专题03 概率与统计（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列 11页

‎2017届高考数学（理）大题狂练 专题03 概率与统计 ‎1.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85‎ ‎（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；‎ ‎（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）甲，理由见解析；（2）分布列见解析，．‎ 试题解析：（1）甲参加比较合适，理由如下：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，，‎ ‎∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．‎ ‎（2）“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件，‎ 则，‎ 随机变量的可能取值为0,1，2,3，‎ 且服从，∴，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴．‎ 考点：数据的平均数和方差；离散型随机变量的分布列．‎ ‎2.某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 居民生活用水量（万吨）‎ ‎236‎ ‎246‎ ‎257‎ ‎276‎ ‎286‎ ‎（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市 ‎2023年的居民生活用水量．‎ 参考公式：‎ ‎【答案】(1) ；(2)．‎ 试题解析：（1）解法一：容易算得，‎ ‎，‎ 故所求的回归直线方程为．．．．．．．．．．6分 解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似直线上升，为此时数据预处理如下表：‎ 年份-2013‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 居民生活用水量-257‎ ‎-21‎ ‎-11‎ ‎0‎ ‎19‎ ‎29‎ 对预处理后的数据，容易算得 ‎，‎ 所求的回归直线方程为，‎ 即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 考点：回归直线方程及其应用．‎ ‎3.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎12月1日 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 ‎12月5日 温差（℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数（颗）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.‎ ‎（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；‎ ‎（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ ‎（注：）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）该研究所得到的线性回归方程是可靠的．‎ 试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为.‎ ‎（2）由数据，求得，，.‎ ‎，，，‎ 由公式求得 ‎.‎ 所以关于的线性回归方程.‎ ‎（Ⅲ）当时，，同样地，当时，，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的.‎ 考点：等可能事件的概率；回归分析.‎ ‎4.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人． （Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过 的人与性别有关．‎ 平均车速超过 人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 ‎      ‎ 女性驾驶员人数 ‎      ‎ 合计 ‎      ‎ ‎（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望．‎ 参考公式与数据：，其中 ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（I）列联表见解析，有的把握认为平均车速超过与性别有关；（II）分布列见解析，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）完成列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关，求出，即可判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；‎ ‎（II）根据样本估计总体的死刑，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率，可能是，则，求出概率得到分布列，然后求解数学期望.‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为．‎ 可取值是0，1，2，3，，有：‎ 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．…（12分）‎ 考点：独立性检验；离散型随机变量的分布列.‎ ‎5.空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级：为优；为良； 为轻度污染；为中度污染；为重度污染；为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的的茎叶图如下. ‎ ‎（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共30天计算）‎ ‎（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ……………………4分 ‎（2）由（1）估计某天气质量优良的概率为，‎ 的所有可能取值为0，1，2，3．‎ ‎，‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ 显然．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：古典概型，二项分布.‎ ‎6.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．‎ ‎（1）已知、，三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求，的值；‎ ‎（2）该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券，已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1），；（2）分布列见解析，.‎ 试题解析：（1）由于五个组的频率之和等于1，故 ‎，且，‎ 联立解出，．‎ ‎（2）由已知高消费人群所占比例为1，潜在消费人群的比例为0.4，由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人，随机抽取的三人中代金券总和可能的取值为：240,210,180,150，‎ ‎；；；，‎ 列表如下：‎ ‎240‎ ‎210‎ ‎180‎ ‎150‎ 数学期望．‎ 考点：1、分层抽样的应用；2、离散型随机变量的分布列及期望.‎