（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+1的概率．‎ ‎20．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD ‎（Ⅱ）求点C1到平面DA1C的距离．‎ ‎（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．‎ ‎21．（12分）已知抛物线y2=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点，‎ ‎（1）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；‎ ‎（2）求△ANB面积的最小值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．‎ ‎ （i）求•的取值范围；‎ ‎ （ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在下表中）‎ ‎1．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．‎ ‎【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；‎ ‎∴y=8；‎ 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，‎ ‎∴x=5．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．‎ ‎　‎ ‎2．命题“a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（　　）‎ A．a+b不是偶数，则a，b都不是偶数 B．a+b不是偶数，则a，b不都是偶数 C．a+b不是偶数，则a，b都是偶数 D．a，b都不是偶数，则a+b不是偶数 ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】根据命题的逆否命题和命题之间的关系确定结论即可．‎ ‎【解答】解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，‎ 则命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为：若a+b不是偶数，则a，b不都是偶数．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=±x D．y=‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），‎ 则离心率e===，即4b2=a2，‎ 故渐近线方程为y=±x=x，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2006人中剔除6人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（　　）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等 D．无法确定 ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】该题是系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2006名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个系统抽样，‎ 在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，‎ 从2006名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，‎ 在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等．‎ 故选C．‎ ‎【点评】在系统抽样过程中，为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，通过从总体中删除一些个体（用简单随机抽样的方法）．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =．则下列向量中与相等的向量是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的加减法．‎ ‎【分析】表示向量，只需要用给出的基底，，表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．‎ ‎【解答】解： =+‎ ‎=+‎ ‎=+‎ ‎=+（+）‎ ‎=+（+）‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，同时考查了转化的思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．‎ ‎【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，‎ 解这个方程组需要用一些技巧，‎ 因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，‎ 设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；‎ ‎∴|x﹣y|=2|t|=4，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．‎ ‎　‎ ‎7．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b．“a＞b”⇒“|a|＞b”，正确，由于|a|≥a，可得|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．‎ ‎【解答】解：“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b，‎ ‎∴“a＞b”⇒“|a|＞b”，∵|a|≥a，∴|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．‎ ‎∴“|a|＞b”是“a＞b”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则a=（　　）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0‎ ‎【考点】回归分析．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．‎ ‎【解答】解：∵点在回归直线上，‎ 计算得，‎ ‎∴回归方程过点（2，4.5）‎ 代入得4.5=0.95×2+a ‎∴a=2.6；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题就是考查回归方程过定点 ‎，考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题 ‎　‎ ‎9．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（　　）‎ A．i≥5 B．i≥6 C．i＜5 D．i＜6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=+++…+的值．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：‎ 是否继续循环 S i 循环前/0 1‎ 第一圈 是2‎ 第二圈 是3‎ 第三圈 是4‎ 第四圈 是5‎ 第五圈 是6‎ 第六圈 否 由分析可得继续循环的条件为：i＜6‎ 故选D ‎【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．‎ ‎　‎ ‎10．已知=（1，1，0）与=（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k=（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．‎ ‎【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ ‎【分析】向量垂直，数量积为0．‎ ‎【解答】解：∵ =（1，1，0）与=（﹣1，0，2），‎ ‎∴k+=（k，k，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），‎ ‎∵k+与2﹣互相垂直，‎ ‎∴（k+）•（2﹣）=3（k﹣1）+2k﹣4=0，‎ 解得k=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂直向量的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎11．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△‎ POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x ‎∴2p=4，可得=，得焦点F（）‎ 设P（m，n）‎ 根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，‎ 即m+=4，解得m=3‎ ‎∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24‎ ‎∴n==‎ ‎∵|OF|=‎ ‎∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2‎ 故选：C ‎【点评】本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知双曲线M：x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P，若点P在焦点为（0，1）的抛物线y=mx2上，则双曲线M的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据条件求出交点坐标，结合点与抛物线的关系建立方程进行求解即可．‎ ‎【解答】解：过点F1（﹣c，0）与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线方程为y=b（x+c），‎ 与另一条渐近线y=﹣bx联立得得，即P（﹣，），‎ 由y=mx2上得x2=y，则焦点坐标为（0，），‎ 由=1得m=，‎ ‎∴=×，即c=8b，‎ ‎∵c2=b2+1，‎ ‎∴b2=，即e==，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查双曲线离心离的计算，根据交点坐标以及交点与抛物线的关系建立方程是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分 ‎13．有A、B、C三种零件，分别为a个、300个、200个，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A种零件被抽取20个，则a=　400　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：根据题意得， =，解得a=400．‎ 故答案为：400．‎ ‎【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知以坐标轴为对称轴且离心率等于2的双曲线的一个焦点与抛物线x=y2‎ 的焦点重合，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（2，0），从而得出双曲线的右焦点为F（2，0）．再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，得抛物线的焦点为（2，0）．‎ ‎∵双曲线的一个焦点与抛物y2=8x的焦点重合，‎ ‎∴双曲线的右焦点为F（2，0）‎ 设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=4…①‎ ‎∵双曲线的离心率为2，∴，即…②‎ 由①②联解，得a2=1，b2=3，所以该双曲线的方程为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是　　．‎ ‎【考点】几何概型；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知中在区间（0，2）内任取两个实数，我们易求出该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件椭圆的离心率大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：区间（0，2）内任取两个实数计为（m，n），‎ 则点对应的平面区域为下图所示的正方形，‎ 当m＞n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，m＞2n；‎ 当M＜n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，n＞2m；‎ 故其中满足椭圆的离心率大于时，有m＞2n或n＞2m．‎ 它表示的平面区域如下图中阴影部分所示：‎ 其中正方形面积S=4，阴影部分面积S阴影=2××2×1=2．‎ ‎∴所求的概率P==‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中计算出总的基本事件对应的几何图形的面积及满足条件的几何图形的面积是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．下列命题：‎ ‎①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．‎ ‎②“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．‎ ‎③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假．‎ ‎④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件．‎ ‎⑤△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形．‎ 判断错误的有　②⑤　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】命题①中事件A与事件B互斥，事件A与事件B不一定对立，但相互对立的两事件一定互斥；‎ 命题②中，要考虑m是否为零，若m2≠0，不等式两边同乘以得，a＜b；若m2=0时，由a＜b不能得到am2＜bm2；‎ 命题③中，原命题的否命题为：“若四边形不是矩形，则其对角线不相等．”等腰梯形不是矩形，但其对角线相等；‎ 命题④利用三角形内角和定理及等差中项概念，根据∠B=60°推出∠A、∠B、∠C成等差数列，反之，由∠A、∠B、∠C成等差数列，能推出∠B=60°；‎ 命题⑤把余弦转化为正弦，然后由sinA=sin（90°﹣B）得到A=90°﹣B或A+90°﹣B=180°．‎ ‎【解答】解：事件A与B互斥，事件A与B不一定对立；反之事件A与B对立，一定有事件A与B互斥．所以“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．所以命题①正确．‎ 由am2＜bm2知m2＞0，不等式两边同乘以得，a＜b，反之，若a＜b，则取m2=0时不能得到am2＜bm2，故am2＜bm2是a＜b的充分不必要条件，故命题②不正确．‎ 原命题：矩形的两条对角线相等．则其否命题为：若四边形不是矩形，则其对角线不相等．此否命题为假命题，如等腰梯形不是矩形，但其对角线相等，故命题③正确．‎ 在△ABC中，若∠B=60°，因为∠A+∠B+∠C=180°，得∠A+∠C=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°，所以2∠B=∠A+∠C，所以∠A，∠B，∠C三个角成等差数列．‎ 若∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，可设公差为d，则∠A=∠B﹣d，∠C=∠B+d，由∠A+∠B+∠C=180°，得∠B﹣d+∠B+∠b+d=180°，∴∠B=60°．‎ 所以在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件，故命题④正确．‎ 在△ABC中，若sinA=cosB，则sinA=sin（90°﹣B），所以A=90°﹣B或A+90°﹣B=180°，所以A+B=90°或A﹣B=90°，则△‎ ABC不一定为直角三角形，故命题⑤不正确．‎ 故答案为②⑤．‎ ‎【点评】本题考查判断命题的真假，命题①②④着重考查判断充要条件的方法，判断充要条件最常用的方法是定义法，即“若p⇒q，则p是q的充分条件”；“若q⇒p，则p是q成立的必要条件”；“若p⇔q，则p是q的充要条件”．解答命题⑤的关键是不要漏掉两角的终边关于y轴对称的情况．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）（2015春•浏阳市校级期末）命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题q：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：p为真时，△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，即a＞或a＜﹣1．‎ q为真时，2a2﹣a＞1，即a＞1或a＜﹣．‎ 若p∨q为真，p∧q为假，‎ 则p、q中有且只有一个是真命题，有两种情况：‎ p真q假时，＜a≤1，‎ p假q真时，﹣1≤a＜﹣，‎ ‎∴p、q中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题之间的应用，求出命题的等价关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015秋•赣州期末）从全校参加数学竞赛的学生的试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2，最右边一组的频数是6．‎ ‎（1）成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数、频率；‎ ‎（2）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分百．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）图中矩形面积最大的一组就是人数最多的组，由此找出最高的矩形，在[70.5，80.5）这一组，再用公式求出其频数、频率；‎ ‎（2）用样本估计总体：在样本中算出四个组占总数的百分比，就可以估计出成绩高于60分的学生占总人数的百分比．‎ ‎【解答】解：（1）最右边一组的频数是6，从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2‎ ‎∴设样本容量为n，得（1+3+6+4+2）：n=2：6‎ ‎∴n=48，样本容量为48，‎ 成绩落在[70.5，80.5）内人数最多，‎ 频数为，频率为=0.375．‎ ‎（2）成绩高于60（分）的学生占总人数的==93.75%．‎ ‎【点评】本题考查了频率直方图的有关知识，属于基础题．频率直方图中，各个小长方形的面积等于该组数据的频率，所有长方形的面积之和等于1．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015秋•赣州期末）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．‎ ‎（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为偶数的概率；‎ ‎（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+1的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出取出的球的编号之和为偶数两个，1和3，2和4两种情况，求比值得到结果．‎ ‎（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．‎ ‎【解答】解：（1）从袋中随机取两个球，其中所有可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4共6个，‎ 从袋中取出的球的编号之和为偶数的事件共有1和3，2和4两个，‎ 因此所求事件的概率，‎ ‎（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，（m，n）一切可能的结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个，‎ 其中满足n＜m+1的有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）十个，‎ 故满足条件的概率为P==‎ ‎【点评】本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•崇仁县校级月考）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD ‎（Ⅱ）求点C1到平面DA1C的距离．‎ ‎（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，连接DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．‎ ‎（Ⅱ）由AC=CB=AB，得AC⊥BC．以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出点C1到平面DA1C的距离．‎ ‎（Ⅲ）求出平面A1CD的法向量和平面A1CE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，‎ 则F为AC1的中点．又D是AB的中点，‎ 连接DF，则BC1∥DF．‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD．‎ 解：（Ⅱ）由AC=CB=AB，得AC⊥BC．‎ 以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．‎ 设CA=2，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），C1（0，0，2），‎ ‎=（1，1，0），=（0，2，1），=（2，0，2）．‎ 设=（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，‎ 则，取x1=1，得=（1，﹣1，﹣1）．‎ ‎=（0，0，2），‎ 点C1到平面DA1C的距离d==．‎ ‎（Ⅲ）平面A1CD的法向量=（1，﹣1，﹣1），‎ 设=（x2，y2，z2）是平面A1CE的法向量，‎ 则，取x2=2，得=（2，1，﹣2）．‎ 从而cos＜，＞===，故sin＜，＞==．‎ 即二面角D﹣A1C﹣E的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•崇仁县校级月考）已知抛物线y2=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点，‎ ‎（1）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；‎ ‎（2）求△ANB面积的最小值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）如图所示，设直线l的方程为：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用斜率计算公式可得kNA=‎ ‎，kNB=，只有证明kNA+kNB=0即可．‎ ‎（2）利用S△ANB==|y1﹣y2|==即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：如图所示，‎ 设直线l的方程为：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，化为y2﹣4my﹣4=0，△＞0，‎ ‎∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．‎ kNA=，kNB=，‎ ‎∴kNA+kNB=+====0，‎ ‎∴直线NA，NB的斜率互为相反数．‎ ‎（2）解：S△ANB==|y1﹣y2|==≥4，‎ 当且仅当m=0时取等号．‎ ‎∴当AB⊥x轴时，△ANB面积取得最小值4．‎ ‎【点评】本题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三角形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015秋•潍坊期末）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．‎ ‎ （i）求•的取值范围；‎ ‎ （ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）（i）求得F（﹣2，0），讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，以及不等式的性质，即可得到所求范围；‎ ‎（ii）可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），运用中点坐标公式，求得M的坐标，进而得到直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，‎ 又a2﹣b2=c2，‎ 解得a=，c=2，‎ 即有椭圆方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），‎ ‎•=4﹣=；‎ 当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，‎ x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）‎ ‎=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2‎ ‎==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得 ‎﹣6≤•＜，‎ 综上可得， •的取值范围是[﹣6，]；‎ ‎（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，‎ 可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M（x0，y0），‎ 则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，‎ y0=k（x0+2）=，‎ 直线OM的斜率为kOM==﹣，‎ 直线OM：y=﹣x，‎ 由可得，‎ 即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，‎ 则点N在一条定直线x=﹣3上．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量的数量积的坐标表示，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查点在定直线上的求法，注意运用直线方程求交点，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎