2018届二轮复习（理）专题一　集合与常用逻辑用语、不等式第1讲　集合与常用逻辑用语课件（全国通用） 46页

第 1 讲　集合 与常用逻辑用语 专题一 　 集合与常用逻辑用语、不等式 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　集合的关系及运算 1. 集合的运算性质及重要结论 (1) A ∪ A ＝ A ， A ∪ ∅ ＝ A ， A ∪ B ＝ B ∪ A . (2) A ∩ A ＝ A ， A ∩ ∅ ＝ ∅ ， A ∩ B ＝ B ∩ A . (3) A ∩ ( ∁ U A ) ＝ ∅ ， A ∪ ( ∁ U A ) ＝ U . (4) A ∩ B ＝ A ⇔ A ⊆ B ， A ∪ B ＝ A ⇔ B ⊆ A . 2. 集合运算中的常用方法 (1) 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解 . (2) 若已知的集合是点集，用数形结合法求解 . (3) 若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解 . 例 1 　 (1)(2017 届湖南师大附中月考 ) 已知集合 A ＝ { x |log 2 x <1} ， B ＝ { y | y ＝ 2 x ， x ≥ 0} ，则 A ∩ B 等于 A. ∅ B .{ x |1< x <2} C.{ x |1 ≤ x <2} D.{ x |1< x ≤ 2} 答案 解析 解析　 由 已知可得 A ＝ { x |0< x <2} ， B ＝ { y | y ≥ 1} ⇒ A ∩ B ＝ { x |1 ≤ x <2} ，故选 C. √ (2)(2017 届潍坊临朐县月考 ) 已知集合 M ＝ {( x ， y )| y ＝ f ( x )} ，若对于任意 ( x 1 ， y 1 ) ∈ M ，存在 ( x 2 ， y 2 ) ∈ M ，使得 x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 成立，则称集合 M 是 “ 理想 集合 ”. 给出下列 4 个集合： ① M ＝ ； ② M ＝ {( x ， y )| y ＝ sin x } ； ③ M ＝ {( x ， y )| y ＝ e x － 2} ； ④ M ＝ {( x ， y )| y ＝ lg x }. 其中所有 “ 理想集合 ” 的序号是 A. ①③ B . ②③ C. ②④ D . ③④ √ 答案 解析 思维升华 ③ 项，由图象可得直角始终存在，故正确； 综合 ②③ 正确，故选 B. 思维升华　 (1) 关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助 Venn 图或数轴求解 . (2) 对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证 . 跟踪演练 1 　 (1)(2017 届云南曲靖一中月考 ) 已知集合 A ＝ { x ∈ N | x 2 － 5 x ＋ 4 ≤ 0} ， B ＝ { x | x 2 － 4 ＝ 0} ，下列结论成立的是 A. B ⊆ A B. A ∪ B ＝ A C. A ∩ B ＝ A D. A ∩ B ＝ {2} √ 答案 解析 解析　 A ＝ { x ∈ N |1 ≤ x ≤ 4} ， B ＝ { x | x ＝ ±2} ⇒ A ∩ B ＝ {2} ，故选 D. (2) 用 C ( A ) 表示非空集合 A 中的元素个数，定义 A * B ＝ 若 A ＝ {1,2} ， B ＝ { x |( x 2 ＋ ax )( x 2 ＋ ax ＋ 2) ＝ 0} ，且 A * B ＝ 1 ，设实数 a 的所有 可 能 取值构成的集合是 S ，则 C ( S ) 等于 A. 4 B . 3 C . 2 D . 1 √ 答案 解析 解析　 由 A ＝ {1,2} ，得 C ( A ) ＝ 2 ， 由 A * B ＝ 1 ，得 C ( B ) ＝ 1 或 C ( B ) ＝ 3. 由 ( x 2 ＋ ax )( x 2 ＋ ax ＋ 2) ＝ 0 ， 得 x 2 ＋ ax ＝ 0 或 x 2 ＋ ax ＋ 2 ＝ 0. 当 C ( B ) ＝ 1 时，方程 ( x 2 ＋ ax )( x 2 ＋ ax ＋ 2) ＝ 0 只有实根 x ＝ 0 ，这时 a ＝ 0 ； 当 C ( B ) ＝ 3 时，必有 a ≠ 0 ，这时 x 2 ＋ ax ＝ 0 有两个不相等的实根 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝－ a ，方程 x 2 ＋ ax ＋ 2 ＝ 0 必有两个相等的实根，且异于 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝－ a . 热点二　四种命题与充要条件 1. 四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假 . 2. 若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；若 p ⇔ q ，则 p ， q 互为充要条件 . 例 2 　 (1)(2017 届抚州七校联考 ) A ， B ， C 三个学生参加了一次考试， A ， B 的得分均为 70 分， C 的得分为 65 分 . 已知命题 p ：若及格分低于 70 分，则 A ， B ， C 都没有及格 . 在下列四个命题中，为 p 的逆否命题的是 A. 若及格分不低于 70 分，则 A ， B ， C 都及格 B. 若 A ， B ， C 都及格，则及格分不低于 70 分 C. 若 A ， B ， C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分 D. 若 A ， B ， C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分 √ 答案 解析 解析　 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知， 命题 p ：若及格分低于 70 分，则 A ， B ， C 都没有及格 ， p 的逆否命题是：若 A ， B ， C 至少有 1 人及格，则 及格分不低于 70 分 . 故选 C. A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 答案 解析 思维升华 思维升华　 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1) 定义法：正、反方向推理，若 p ⇒ q ，则 p 是 q 的充分条件 ( 或 q 是 p 的必要条件 ) ；若 p ⇒ q 且 q ⇏ p ，则 p 是 q 的充分不必要条件 ( 或 q 是 p 的必要不充分条件 ). (2) 集合法：利用集合间的包含关系 . 例如，若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件 ( B 是 A 的必要条件 ) ；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件 . (3) 等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 . 跟踪演练 2 　 (1) 有关命题的说法正确的是 A. 命题 “ 若 xy ＝ 0 ，则 x ＝ 0 ” 的否命题为： “ 若 xy ＝ 0 ，则 x ≠ 0 ” B. 命题 “ ∃ x 0 ∈ R ，使得 2 － 1<0 ” 的否定是： “ ∀ x ∈ R ，2 x 2 － 1<0 ” C. “ 若 x ＋ y ＝ 0 ，则 x ， y 互为相反数 ” 的逆命题为真命题 D. 命题 “ 若 cos x ＝ cos y ，则 x ＝ y ” 的逆否命题为真命题 √ 答案 解析 解析　 对于 A 选项，命题 “ 若 xy ＝ 0 ，则 x ＝ 0 ” 的否命题为 “ 若 xy ≠ 0 ，则 x ≠ 0 ” ，否命题是条件和结论的双重否定，故 A 错误； 对于 B 选项， 命题 “ ∃ x 0 ∈ R ，使 2 － 1 < 0 ” 的否定是 “ ∀ x ∈ R ，2 x 2 － 1 ≥ 0 ” ， 故 B 错误； 选项 C 的逆命题为真命题，故 C 正确； 选项 D 的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故 D 错误，故选 C. (2)(2017 届湖南长沙一中月考 ) 在 △ ABC 中， “ A < B < C ” 是 “ cos 2 A >cos 2 B > cos 2 C ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 √ 解析　 由正弦定理，可得在 △ ABC 中，若 A < B < C ， 则 sin A cos 2 B >cos 2 C ，反之也成立 . 所以在 △ ABC 中， “ A < B < C ” 是 “ cos 2 A >cos 2 B >cos 2 C ” 的充要条件，故选 C. 热点三　逻辑联结词、量词 1. 命题 p ∨ q ，只要 p ， q 有一真，即为真；命题 p ∧ q ，只有 p ， q 均为真，才为真； 綈 p 和 p 为真假对立的命题 . 2. 命题 p ∨ q 的否定是 ( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) ；命题 p ∧ q 的否定是 ( 綈 p ) ∨ ( 綈 q ). 3. “ ∀ x ∈ M ， p ( x ) ” 的否定为 “ ∃ x 0 ∈ M ， 綈 p ( x 0 ) ” ； “ ∃ x 0 ∈ M ， p ( x 0 ) ” 的否定为 “ ∀ x ∈ M ， 綈 p ( x ) ”. 例 3 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ 给 出下列两个命题： 命题 p ：若 m ＝ ， 则 f ( f ( － 1)) ＝ 0 ； 命题 q ： ∃ m ∈ ( － ∞ ， 0) ， 方程 f ( x ) ＝ 0 有解 . 那么，下列命题为真命题的是 A. p ∧ q B .( 綈 p ) ∧ q C. p ∧ ( 綈 q ) D .( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) √ 答案 解析 思维升华 当 x ≥ 0 时，若 m <0 ， f ( x ) ＝ m － x 2 <0. 故 ∀ m ∈ ( － ∞ ， 0) ，方程 f ( x ) ＝ 0 无解，从而命题 q 为假命题，所以 p ∧ ( 綈 q ) 为真命题，故选 C . 思维升华　 命题 的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立 . √ 答案 解析 思维升华 所以 f ( x )> f (1) ＝ 0 ，故 p 是真命题，即 綈 p 是假命题 . 故选 D . 思维升华　 判断命题的真假要先明确命题的构成 . 由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算 . 跟踪演练 3 　 (1)(2017 届黑吉两省八校期中 ) 已知：命题 p ：若函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ | x － a | 是偶函数，则 a ＝ 0 ；命题 q ： ∀ m ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，关于 x 的方程 mx 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 有解 . 在 ① p ∨ q ； ② p ∧ q ； ③ ( 綈 p ) ∧ q ； ④ ( 綈 p ) ∨ ( 綈 q ) 中，为真命题的是 A. ②③ B . ②④ C . ③④ D . ①④ √ 答案 解析 解析　 因为 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，所以 1 ＋ | a ＋ 1| ＝ 1 ＋ | a － 1| ，解得 a ＝ 0 ，故命题 p 为真命题； 又因为当 Δ ＝ 4 － 4 m ≥ 0 ，即 m ≤ 1 时，方程有解，所以 q 为假命题 . 所以 p ∨ q 与 ( 綈 p ) ∨ ( 綈 q ) 为真命题，故选 D. (2)(2017 届徐州丰县民族中学调研 ) 若命题 “ ∃ x 0 ∈ R ，使得 x ＋ (1 － a ) x 0 ＋ 1<0 ” 是假命题，则实数 a 的取值范围为 _________. 答案 解析 [ － 1，3 ] 解析　 由题设可得 (1 － a ) 2 － 4 ≤ 0 ，解得－ 1 ≤ a ≤ 3. Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 北京改编 ) 若集合 A ＝ { x | － 2< x <1} ， B ＝ { x | x < － 1 或 x >3} ，则 A ∩ B ＝ _____________. { x | － 2< x < － 1} 答案 解析 解析　 ∵ A ＝ { x | － 2< x <1} ， B ＝ { x | x < － 1 或 x >3} ， ∴ A ∩ B ＝ { x | － 2< x < － 1}. 1 2 3 4 充分不必要 答案 解析 1 2 3 4 1 2 3 4 3.(2017· 山东改编 ) 已知命题 p ： ∃ x ∈ R ， x 2 － x ＋ 1 ≥ 0 ；命题 q ：若 a 2 < b 2 ，则 a < b . 下列命题为真命题的是 ____.( 填序号 ) ① p ∧ q ；　 ② p ∧ ( 綈 q ) ；　 ③ ( 綈 p ) ∧ q ；　 ④ ( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ). ② 解析　 ∵ 一元二次方程 x 2 － x ＋ 1 ＝ 0 的判别式 Δ ＝ ( － 1) 2 － 4 × 1 × 1 ＜ 0 ， ∴ x 2 － x ＋ 1 ＞ 0 恒成立， ∴ p 为真命题， 綈 p 为假命题 . ∵ 当 a ＝－ 1 ， b ＝－ 2 时， ( － 1) 2 ＜ ( － 2) 2 ，但－ 1 ＞－ 2 ， ∴ q 为假命题， 綈 q 为真命题 . 根据真值表可知， p ∧ ( 綈 q ) 为真命题， p ∧ q ， ( 綈 p ) ∧ q ， ( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) 为假命题 . 1 2 3 4 答案 解析 4.(2016· 浙江改编 ) 命题 “ ∀ x ∈ R ， ∃ n ∈ N * ，使得 n ≥ x 2 ” 的否定形式是 ___________________________. ∃ x 0 ∈ R ， ∀ n ∈ N * ，使得 n ＜ x 答案 解析 1 2 3 4 解析　 原命题是全称命题，条件为 ∀ x ∈ R ，结论为 ∃ n ∈ N * ，使得 n ≥ x 2 ，其否定形式为特称命题 ( 存在性命题 ) ，条件中改量词，并否定结论 . 押题预测 1. 若集合 A ＝ { x |1 ≤ 2 x ≤ 8} ， B ＝ { x |log 2 ( x 2 － x )>1} ，则 A ∩ B 等于 A.(2,3] B .[2,3] C.( － ∞ ， 0) ∪ (0,2] D .( － ∞ ，－ 1) ∪ [0,3] √ 答案 解析 押题依据　 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题 . 集合的运算常与不等式 ( 特别是一元一次不等式、一元二次不等式 ) 的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇 . 押题依据 1 2 3 4 解析 　 A ＝ [0,3 ] . 又 log 2 ( x 2 － x )>log 2 2 ，即 x 2 － x >2 ， 解得 x < － 1 或 x >2 ， 所以 B ＝ ( － ∞ ，－ 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ). 所以 A ∩ B ＝ (2,3]. 1 2 3 4 2. 已知 “ x > k ” 是 “ < 1 ” 的充分不必要条件，则 k 的取值范围是 A.[2 ，＋ ∞ ) B .[1 ，＋ ∞ ) C.(2 ，＋ ∞ ) D.( － ∞ ，－ 1] √ 押题依据　 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念 . 所以 x < － 1 或 x >2. 答案 解析 押题依据 1 2 3 4 答案 解析 押题依据 1 2 3 √ 4 1 2 3 押题依据　 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题 . 4 1 2 3 4 1 2 3 ③ 当 p ∨ q 为真命题时， p ， q 不一定全真，因此 p ∧ q 不一定为真命题 ； 所以 ①② 为真，故选 C. 4 答案 解析 押题依据 1 2 3 4. 若 X 是一个集合， τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足： ① X 属于 τ ，空集 ∅ 属于 τ ； ② τ 中任意多个元素的并集属于 τ ； ③ τ 中任意多个元素的交集属于 τ ，则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑 . 已知集合 X ＝ { a ， b ， c } ，对于下面给出的四个集合 τ ： ① τ ＝ { ∅ ， { a } ， { c } ， { a ， b ， c }} ； ② τ ＝ { ∅ ， { b } ， { c } ， { b ， c } ， { a ， b ， c }} ； ③ τ ＝ { ∅ ， { a } ， { a ， b } ， { a ， c }} ； ④ τ ＝ { ∅ ， { a ， c } ， { b ， c } ， { c } ， { a ， b ， c }}. 其中是集合 X 上的一个拓扑的集合 τ 是 ______.( 填序号 ) ②④ 4 1 2 3 押题依据　 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质 ( 元素的性质、运算性质 ) 作为突破口 . 4 1 2 3 解析　 ① τ ＝ { ∅ ， { a } ， { c } ， { a ， b ， c }} ，但是 { a } ∪ { c } ＝ { a ， c } ∉ τ ，所以 ① 错； ②④ 都满足集合 X 上的一个拓扑集合 τ 的三个条件 . 所以 ②④ 正确； ③ { a ， b } ∪ { a ， c } ＝ { a ， b ， c } ∉ τ ，所以 ③ 错 . 4