专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 30页

‎【高考地位】‎ 立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 几何法 使用情景：转化的直线或平面比较容易找到 解题模板：第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；‎ 第二步 找到关键的直线或平面；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥中， ， 分别为线段的中点， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若为上的点，且，求点平面的距离.‎ 又∵，∴面，‎ ‎∵面 ∴‎ 在中是的中点， ，∴‎ ‎∵， 面，∴平面 ‎（2）由（1）知到面的距离为 由等体积知： ‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴.‎ 例2、如图所示，在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，为中点，平面，．‎ 证明：平面平面；‎ ‎【答案】详见解析 线线垂直. ‎ 试题解析：因为平面平面，所以，又因为，‎ 所以平面，而平面，所以平面平面． ‎ 考点：面面垂直判定定理 ‎【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. ‎ ‎【变式演练1】如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. 设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。‎ ‎【答案】存在点，为中点.‎ ‎ 平面 所以平面 ‎ 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用. ‎ ‎【变式演练2】【2018广西贺州桂梧高中第四次联考】如图，在四棱锥中， ， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形，且.‎ ‎（1）证明：平面平面.‎ 方法二 空间向量法 使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出 解题模板：第一步 建立适当的空间直角坐标系；‎ 第二步 分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；‎ 第三步 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.‎ 例3、在如图所示的几何体中，平面，平面， ，,‎ 是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 考点：空间向量证明直线与直线的垂直；空间向量求直线与平面所成的角. ‎ ‎【变式演练3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；‎ ‎（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎ (Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与 所成的角和PB与所成的角相等，所以 又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 .‎ 考点：运用空间向量证明直线与平面垂直；空间几何体的体积的求法.‎ ‎【变式演练4】已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，且平面.求的长度；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用空间向量求线段长度，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量的模求线段长度. ‎ 试题解析：如图所示建立空间直角坐标系，‎ 由已知，，，，.‎ 令，因为，所以，‎ 则. 因为且.‎ 所以，则. 即的长为.‎ 考点：利用空间向量求线段长度及线面角 ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 2. 【2017课表1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析； （2）．‎ ‎【考点】空间位置关系证明，空间几何体体积、侧（表）面积计算 ‎【名师点睛】‎ 证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；先利用线面平行说明点面距为定值，计算点面距时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．‎ ‎3. 【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）1‎ ‎ ‎ ‎ 4. 【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面B1CD1;‎ ‎（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1. ‎ ‎【答案】①证明见解析.②证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）取中点,证明,（Ⅱ）证明面.‎ 试题解析：‎ ‎（I）取中点,连接,由于为四棱柱,‎ 所以,‎ ‎ ‎ ‎【考点】空间中的线面位置关系 ‎【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过 已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．‎ ‎5. 【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.‎ ‎（I）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（II）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) .‎ ‎ ‎ ‎ 6. 【2017北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,。面面垂直的判断和性质；3.几何体的体积.‎ ‎【名师点睛】线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直. ‎ ‎7. 【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. ‎ ‎8. 【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎ ‎ ‎9. 【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.‎ ‎（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1. 【2018河北邢台育才中学模拟】如图，正方体的棱长为分别是棱上的点，且，如果平面，则的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】取的中点为G，连接BG，FG因为G，从而 为BC的中点，从而有 ‎ 故选C ‎2. 【2018湖南五市十校教研教改共同体联考】如图，四边形与均为菱形， ，且.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，得. ‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则.‎ ‎3．【2018湖北八校联考】如图，直三棱柱中， , ， , 分别为和上的点，且．‎ ‎（1）当为中点时，求证： ；‎ ‎（2）当在上运动时，求三棱锥体积的最小值．‎ ‎ ‎ ‎∴当，即为的中点时， 有最小值18．‎ ‎4．【2018河北衡水第一中学模拟】如图，在四棱锥中， 平面， 平面， .‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若， ，求三棱锥的高．‎ 所以的面积为 .‎ 设三棱锥的高为，则，即，即三棱锥的高为2.‎ ‎5. 【2018湖北八校联考】四棱锥中， ∥， ， ‎ ‎， 为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎ 6. 【2018宁夏育才中模拟】如图，在三棱锥中，平面平面， ，点在线段上，且， ，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）若四棱锥的体积为7，求线段的长.‎ ‎（2）解：设，则在中，‎ ‎.‎ 所以.‎ 由， ，得，‎ 故，即，‎ 由， .‎ 从而四边形的面积为 .‎ 由（1）知平面，所以为四棱锥的高.‎ 在中， .‎ 所以 ‎.‎ 所以.‎ 解得或.‎ 由于，因此或.‎ 所以或.‎ ‎7. 【2018江苏无锡普通高中检测】如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形， 为边的中点， 底面.‎ ‎ （1）求证： 平面；‎ ‎ （2）平面平面. ‎ 又底面 ，所以，‎ 因为 ，所以平面 ，‎ 又平面 ，所以平面 平面 .‎ ‎8. 【2018河南郑州第一中学模拟】如图，在四棱柱为长方体，点是上的一点.‎ ‎（1）若为的中点，当为何值时，平面平面；‎ ‎ ‎ ‎9. 【2018黑龙江牡丹江第一高级中学模拟】三棱柱，侧棱与底面垂直， , 分别是的中点．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎ ‎ ‎10. 【2018辽宁鞍山第一中学模拟】如图，在三棱柱中，侧棱底面， 为棱的中点， ， ，求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面.‎ ‎【解析】（1）证明：如图，连接交于，‎ 则为中点，连接，‎ ‎ 11. 【2018华大新高考联盟】如图，多面体中，四边形为菱形，且, .‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】（1）如图，取的中点，连接.‎ ‎ ‎ ‎12.【2018山西榆社中学模拟】如图，在三棱锥中， ， 底面， ，且.‎ ‎（1）若为上一点，且，证明:平面平面.‎ ‎（2）若为棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.‎ ‎∵平面， 平面，平面平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ 过作，交于，则为三棱锥的高，则.‎ ‎∵，‎ ‎∴ .‎ 即三棱锥的体积为。‎ ‎ ‎