2020届二轮复习不等式选讲课时作业（全国通用） 5页

第2讲　不等式选讲 ‎1．(2019·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；‎ ‎(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f()≥4.‎ 解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，‎ 等价于或或，‎ 解得x≤－1或x≥1，‎ 所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．‎ ‎(2)证明：当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|，‎ 因为|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，当且仅当 ‎，即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f()≥4.‎ ‎2．(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．‎ 解：(1)由题意知f(x)＝，由f(x)≥3可知：‎ ‎①当x≥1时，3x≥3，即x≥1；‎ ‎②当－2.‎ 易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于C(，)，D(－，)两点，‎ 则|CD|＝·|＋|＝a，‎ 平行线AB与CD间的距离d＝＝，|AB|＝，‎ 所以梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a>2)，‎ 即(a＋2)(a－2)＝12，所以a＝4，‎ 故所求实数a的值为4.‎ ‎3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知函数f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|.‎ ‎(1)求证：f(x)≥2；‎ ‎(2)若不等式f(2)≤16恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)证明：因为f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|≥|(x＋m2)－(x－2m－3)|，所以f(x)≥|m2＋2m＋3|＝(m＋1)2＋2≥2.‎ ‎(2)由已知，得f(2)＝m2＋2＋|2m＋1|，‎ ‎①当m≥－时，f(2)≤16等价于m2＋2m＋3≤16，即(m＋1)2≤14，‎ 解得－－1≤m≤－1，所以－≤m≤－1；‎ ‎②当m<－时，f(2)≤16等价于m2－2m＋1≤16，‎ 解得－3≤m≤5，所以－3≤m<－.‎ 综上，实数m的取值范围是[－3，－1]．‎ ‎4．(2019·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)求＋的最大值．‎ 解：(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}，即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集为{x|x≥－1}，当1－a2≠0时，不符合题意，舍去．‎ 当1－a2＝0，即a＝±1时，‎ x＝－1为方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，经检验a＝－1不符合题意，舍去，a＝1符合题意．‎ 综上，a＝1.‎ ‎(2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，当t＝＝4时，(＋)2有最大值32.又＋≥0，所以＋的最大值为4.‎ ‎5．(2019·石家庄市模拟(一))设函数f(x)＝|1－x|－|x＋3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤1的解集；‎ ‎(2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p＋2q＝m，求＋的最小值．‎ 解：(1)不等式可化为 或或，解得x≥－，‎ 所以f(x)≤1的解集为{x|x≥－}．‎ ‎(2)法一：因为|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，‎ 所以m＝4，p＋2q＝4，所以(p＋2)＋2q＝6，‎ ＋＝(＋)(p＋2＋2q)＝(4＋＋)≥(4＋2)＝，‎ 当且仅当p＋2＝2q＝3，即时取“＝”，‎ 所以＋的最小值为.‎ 法二：因为|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，‎ 所以m＝4，p＋2q＝4，所以p＝4－2q，q∈(0，2)，‎ ＋＝＋＝＝＝，‎ 因为q∈(0，2)，所以当q＝时，＋取得最小值.‎ ‎6．(2019·成都第一次诊断性检测)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|＋1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)－3<0的解集；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)－m2－2m－＝0无实数解，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)由题意，知f(x)＝|2x－1|＋|＋1|＝ 由f(x)－3<0，可得或 或，解得－4；‎ ‎(2)对于任意正数m，n，求使得不等式f(x)≤＋＋2nm恒成立的x的取值集合M.‎ 解：(1)当x≤0时，不等式化为－2x＋1－x>4，所以x<－1；‎ 当04，解得x>3，无解；‎ 当x≥1时，不等式化为2x＋x－1>4，所以x>，‎ 综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．‎ ‎(2)因为＋＋2mn≥＋2mn≥4，当且仅当m＝n＝1时“＝”成立，‎ 所以2|x|＋|x－1|≤4，由(1)知x的取值集合M为[－1，]．‎ ‎8．(2019·沈阳市质量监测(一))设a>b>0，且ab＝2，记的最小值为M.‎ ‎(1)求M的值，并写出此时a，b的值；‎ ‎(2)解关于x的不等式：|3x＋3|＋|x－2|>M.‎ 解：(1)因为a>b>0，所以a－b>0，>0，‎ 根据基本不等式有＝＝a－b＋≥4，‎ 当且仅当，即时取等号，所以M的值为4，此时a＝＋1，b＝－1.‎ ‎(2)当x≤－1时，原不等式等价于－(3x＋3)＋(2－x)>4，解得x<－；‎ 当－14，解得－4，解得x≥2.‎ 综上所述，原不等式的解集为(－∞，－)∪(－，＋∞)．‎