广东省佛山市第一中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题 23页

佛山一中2020届高三年级十月考试题数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点，则（ ）‎ A. -7 B. C. D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由角的终边经过点可求得值，再根据和差角公式展开，可知需要再求解，用的二倍角公式求解即可。‎ ‎【详解】因为角的终边经过点，可得，故，所以，故选A。‎ ‎【点睛】求解三角函数值时，重点观察角度的关系，判断需要选取的公式，如二倍角和差角等，进行公式的选择与运算。‎ ‎2.已知命题，命题,则命题是命题的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数不等式与对数不等式分别求出命题，等价条件，再由充分条件与必要条件的定义进行判断即可。‎ ‎【详解】命题等价于“”，命题等价于“”，‎ 所以命题是命题的必要不充分条件，‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，解题的关键是求出命题，的等价条件，属于基础题。‎ ‎3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－a)sinA＝(b－c)(sinB＋sinC)，则角C等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得，(b－a)a＝(b－c)(b＋c)，∴ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，∴C＝，故选A.‎ ‎4.若，为锐角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可将利用诱导公式化成余弦函数，再根据角度的范围进行求解。‎ ‎【详解】由题得，‎ 故，又因为为锐角，所以，故为正数，所以也为正数，又，为锐角，故，故与分别为第四、一象限的角度，又，所以，故，故选C。‎ ‎【点睛】两个三角函数值相等可以化成同名函数进行角度分析判断，同时也可用和差角公式进行化简，最后再根据角度范围进行角度大小判断。‎ ‎5.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得由题得，解方程即得解.‎ ‎【详解】由题得 由题得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中带有对数函数，故考虑求导分析单调性，进而求出最大最小值再算出值域。‎ ‎【详解】因为，求导得，‎ 令可得 ，故在区间上，单调递减；在区间上，单调递增。‎ 故，‎ 又当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数的值域为，故选C。‎ ‎【点睛】对求函数值域的问题，可求导进行单调性分析，画出图像进而确定函数的最大值最小值。‎ ‎7.将的图像向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法错误的是（ ）‎ A. 函数的最小正周期是 p B. 函数的一条对称轴是 C. 函数的一个零点是 D. 函数在区间上单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：首先求得函数的解析式，然后考查函数的性质即可.‎ 详解：由题意可知：，‎ 图像向左平移个单位，再向下平移个单位的函数解析式为：‎ ‎.‎ 则函数的最小正周期为，A选项说法正确；‎ 当时，，函数的一条对称轴是，B选项说法正确；‎ 当时，，函数的一个零点是，C选项说法正确；‎ 若，则，函数在区间上不单调，D选项说法错误；‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的平移变换，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8.函数的图象可能是下面的图象( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B。当时，，所以，排除D。选C。‎ ‎9.已知对任意等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为不等式左边是类指数函数不便于计算，故可两边取对数进行化简，再参变分离得出，再求的最大值即可。‎ ‎【详解】由，两边取对数则，因为定义域为，故，令，‎ 则，令则有 ，所以在区间上，单调递增；在区间上，单调递减。所以，故，又恒成立，所以，故选A。‎ ‎【点睛】恒成立的问题求参数范围，可根据题意化简，参变分离得出的结构，再求的最大值即可。‎ ‎10.已知函数满足 ，且是偶函数，当 时，，若在区间 内，函数有 4 个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意确定函数的性质，然后将原问题转化为两个函数有4个交点的问题求解实数a的取值范围即可.‎ ‎【详解】由题意可知函数是周期为的偶函数，结合当 时，，绘制函数图象如图所示，‎ 函数有4个零点，则函数与函数的图象在区间内有4个交点，‎ 结合函数图象可得：当时：，求解对数不等式可得：，‎ 即实数的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】函数零点的求解与判断方法：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎11.已知，若，且，则与2的关系为（ ）‎ A. B. C. D. 大小不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导求出的极大值点为1，再比较和的大小得出，再根据当时，，单调递减可得。‎ ‎【详解】由题，,令则有，所以当时，‎ 当时，，所以,在时取得极大值和最大值. 又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在 使得,不失一般性令 ,则,， 对于任意的,分别取两点、，‎ 现在比较和的大小. ， ‎ 令分子部分,.‎ 求导有, 当时, ;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在 上是单调增函数,且,故,即，因为，，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A。‎ ‎【点睛】该题考查极值点偏移问题，可以求导求单调性，先画出的图像，直观上观察出，再构造函数分析比较和的大小，进而证明得出不等式。‎ ‎12.已知函数，若不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令h（x）f（x）﹣g（x）=lnx﹣（a﹣e）x﹣2b，利用导数求得h（x）max=h（）=﹣ln（a﹣e）﹣1﹣2b≤0，求得≥，a＞e，运用导数求得a=2e时，可得所求最小值．‎ ‎【详解】由题意可知：在上恒成立，‎ 构造函数，原问题等价于，‎ 其中，‎ 若，则恒成立，函数单调递增，不合题意，‎ 据此可知，由导函数的符号可知：‎ 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 函数的最大值，‎ 整理可得：，则，‎ 构造函数，则，‎ 原问题等价于求解函数的最大值.‎ 由于，‎ 故，‎ 构造函数，‎ 则，恒成立，则在定义域内单调递减，注意到，‎ 故在区间上，函数，，单调递减，‎ 故在区间上，函数，，单调递增，‎ 函数的最大值为.‎ 综上可得：的最小值是 .‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知曲线与的图象所围成的阴影部分面积为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于不是函数，不方便直接用定积分求面积，可先将整个图像关于作对称变换得到与，再根据定积分的方法求解即可。‎ ‎【详解】将曲线与作关于的对称图像，得到与 求出与交点坐标分别为与，故所求面积表达式为 ‎，易得原函数，故所求面积为，即阴影部分面积为 ‎【点睛】对于不方便直接用定积分求面积的问题，可以找寻与之面积相等的图像进行求解。本题中的抛物线焦点在轴上不易求解，故转换到轴上。‎ ‎14.已知定义在上的函数满，当时，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得周期为4，再利用周期性，再利用求解即可。‎ ‎【详解】由题，，所以，故周期为4。所以，又，故。‎ ‎【点睛】本题考查周期性，在求较大数的函数值时可以先利用周期性将自变量变换到较小的数，再根据题目函数性质，将自变量变换到已知函数表达式的定义域中进行求解。‎ ‎15.在中，角所对的边分别是，且成等差数列，则角的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由成等差数列可得出的等量关系，再列出余弦定理，利用基本不等式求解即可。‎ ‎【详解】由成等差数列，可得，又余弦定理 ‎，因为，且余弦函数在上为减函数，所以。故答案为 ‎【点睛】在解三角形的计算中如果出现边之和、边之积等形式，又要求取值范围的问题的时候经常利用余弦定理与基本不等式进行不等式判断。‎ ‎16.关于有以下说法：‎ ‎①若，则；‎ ‎②的图像与的图像相同；‎ ‎③在区间上是减函数；‎ ‎④的图像关于点对称．‎ 其中正确的序号有__________．‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由，得，化简验证 ‎②对利用诱导公式，转化成正弦函数即可验证 ‎③由，得，即可求得的单调区间 ‎④当时，，即可验证 ‎【详解】①∵，，∴，∴①错误；‎ ‎②，∴②正确；‎ ‎③当时，，∴在区间上是减函数，③正确；‎ ‎④当时，，∴，∴④正确．‎ 答案：②③④‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图像性质，属于基础题 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，在中， ， ，点在边上，且， .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求长.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．‎ 试题解析：（I）在中，∵，∴‎ ‎∴‎ ‎（II）在中，由正弦定理得：‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎∴‎ 考点：正弦定理与余弦定理．‎ ‎18.已知函数的图象在处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若方程有三个实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求导得出，再根据导数的几何意义得出计算即可。 （Ⅱ）求导分析单调性，求得极大极小值，再根据图像可得若则与的图像有三个交点，故的取值在极小值与极大值之间。‎ ‎【详解】（I），‎ ‎，解得；‎ ‎（II）∵ ∴‎ 由（I）得，令，解得或，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 当或时，，在和上单调递减，‎ 所以在处取得极小值，‎ 在处取得极大值 所以当时，的图象与直线有三个交点，‎ 那么方程有三个实数解 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】（1）导函数的几何意义：在函数某点处的切线斜率等于在该点处导函数的值； （2）有三个零点转换成与有三个交点。‎ ‎19.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线 的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积（其中为坐标原点）.‎ ‎【答案】(1) 曲线:,曲线：.‎ ‎(2)1.‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问首先将参数方程消参化为普通方程，之后应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得结果，第二问联立对应曲线的极坐标方程，求得对应点的极坐标，结合极径和极角的意义，结合三角形面积公式求得结果.‎ 详解：（1）由曲线：（为参数），消去参数得：‎ 化简极坐标方程为：‎ 曲线：（参数）消去参数得：‎ 化简极坐标方程为：‎ ‎（2）联立 即 联立 即 故 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在求解的过程中，需要明确由参数方程向普通方程转化的过程中，即为消参的过程，注意消参的方法，再者就是直角坐标与极坐标之间的转换关系，在求有关三角形面积的时候，注意对极坐标的意义的把握，求得结果.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的都有，使得，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）因为，故分三种情况：，，进行去绝对值再求不等式。 （Ⅱ）翻译条件可知的值域是值域的子集，故分别求与的值域，再列满足的表达式求解。‎ ‎【详解】（I）当时，‎ 解得即有 ‎ 当时，‎ 解得 即有 ‎ 当时，‎ 解得即有 故原不等式解集为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ 由此可得，当时，取最小值 ‎ 而 对任意都有使得即的值域是值域的子集.‎ 即解得 可得取值范围为.‎ ‎【点睛】绝对值不等式求解需根据绝对值内为0时的值分情况讨论，去绝对值后列出分段函数。求绝对值函数相加的最小值时利用绝对值不等式即可。‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数在的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，总有成立，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）时，；当时，；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）先求出，求导分析单调性知在处取得最小值，又因为区间为，故分三种情况，，进行讨论。‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵定义域为 且为单调递增函数，令得 所以当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增.‎ ‎①当时，满足条件的不存在； ‎ ‎②当，即时，；‎ ‎③当，即时，.‎ ‎（Ⅱ）因为等价于 构造函数 因为总有成立 所以在上单调递增 原问题转化为对恒成立 因为 原问题转化为对恒成立 若，因为，所以不满足题意；‎ 若由知 当时，，在上单调递减 当时，，在上单调递增 故在当处取得极小值也是最小值，‎ 即是在上的最小值点，‎ 由于，所以当且仅当时，，故 ‎【点睛】（Ⅰ）求动区间上的最值时需要讨论区间与极值点之间的位置关系，再分别求出最值。第（Ⅱ）问主要考查构造函数的方法。‎ ‎22.已知函数 讨论函数的单调性；‎ 设，对任意的恒成立，求整数的最大值；‎ 求证：当时，‎ ‎【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）若a≤0，则f（1）＝﹣a+1＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＞0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减．由此求出函数的最大值，由最大值小于等于0可得实数a的取值范围．‎ ‎（3）由（2）可知，当a＝1时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣x+1≤0．得到﹣xlnx≥﹣x2+x，则ex﹣xlnx+x﹣1≥ex﹣x2+2x﹣1．然后利用导数证明ex﹣x2+2x﹣1＞0（x＞0），即可说明ex﹣xlnx+x＞0．‎ ‎【详解】（1）∵函数 f（x）＝（a∈R ）．‎ ‎∴，x＞0，‎ 当a＝0时，f′（x）0，f（x）在（0，+∞）单调递增．‎ 当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．‎ 当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x，‎ 令f′（x）＜0，解得：x，‎ 故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．‎ ‎（2）当时，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．‎ 若a<0，由（1）可知，函数f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．‎ ‎∴，又f（x）≤0恒成立，‎ ‎∴f（x）max≤0，即0，令g(a)=,则g(a)单调递增，g(-1)=1，‎ g(-2)=<0，∴a时，g(a) <0恒成立，此时f（x）≤0恒成立，‎ ‎∴整数的最大值-2．‎ ‎（3）由（2）可知，当a＝-2时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣2x2+1≤0．即xlnx﹣2x3+x≤0，恒成立，①‎ 又ex﹣x2+2x﹣1+（）‎ ‎∴只需证ex﹣x2+2x﹣1，‎ 记g（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则g′（x）＝ex﹣2x+2，‎ 记h（x）＝ex﹣2x+2，则h′（x）＝ex﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．‎ 当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0．‎ ‎∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增．‎ ‎∴4﹣2ln2＞0．‎ ‎∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴g（x）＞g（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．‎ 结合①∴ex﹣x2+2x﹣1+（）＞0，即＞0成立．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎ ‎