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- 2021-06-21 发布
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上海市松江区2020届高三5月
模拟考质量监控测试(二模)试题
考生注意:
1.本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求,所有答题必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,做在试卷上一律不得分。
2.答题前,务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,第1~6题每个空格填对得4分,第7~12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.若集合,,则= ▲ .
2.已知复数,(是虚数单位),若是纯虚数,则实数= ▲ .
3.已知动点到定点的距离等于它到定直线的距离,则点的轨迹方程为 ▲ .
4.等差数列的前项和为,若,则= ▲ .
5.若的展开式中项的系数为,则实数= ▲ .
6.已知数列的首项,且满足,数列的前项和为,则 ▲ .
7.用半径为米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是 ▲ 立方米.
8.若函数是偶函数,则= ▲ .
9.已知等边的边长为,点是其外接圆上的一个动点,则的取值范围是 ▲ .
10.已知函数,若对于任意的,总存在,使得,则的最小值为_ ▲ .
11.已知集合,元素称为集合的特征元素.对于中的元素与,定义:.当时,若是集合中的非特征元素,则的概率为 ▲ .
12.已知函数且为常数和且为常数,有以下命题:
①当时,函数没有零点;
② 当时,恰有3个不同的零点,则;
③对任意的,总存在实数,使得有4个不同的零点,且成等比数列.
其中的真命题是 ▲ .(写出所有真命题的序号)
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.若为坐标原点,是直线上的动点,则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
14.若成立的一个充分不必要条件是,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D) 或
15.在正方体中,、两点分别从点和点出发,以相同的速度在棱和上运动至点和点,在运动过程中,直线与平面所成角的变化范围为
(A) (B)
(C) (D)
16.已知实数,且,则当取得最大值时,这个数中,值为的个数为
(A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,已知四棱锥的底面是正方形,底面,,是侧棱的中点.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求点到平面的距离.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数.
(1)求的最大值和最小正周期;
(2)在中,内角、、所对的边分别为、、,已知,且,求面积的最大值.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺,某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后,防护服产量将增加到(万套),其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) .
(1)将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数;
(2)对任意的(万元),当复工率达到多少时,A公司才能不产生亏损?(精确到0.01).
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
如图,已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为椭圆上的动点,点为圆上的动点,求线段长的最大值;
(3)若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点,交圆于两点,且满足
,求证:线段的中点在定直线上.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知函数的定义域为,若存在实常数及,对任意,当且时,都有成立,则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质,并说明理由;
(2)若函数具有性质,求及应满足的条件;
(3)已知函数不存在零点,当时具有性质(其中),
记,求证:数列为等比数列的充要条件是或.
参考答案
一.填空题
1. 2.3 3. 4. 5.1 6.2
7. 8. 9. 10. 11. 12.②
二、选择题
13.B 14.A 15.C 16.B
三.解答题
17.如图,已知四棱锥的底面是正方形,底面,,是侧棱的中点.
(1)求异面直线AE与PD所成的角;
(2)求点B到平面ECD的距离.
解:(1)连AC、BD,两直线交于点O,连EO,
因为E、O分别是PB、DB的中点,所以EO//PD,
所以就是异面直线AE与PD所成的角 …………3分
因为为正方形,且,
所以 …………4分
所以 …………6分
(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
∵,点E是棱PB的中点,
∴,,,,,,,,…………8分
设平面ECD的法向量,
则由 得
取z=2,得,…………11分
∴点B到平面ECD的距离:…………14分
18.已知函数.
(1)求的最大值和最小正周期;
(2)在中,内角、、的所对的边分别为、、,已知,且,求面积的最大值.
解:(1)………4分
∴, ………………………………5分
………………………………6分
(2)由 得
因为 ,所以,得 , ………………8分
因为,由余弦定理,得 ,………………10分
由 得 ,当且仅当时取得等号………12分
∴面积,
∴面积的最大值为 ………………14分
19.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后,防护服产量将增加到(万件),其中为工厂工人的复工率().A公司生产万件防护服还需投入成本(万元) .
(1)将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数;
(2)对任意的(万元),当复工率达到多少时, A公司才能不产生亏损?(精确到0.01).
解:(1)………………4分
,…………6分
(2)若对任意的,公司都不产生亏损,
则在恒成立 …………8分
即,记,则,
此时
由于函数在单调递增 …………10分
所以当时, …………12分
∴
即当工厂工人的复工率达到时,对任意的,公司都不产生亏损. ……14分
20.如图,已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为椭圆上的动点,点为圆上的动点,求线段长的最大值;
(3)若不平行于坐标轴的直线交椭圆于两点,交圆于两点,且满足,求证:线段的中点在定直线上.
解:(1)在方程中,令,解得.令,解得..
椭圆方程为:.…………4分
(2)…………6分
设,,则
…8分时,
…………10分
(3) 解法一:设
…………12分
设,代入得:
即:
代入得:
即…………14分
,
所以点E在直线上 …………16分
解法二:设
…………12分
也是弦的中点,
…………14分
代入化简,得:
所以点E在直线上.…………16分
21.已知函数的定义域为,若存在实常数及,对任意,当且时,都有成立,则称函数具有性质,集合叫做函数的性质集.
(1)判断函数是否具有性质,并说明理由;
(2)若函数具有性质,求的性质集;
(3)已知函数不存在零点,且当时具有性质(其中),若,求证:数列为等比数列的充要条件是或.
解:(1)若函数具有性质,则存在实常数及,使得
对任意的都成立…………2分
即:
,不合题意,舍
函数不具有性质 …………4分
(2)由题意:存在实常数及,
使得对任意的都成立
即:
化简,得:
…(1)对任意的都成立…………6分
在(1)中令,得:,代入(1),得:
所以 解得或…………8分
所以 或…………10分
(3)证明:由函数不存在零点,且具有性质知,
对任意的,都有
即……① …………12分
∴ ,
记,则……② …………14分
充分性:当时,,反复代入②式得
即对任意的,都有,∴数列是以为首项,为公比的等比数列
同理,当时,数列是以为首项,为公比的等比数列…………16分
必要性:若数列是等比数列,不妨设,则
又由①知 ∴,
∴,即 ∴或即或. …………18分
证法二
由函数不存在零点,且具有性质知,
对任意的,都有
即……① …………12分
对①变形可得如下两式
……②
……③
由②得……④
由③得
……⑤
④-⑤得:
∴ …………16分
当.时,,当时,,此时是等比数列;
当且时,显然不是等比数列. …………18分